2025年高考数学一轮复习：课时作业五十七 双曲线的定义、标准方程及其几何性质

五十七双曲线的定义、标准方程及其几何性质

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

22

（分）（青岛模拟）若点在双曲线上，双曲线的焦点为丹,&且

1.52024•M1O41

|MFi|=3豳6|,则幽国|等于（）

A.2B.4C,8D.12

【解析】选B.双曲线中〃=16彳导a=4,则2a=8,

由双曲线的定义可得〃FiHSI=2a=8,因为附尺=3|吹2|,所以3|成讣|叱2|=8,解

得"=4.

22

2.（5分）已知双曲线C:号。1的渐近线经过点（1,2）,则双曲线的离心率为（）

ab

A."B.^/3C.2D.yfS

【解析】选D.易知双曲线的渐近线方程为y=gx,

由渐近线经过点（1,2）,可得卜2,

故离心率为吟jJ1+|=V5.

【加练备选】

22

（2024•宁波模拟）已知双曲线C：U=l（a>0,6>0）尸1正分别为左、右焦点，点

ab

P在双曲线上，尸到左焦点Fi的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则

双曲线的离心率是（）

A.^/2B.邛C2D.闻

【解析】选B.设双曲线C的半焦距为c>0,由题意可知:甲碎=3|。出,则『入卜

|尸尸2|=2|尸尸2]=2名可得尸尸1|=3|尸尸2]=3区

2-

因为PFl±PF2,^]\PF1^+\PF/=\F1F/,^9a2+q2=4c2,整理得冷

所以双曲线的离心率是e小匕=孚.

ayja/

22

3.（5分X2024•门头沟模拟）双曲线3-91（>0力>。）的离心率为2,则其渐近线方程

ab

为（）

A.y=±*xB.产士退x

J3

C.y=±y%D.y=±2x

【解析】选C.由已知可得，2,则c=2a,故6=*2-c3K^a,

所以，双曲线的渐近线方程为产士*=土5.

4.（5分）“加>1”是“方程、卷=1表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

22

【解析】选A.因为方程表示双曲线，

所以加（加-1）>0,解得m<0或m>l,

因为由m>\可推出m<Q或加>1,但是由m<Q或加>1,不能推出m>\,

22

所以“加>1”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.

22

5.（5分X多选题X2024•深圳模拟）若方程三+三=1所表示的曲线为。，则下面四

个说法中正确的是（）

A.若1«<3,则。为椭圆

B.若C为椭圆，且焦点在歹轴上，则2«<3

C.曲线。可能是圆

D.若。为双曲线，则/<1

22

【解析】选BC.方程三一1所表示的曲线为C

O-LL-X

A.当取L2时,方程为炉+产q,表示圆,A错误;

B.若C为椭圆，且焦点在y轴上厕b1>340,即2</<3,所以B正确;

C.右2时,方程为必+/q,表示圆，所以c正确;

D.若C为双曲线，可得（31）（b1）<0魂军得t>3或/<1,所以D错误

2

6.（5分X多选题）（2024•泉州模拟）已知几B分别是双曲线。:2产1的左、右焦

点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段FR为直径的圆经过点

M则（）

A.△液正2的面积为在

B.点M的横坐标为2或-2

1

CC的渐近线方程为

D.以线段为直径的圆的方程为炉+产3

1

【解析】选AB.由双曲线方程知-2,6=1,所以双曲线C的渐近线方程为严土会,

故C错误；

又。=后+后=",所以以FR为直径的圆方程为炉+产=5,故D错误;

1

x

由y=±22=-2

{X2+.y2=5亡<Ai<=±r

所以点M的横坐标为2或-2,故B正确；

又陷=1,所以s亏•尸得，故A正确.

/'1L1/24

22&

7.（5分X2024・齐齐哈尔模拟）与椭圆-7有公共焦点，且离心率为|的双曲线方

程为.

22

【解析】由椭圆方程卷21,可得焦点坐标分别为(3,0),(-3,0),设双曲线的半焦距

为c,则c=3,

因为双曲线的离心率为:则

故4=2,所以-/=木,

22

所以双曲线的标准方程为1-Cl.

22

答案•土-'1

口木。45

22

8.(5分X2024•长春模拟)若双曲线"。15>0,6>0)的右顶点到其中一条渐近线的

ab

距离为*则双曲线的离心率为.

_h

【解析】右顶点为(%0),—条渐近线方程为y%,即bx-ay^Q,

由题意

即"，所以e*2.

答案：2

9.(10分)(2024•昆明模拟)求适合下列条件的双曲线标准方程.

虚轴长为离心率为

(1)12,4,

【解析】(1)设双曲线的标准方程为

2222

号91或J'=l(a>0,b>0).

abab

由题知26=12『产2=。2+左，

所以b=6,c=10,a=8,

2222

所以标准方程为总-»1或2

（2）顶点间距离为6,渐近线方程为严土菰

【解析】（2）当焦点在x轴上时，由6且2。=3,所以29.

22

所以所求双曲线标准方程为营-守1;

T

当焦点在歹轴上时，由且4=3,所以42.

22

所以所求双曲线方程为:£■=1•

2222

所以标准方程为营或卷。=1.

T

（3）求与双曲线/一272=2有公共渐近线，且过点M2,-2）的双曲线方程.

22

【解析】⑶设与双曲线:少2口有公共渐近线的双曲线方程为'歹=左（后0）,将点

,2222

（2,-2）代入得--（-2）2=2所以双曲线方程为卢-2,双曲线的标准方程为

=1.

【能力提升练】

2

10.（5分）（2024•南昌模拟）已知圆。:炉+俨6+8=0,若双曲线俨-〒1（加＞0）的一条渐

m

近线与圆。相切，则加=（）

A.|BeC.2A/2D.8

o4、

2

【解析】选C.C:x2+y2-6x+8=0变形为03尸+俨=1,故圆心为（3,0）泮径为l,y2--

m

口

=1（加＞0）的渐近线方程为产土3不妨取尸]由点到直线距离公式可得一^1,解

1+二

得加=2也，负值舍去.

【加练备选】

22

（2024・成都模拟）已知川正2分别为双曲线三-11（心0乃＞0）的左、右焦点，且

ab

__

「1BI「「点P为双曲线右支上一点/为△耳F2内心，若S[PF=S[PF+A

Cv/'i±r1A/\iui2A

S△小抵'则'的值为（

A5B.fC号D.年

【解题策略】作〃，/内可得〃===/。=厂,可以将S/p0=

ZAAIrr]

2b2

S△IPF+"SAIFF，转换为母加内，结合双曲线的定义以及「典七即可

（\JLkL2/'JI.]/2

求解.

【解析】选C.如图所示由题意知I为△跳F2的内心,

作IA人F1F2JB人PFzJC人FiP.APFiFz内切圆半径为r,所以L4=/B=/C=r,

111

又因为S△IPF=s△[PF+^SF，即/历守依2+必/&^2,化简得

/\iI2]/\111*2A/\I11F-£*2N乙N

PF1^PF2+^F1F2,

由双曲线定义可知PF「PF2=2a—（2c）,

因此有二I；

2b2

又因为|尸匹I。",且方匹|=2c以及c2=a2+b2,

联立并化简得a2+ac-c2^0,

即（户”，

解得人。了或丸上了（舍去，因为成＞0）.

22

11.（5分）过双曲线三。1（。＞0乃＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为4若

ab

ZAFO^2ZAOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）

4B.竽C.2D.竽或2

【解析】选B在RtZUFC＞中,

因为///。=2乙4。£所以2/0b=30。,

则tan30。-g-g,

22

12.（5分X多选题X2024福州模拟）已知曲线*+#厂则）

A.若加〉裾，则C是椭圆

B.若一招＜加＜"，则。是双曲线

c.当。是椭圆时，若H越大，则。越接近于圆

D.当。是双曲线时，若H越小，则。的张口越大

22

【解析】选BD.对于A,加=2满足心戏代入曲线C中将3+*1,即炉+产4,表

示以（0,0）为圆心，半径为2的圆，故A错误；

对于B,当-g＜加＜也时广名2加2一4＜0,所以4（2加2一4）＜0,故C是双曲线，故B正确；

_22_

对于C,当加|=十时方程为为焦点在x轴上，长轴长为4,短轴长为29焦

距为2"的椭圆，离心率为当H"时,方程为2+*1,为焦点在〉轴上,长轴长

为4”,短轴长为4,焦距为4的椭圆，离心率为日，所以当加=避和加=通时，两个

椭圆一样圆，故C错误；

22

对于D,当曲线C:^-+-4-1为双曲线时,2加2_4＜0,

42m-4

22________________

整理成1，则。=2力=」4-2m2,c=Js-2上,

44-2m7X

若川越小，则。不忖工？越大,因为顶点不变，此时焦点离顶点越远,图象的张口就

越大，故D正确.

13.（5分）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反

22

射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线■马

ab

=15＞0力＞0）的左、右焦点分别为*尸2,从B发出的光线经过图中的A,B两点反

射后，分别经过点C和。，且3/氐4。=q,而-丽=0,则E的离心率为（）

J17J37J10r-

A.^-C.^-D.p

【解析】选B.由题意知延长C4Q5则必过点如图:

（\AFA-\AFJ=2a

由双曲线的定义知后j%

又因为cosNA4C=J所以

因为万•前=0,所以4BLBD,

*1^^pI—13TTT2cL

设”11=13加"0,则明=5加,防1=12加，因此］肃；二12根：2相

从而由⑷得13加-2a+12加-2a=5加，所以a=5m,

122

则卢尸1|飞旬5尸2%。,|尸1尸21=2C,

22212222

又因为|斯1/+但々|=//2匕所以（百①+3）=（2。）2,

即37a2=25°2,即e=^.

2222

（分）（郴州模拟）已知双曲线（加＞心）和椭圆有相同的焦

14.52024771710,0413

点，则1+1的最小值为.

22

【解析】的焦点坐标为(±1,0),故加+"=F=1,

4-3

1/41/41、/、4nm4nm

故hrgg