九年级数学上册专项训练：圆重点定理和辅助圆模型（50题）

24.5圆重点定理和辅助圆模型（50题）

题型1：垂径定理

题型5:辅助圆-定点定圆（提升）

题型2:圆周角定理

圆重要重点题型6:辅助圆-定弦定角（提升）

题型3:切线长定理定理和模型

题型7:辅助圆-对角互补（提升）

题型4:切线的判定/

I-------------------------------------------1

I题型1:垂径定理

1.如图，2C是O。的直径，ADLBC,ZABC^25°,则弧CD的度数（）

25°C.100°D.65°

【分析】连接O/,根据圆周角定理可得N/OC的度数，从而求出京的度数，然后再利用垂径定理可得众

CD，即可解答.

【解答】解：连接。4

■:NABC=25。，

AZAOC=2ZABC=50°,

・・・AC的度数为50°,

・・・5C是。。的直径，ADLBC,

*，•AC=CD，

・••弧CZ）的度数为50°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径

r1

定理是解题的关键.

2.如图，在。。中，弦48的长是lW§cw,弦的弦心距为6cm,E是。。优弧/£8上一点.贝IJ//E8

的度数为（）

O

A.60°B.45°C.30°D.80°

【分析】连接OHOB,利用垂径定理求出NC,然后在RtZkNOC中，利用锐角三角函数求出NONC,

从而求出N/O8,最后利用圆周角定理求出进行计算即可解答.

【解答】解：连接。4,0B,

"JOCVAB,

.,.AC=—AB=6,\[3cm,

2

在RtZ\/OC中，OC=6cm,

.*.tan/CMC=P2=—^=返,

AC6V33

：.ZOAC=30°,

'：OA=OB,

：.ZOAB^ZOBA^30°,

/.ZAOB=ISO°-ZOAB-ZOBA=nO°,

：.ZAEB=1ZAOB=60°,

2

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的

关键.

4.如图，已知。。的直径CZ）垂直于弦垂足为点£,"=22.5°,/5=8,则。E的长

r

为.

【分析】连接。8,根据圆周角定理可得/8OC=45°,再利用垂径定理可得NO£3=90°,BE=LB=

2

4,从而可得0E=BE=4,08=J58E=4&，进行计算即可解答.

【解答】解：连接08,

VZ£>=22.5°,

/.ZBOC=2ZD=45°,

直径CDLAB,

：.ZOEB=90°,BE=LB=4,

2

：.NOBE=90°-NBOE=45°,

：.OE=BE=4,OB=®BE=4®,

：.OD=OB=4近,

：.DE=。。+。£=4+4&,

故答案为：4+472.

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的

关键.

5.如图，48是。。的弦，连接80,作/CUB。交80的延长线于点C,已知OC=&,8。=2、茏，点。

是篇的中点，连接CD,则CD的长为_'、/逋

r

【分析】先求NC4O=30°,再证△O4D是等边三角形，最后在RtZ\/CD中，用勾股定理求解.

【解答】解：如图，连接。4、OD、AD,

•：OA=OB=2OC=V2-ACVBO,

：.ZOAC=30°,ZAOC=6Q°,

：.NOAB=NOBA=30°,

在RtAABC中，

AC=孚BC』,

.••点。是窟中点，

AZAOD^ZBOD^60°,

...△NOD为等边三角形，

:.AD=AO=2如,

在RtZUCD中，

CD=VAC2+AD2=^14-

故答案为：V14-

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三

角形.

6.如图，在O。中，AB,4c为弦,CD为直径，ABLCD^E,BF工AC于F,2尸与CO相交于G.

(1)求证：ED=EG；

(2)若AB=8,OG=1,求。。的半径.

D

【分析】(1)连接3。，容易得到/G8E和相等，利用/“证明△"?£'和△3DE全等即可；

(2)连接。/,设。/=厂，则DG=r+l,根据£D=EG容易求出。石=工11,再根据垂径定理求出工£

的值，最后在Rt4OAE中根据勾股定理求出r的值即可.

【解答】(1)证明：如图：连接8。，

于E,BFVACF,

:./CFG=NGEB,

'：ZCGF=ZBGE,

：.ZC=ZGBE,

；/C=NDBE,

：.ZGBE=ZDBE,

：/8_LCZ)于£,

:./GEB=/DEB,

在AGBE和ADBE中，

'/GEB=NDEB

<BE=BE，

ZGBE=ZDBE

:.ABGE沿ABDE(ASA),

：.ED=EG.

(2)解：如图:

r

D

连接CM,设CM=r,贝lj£)G=rH,

由（1）可知£O=EG,

：.OE=IZ1.,

2

•.28J_C£>于E,AB=8,

：.AE=BE=4,

...在RtZ\04E■中，根据勾股定理得：OE2+AE2^OA2,

即（三11）2+42=户，

2

解得：一整，

3

即。。的半径为巡.

3

【点评】本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且

平分弦所对的优弧和劣弧.

7.如图，。。的半径为4,△48C是。。的内接三角形，连接。3、OC.若NA4c与/3OC互补，求弦

BC的长.

【分析】首先过点。作。D，8c于。，由垂径定理可得8C=28。，又由圆周角定理，可求得/8OC的

度数，然后根据等腰三角形的性质，求得/03C的度数，利用余弦函数，即可求得答案.

【解答】解：如图，过点。作8c于。，

则BC=2BD,

:△/BC内接于O。，N3/C与/5OC互补，

AZBOC=2ZA,ZBOC+ZA=1SO°,

r

AZBOC=120°,

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=1.(180°-NBOC)=30",

2

,/OO的半径为4,

：.BD=OB-cosZOBC=4X返=2我，

2

:.BC=4M.

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线

的作法.

题型2:圆周角定理

8.如图，A8是。。的直径，P是。。上一点，若/PAB=32°,则/尸8/的度数是()

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得N/PB=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行

计算即可解答.

【解答】解：是。。的直径，

AZAPB=90°,

：445=32°,

ZPBA=90°-NPAB=58°,

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

9.如图，在中，ZABC=90°,/A=32°,点、B、C在。。上，边4B、NC分别交0O于。、E

两点，点3是面的中点，则/N8E的度数是（）

A.13°B.16°C.18°D.21°

【分析】连接CD,根据已知可得而=前，从而可得8D=3C,进而可得/ADC=488=45°,然后

利用直角三角形的两个锐角互余可得/4C8=58°,从而求出NDCE=13°,最后根据同弧所对的圆周

角相等即可解答.

:点8是面的中点，

.'-BD=BC-

：.BD=BC,

VZABC=90°,

：.ZBDC=ZBCD=45°,

；N/=32°,

：.ZACB=90°-Zy4=58°,

ZDCE=ZACB-ZDCB=1V,

：.ZABE=ZDCE=13°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

10.如图，N8过半。。的圆心。，过点8作半0。的切线BC,切点为点C,连结/C,若//=25°,则

A.65°B.50°C.40°D.25°

【分析】连接OC,根据切线的性质可得NOC8=90°,再根据圆周角定理可得N2OC=5()°,然后利用

直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答.

【解答】解：连接OC,

与半。。相切于点C,

：.ZOCB=90°,

,：ZA=25°,

AZBOC=2ZA=50°,

AZB=90°-Z50C=40°,

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

11.如图，48是。。的直径，点C、。位于直径A8的两侧.若N/8C=40°,贝。乙8DC的度数是()

【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得/NOC=40°,再根据直径所对的圆周角是直角可得答案.

【解答】解：••,々=血，

AZADC=ZABC=40°,

I------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

'：AB为O。的直径，

/.ZADB=90°,

:.NBDC=/ADB-/ADC=90°-40°=50°.

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理以及推论是解题关键.

112.如图，点/为。。上一点，N5为。。的切线，ZCAB=30°,直径CD=2,则劣弧40的长

【分析】连接0a根据切线的性质可得/。42=90°,从而可求出NO/C=60°,然后利用等腰三角形

的性质可求出NC=60°,再利用圆周角定理求出//OD的度数，最后利用弧长公式进行计算即可解

答.

I【解答】解：连接CM,

I

I

I

•；AB为O。的切线，

：.ZOAB^90°,

VZC^5=30o,

ZOAC=AOAB-ZCAB=60°,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZC=60°,

ZAOD=2ZC=nO°,

•.•直径CD=2,

:.OD=^LCD=I,

2

劣弧的长=120兀X1=Zn,

1803

故答案为：In.

3

r

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质,

以及圆周角定理是解题的关键.

13.如图，点B,C是上的三点.若//OC=90°,/BAC=30°,则/N08的度数为

【分析】由圆周角定理可得/8OC=2/3/C=60°,继而N8OC=90°-60°=

30°.

【解答】解：•••/BNC与NBOC所对弧为黄，

由圆周角定理可知：ZBOC=2ZBAC=6Q°,

又•.•//OC=90°,

AZAOB=ZAOC-ZBOC^90°-60°=30°.

故答案为：30°.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键.

14.如图，48是O。的直径，点C、。在。。上，且在48异侧，连接OC、CD、DA.若N2OC=130°,

则/。的大小是.

【分析】根据平角定义求出//OC=50°,再利用圆周角定理可得ND=上//OC,进行计算即可解

2

答.

【解答】解：•.♦/3OC=130°,

AZAOC=180°-ZBOC=50°,

r

/.ZD=1ZAOC=25°，

2

故答案为：25°.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

15.如图，已知点/、B、C、。在圆。上，正=而，ZCAD=35°，ZACD^60°，则

【分析】先求出的度数，在根据圆周角定理即可求出N/02的度数.

【解答】解：；正=而，ZCAD=35°,

:.NCDB=NCAD=35°,

'：ZCAD=35°,ZACD=60°,

：.ZADC=85°,

：.ZADB=ZADC-ZCDB=50°,

ZAOB=2X50°=100°.

故答案为：100°.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.

16.如图，48是。。的直径，。为。。上一点，4。和过点C的切线CD互相垂直，垂足为。.

求证：ZCAD=ZCAB；

O

r

【分析】连接OC,根据切线的性质可得NZ)CO=90°,再根据垂直定义可得N4OC=90°,从而可得

AD//OC,然后根据平行线和等腰三角形的性质，可证ZC平分即可解答；

・・・c。是。。的切线，点。为切点,

/.ZDCO=90°,

9：ADLCD,

：.ZADC=90°,

AZADC+ZDCO=\SO°,

C.AD//OC,

：.ZDAC=ZACO,

U：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

；・/CAD=/CAB；

题型3:切线长定理

18.如图，从。。外一点尸引圆的两条切线尸4,PB,切点分别是4,B,若N4尸5=60°,尸4=5,则弦

22

【分析】根据切线长定理得到尸/=尸2,根据等边三角形的性质解答即可.

【解答】解：P8为。O的两条切线，

:.PA=PB,

VZAPB=60°,

为等边三角形，

；.AB=PA=5,

故选：C.

【点评】本题考查的是切线长定理、等边三角形的判定和性质，得出△尸42是等边三角形是解题的关I

键.

19.如图，直线48、CD、8c分别与。。相切于£、F、G,且若OB=6cm,0c=8c机，贝U

【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明/20C=90°,再根据勾股定理即可求得2c的

长，再结合切线长定理即可求解.

【解答】»：'JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=1?>QO,

；CD、BC,48分别与O。相切于G、F、E,

:.NOBC=L/ABC,NOCB=LNBCD,BE=BF,CG=CF,

22

/.ZOBC+ZOCB=90°,

AZBOC=90°,

5C=VOB2+OC2=I。，

：.BE+CG=IO(cm).

故选：D.

【点评】此题主要是考查了切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这

点的连线平分两条切线的夹角.

20.如图，在RtZk48C中，AC=5,8c=12,。。分别与边N8,/C相切，切点分别为E,C,则。。的半

径是()

A.妆B.西C.空D.-23.

3333

【分析】根据切线长定理得NE=/C,根据勾股定理得的长，从而得到的长，再利用切割线定理

得BE2=BD*BC,从而可求得3。的长，也就得到了半径的长.

【解答】解:"：AE=AC=5,4c=5,BC=12,

：.AB=13,

：.BE=8；

'：BE2=BD'BC,

：.BD=^.,

3

:.CD=2^.,

3

圆的半径是」包,

3

故选：A.

【点评】此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理.

21.如图，三个半径为的圆两两外切，且△/BC的每一边都与其中的两个圆相切，那么的周长是

()

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

A.12+6A/3B.18+6百C.18+12A/3D.12+12V3

【分析】从各圆心向边作垂线，由题意知△NBC是等边三角形，8。是尸的平分线，可求得BE=BF

=DEcot30°=3,4W=AS=CG=CH=3；再根据四边形亚FDR,SGTR,7HED是矩形，WF=SG=EH=

。7=2近，从而求得△/BC的周长.

【解答】解：如图.连接/ARS、RW.DF、DE,由题意知，A/BC是等边三角形，/EDB=6Q°,

AD是/班厂的平分线，

ZDBE=30°,BE=BF=DEcot30°=3,

同理，AW=AS=CG=CH=3,四边形用FDR,SGTR,THED是矩形,WF=SG=EH=DT=2yf3,

：.4ABC的周长=6BE+3EH=18+6«.

故选:B.

【点评】本题考查了切线长定理、等边三角形的判定和性质等知识点.

22.如图，△/5C中，ZC=90°,/C=8,BC=6,。为△/2C的内切圆圆心，则阴影部分的面积为（）

A.211B.^2Lc.D.22L

323

【分析】先利用勾股定理计算出/5=10,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到。。=2,接着三

角形角平分线的性质得到//。8=135。，然后根据扇形面积公式计算得出答案.

【解答】解：如图，

r

VZC=90°,/C=8,BC=6,

AB=VBC2+AC2=VS2+82=1。，

••,OO为/8C的内切圆，

...OD=殳丝@=2,OB平分/BAC,0c平分N/2C,

2

ZAOB=90°+AZC=90°+AX90°=135°,

22

阴影部分的面积为135X兀*22=S

3602

故选：c.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和扇形面积公式.

23.已知如图，△45C的内切圆。。与2C,CA,48分别相切于点。，E,F,S.AB=9cm,BC=15cm,

CA=12cm.求/尸，BD,CE的长.

【分析】利用切线长定理得到/£=4尸，BF=BD,CD=CE,^AF=xcm,则N£=xc%,BF=BD=(9-

x)cm,CE=CD=(12-x)cm,所以9-x+12-x=15,解方程求出x,从而得到NRBD、CE的长.

【解答】解：:△4BC的内切圆O。与2C、CA,分别相交于点。、E、F,

：.AE=AF,BF=BD,CD=CE,

设则BF—BD—AB-AF—(9-x)cm,

：.CE=CD=CA-AE=(12-x)cm,

•：BD+CD=BC,

/.9-x+12-x=15,

解得x=3,

'.AF=3cm,BD=6cm,CE=9cm.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线长定理.

24.如图，在中，ZC=90°,AC=5,是△NBC的内切圆，半径为2,则图中阴影部分的面

A.30-4-rtB.30a-4TlC.60-167tD.3073-16it

【分析】先由切线长定理及勾股定理计算出三角形的另外两边长，再根据图中阴影部分面积=的

面积-O。的面积计算即可.

【解答】解：如图，记三个切点分别为。、E、F,连接O。、OE、OF,

则/ODC=NOEC=NOF/4=90°,OD=OE=OF=2,

四边形ODCE是正方形，

：.CE=CD=2,

•；。。是△NBC的内切圆，

；.4E=4F=5-2=3,BD=BF,

设BD=BF=x,贝!15c=x+2,AB=x+?>,

在RtZ\/8C中，52+(x+2)2=(x+3)2,

mo,

：.BC=129

1

2=3

1•S阴影=-Soo=/x5X12-nx20-4Tt.

故选：A.

【点评】本题考查切线长定理及勾股定理，解题关键是熟练应用切线长定理.

25.如图，木工用角尺的短边紧靠。。于点，，长边与OO相切于点瓦角尺的直角顶点为C已知NC=

6cm,CB=8cm,则。。的半径为cm.

BC=8cm,设。。的半径为*加，在中，利用勾股定理列出方程即可求解.

I

【解答】解：连接CM,OB,过点4作于点。，如图，

•・,长边与。。相切于点8,

C.OBLBC,

*：ACLBC,ADLOB,

・・・四边形4CBD为矩形，

:・BD=AC=6cm,AD=BC=Scm.

।

设。。的半径为rem,

।

则OA—OB—rcm,

：.OD=OB-BD=0-6)cm,

在中，

,：AD1+OD2=OA2,

I

I

/.82+(r-6)2=7,

解得：尸型.

3

故答案为：25

3

r

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添加适当的辅

助线是解题的关键.

26.如图，48为的直径，点P在48的延长线上，PC,PD分别与O。相切于点C,D,若/CP4=

40°,则/C4D的度数为.

【分析】连接。C,OD,利用切线的性质定理和切线长定理求得NOCP=NOD尸=90°,NCPD=80°,

利用四边形的内角和定理和圆周角定理解得即可得出结论.

■:PC,尸。分别与相切于点C,D,

：.OC±PC,ODLPD,ZCPO=ZDPO=40°,

：.ZOCP=ZODP=90°,ZCPD=80°.

•..四边形尸COD的内角和为360°,

：.ZCPD+ZCOD=^0°,

：.ZCOD=100°.

：.ZCAD=1.ZCOD=50°.

2

故答案为：50°.

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理和切线长定理，圆周角定理，四边形的内角和，连接OC,

OD是解题的关键.

题型4:切线的判定

27.如图，是圆。的一条弦，点£是劣弧N8的中点，直线CD经过点£且与直线N8平行，证明：直

r1

线CD是圆。的切线.

【分析】连接0E交AB于点F,由垂径定理得出OEL/瓦由平行线的性质得出CDLOE,则可得出结论.

【解答】证明:连接OE交于点凡

：.OELAB,

'JAB//CD,

：.CD±OE,

是圆的半径，

直线CD是圆。的切线.

【点评】此题主要考查了切线的判定，同时也利用了垂径定理及平行线的性质，熟练掌握切线的判定是解

题的关键.

28.如图，CD是。。的直径，并月./C=8C,AD=BD.求证：直线4?是OO的切线.

【分析】欲证明AB是OO的切线，只要证明CDLAB即可;

【解答】证明：AD=DB,

C.CDLAB,

；CD是直径，

:.AB是。。的切线.

r

【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

基础题.

29.如图，是。。的直径，。。交2C的中点于。，于E,连接求证：是。。的切

【分析】连接OD只要证得/£。0=90°即可得到。E是。。的切线.

【解答】证明：连接OD,

・；£）是8c的中点，

:.BD=CD.

；OA=OB,

J.OD//AC.

又：。E_L/C,

：.OD.LDE.

是。。的切线.

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在判定一

条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段,

证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与

圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半

径，证垂直”.也考查了三角形中位线定理.

30.如图，为直径，AB=AC,8c与交于。，SLDELAC.求证：DE是。。切线.

r

【分析】首先连接DO,进而利用圆周角定理以及等腰三角形的性质和三角形中位线定理求出。。

I

//AC,进而得出即可.

।

【解答】证明：连接DO,

I

•・Z5是。。的直径，

:・/ADB=90°,

।

'：AB=AC,

।

:・BD=CD,

।

,：AO=BO,

।

：.D0是△NBC的中位线，

I

：

।.DO//AC,

'：DE±AC

：.OD1.DE,

i

是。。的切线.

【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理以及等腰三角形的性质和三角形中位线定理等知识,

得出。O〃/C是解题关键.

31.如图，已知是四边形N8CO的外接圆，49是。。的直径，BC=CD,过点C作交ND的

延长线于点交的延长线于点P.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若/8=10,AD=6,求CM的长.

【分析】(1)连接OC,根据弦，弧，圆心角的关系得到ND4C=NC4O,推出/D〃OG根据平行线的

性质得到NM=NOCP于是得到结论；

(2)连接BD交OC于E,根据垂径定理得到OCLBD,根据圆周角定理得到以〃4跖推出四边形CMDE

是矩形，根据矩形的性质得到CM=QE,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：(1)连接OC,

•:BC=CD,

・,・而=前，

・・・ZDAC=ZCAO,

,/OC=OA,

：.ZCAO=ZACO,

：.ZDAC=NACO,

：.AD//OC,

：.NM=/OCP,

U：PM.LAM,

：.OCLPM,

・・・尸河是。。的切线；

(2)连接交OC于E,

,•,CD=BC-

・•・OCLBD,

・・Z5是。。的直径，

:.BD上AM,

・・・四边形CMDE是矩形，

I--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

CM=DE,

【点评】本题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

32.如图，是O。的直径点RC是半圆弧ABC上的三等分点，连接NC,AF,过点C作CD，/尸交

/尸的延长线于点。，垂足为D.

(1)求证：CD是OO的切线；

(2)若OO的半径为4,求CD的长.

【分析】(1)连接OC,由。4=OC,利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到

一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC与AD平行，由8与4D垂直，得到C£>与

0c垂直，即可得证；

(2)连接。咒利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出N0C3的度数，在直角三角形OCE中，求

出CE的长，利用角平分线性质得到C£>=CE,即可求出CD的长.

【解答】(1)证明：连接0C,

'：OA=OC,

；./0AC=N0CA,

,••FC=CB-

ZDAC=ZCAB,

r

：.ZOCA=ZDAC,

・•・OC//AD,

・；CDL4D,

：.CDLOC,

则CD为圆。的切线；

(2)解：连接OR过。作CE_L48,

vAF=FC=CB-

：・NAOF=NFOC=NCOB=60°,

在RtZ\OCE中，OC=4,ZOCE=3,0°,

：.CE=2-j3>

平分ND/8,CDLAD,CELAB,

:.CD=CE=2M.

【点评】此题考查了切线的判定，圆心角、弧及弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性

质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.

33.如图，已知/C是。。的直径，8c是。。的弦，尸是。。外一点，连接PS,AB,OB,^.ZPBA=Z

ACB.

（1）求证：必是O。的切线；

（2）连接。P,若4P=BP,且OP=8,。。的半径是2弧，求的面积.

【分析】（1）欲证明总是切线，只要证明/尸3。=90°即可.

I---------------------------------------------------------------------------------------------------1

(2)先证明△尸丝△PCM,推出/尸/。=/尸2。=90°,推出产/=,0口2_0人2=,82_(2点)2=]

2</14，根据S^POA=1•0/•尸/计算即可.

2

【解答】解：⑴证明：：/。是直径，

ZABC=90°,

'：OC=OB,

：./OCB=NOBC,

,?ZPBA=ZACB,

：.ZPBA=ZOBC,

VZOBA+ZOBC=90',,

：.ZOBA+ZPBA=90°,

：.ZPBO=90°,

：.PB±OB,

；.尸3是。。的切线.

(2)在△尸。8和△PCM中，

'PA=PB

<P0=P0>

0B=0A

，APOB咨APOA,

：.NPAO=NPBO=90°,

j•*-PA=Vop2-OA2=Vs2-(2V2)2=-i

•••SAPOA=LOA，PA=LX2®X2^m=4夜•

22

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题中考常考题型.

34.如图已知是O。的直径，/8=10,点C,。在。。上，OC平分N/C3,点E在。。外，NE4C=N

D.

(1)求证：/£是O。的切线；

(2)求40的长.

【分析】(1)根据圆周角定理得出NBC/=90°,ZD=ZB,求出/2+NA4c=90°,ZEAC=ZB,

推出NE/C+/A4C=90°,根据切线的判定得出即可；

(2)连接2。，进而利用勾股定理得出的长.

【解答】(1)证明：..1夕是。。的直径，

AZBCA^9Q°,

：.ZB+ZBAC=90°,

,:/D=/B,NEAC=ND,

：.ZEAC=ZB,

：.ZEAC+ZBAC=90°,

:.BAL4E,

'：BA过O,

直线/E是。。的切线；

(2)解:连接2。，

ZBCD=ZDCA,

：.BD=AD,

：/8=10,

二/。=3。=亚X10=5五.

r

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，能求出5/是解此题的关键，注意：经过半

径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

35.如图，43是。。的直径，点。是O。上的一点，OC〃/。交。。于点£,点尸在CD的延长线上，Z

BOC+ZADF=90°.

（1）求证：CD是。O的切线；

【分析】（1）连接0D,由OC〃/。得到/2OC=N/,1^ZODA=ZA,贝!!NOZU=N2OC,由于N80C+

/4DF=90°,所以尸=90°,然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）延长CO交。。于“，于是得到£7/=/8=6,根据切割线定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接OD,如图，

"：OC//AD,

NBOC=NA,

而OD=OA,

：.ZODA=ZA,

：.ZODA=ZBOC,

,/ZBOC+ZADF=90°,

：.ZODA+ZADF=90°,

即N。。尸=90°,

J.ODLDF,

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

；.CD是OO的切线；

(2)延长CO交OO于〃,

：.EH=AB=6,

是。。的切线，

:.CD2=CE-CH,

即42=C£(CE+6),

：.CE=2(负值舍去).

【点评】本题考查了切线的判定定理，切割线定理，知道经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆

的切线是解题的关键.

题型5:辅助圆-定点定圆(提升)

36.如图，在平面直角坐标系中，点/、5的坐标分别为(-3,0)、(0,4),以点/为圆心，以N2长为

C.(-8,0)D.(2,0)或(-8,0)

【分析】根据题意求出N8的长，以/为圆心作圆，与x轴交于C,C,求出C的坐标即可.

【解答】解：•点/、8的坐标分别为(-3,0)、(0,4),

；Q=3,08=4,

^32+4^=5>

ri

.".AC'=5,AC=5,

...C'点坐标为（2,0）；C点坐标为（-8,0）.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质，作出辅助圆是解题的关键.

37.如图，点43的坐标分别为/（4,0）,B（0,4）,C为坐标平面内一点，2c=2,点M为线段/C

的中点，连接（W,加的最大值为.

【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的02上，再取。。=。4=4,连接。D,则（W是△/q

的中位线，OM=/cD，进而可得最大值时，。取最大值，止匕时。、B、C三点共线，计算即可求|

出结果.

【解答】解：为坐标平面内一点，BC=2,

.•.点C的运动轨迹是在半径为2的。5上，

如图，取。。=。4=4,连接OD,

r

;点M为线段/c的中点，

：.OM是△/CO的中位线，

•••OM'CD，

...(W最大值时，。取最大值，此时。、B、C三点共线，

此时在RtAOBD中，742+42=4A^2r

：.CD=2+4y/2>

...O河的最大值是1+272.

故答案为：1+2&.

【点评】本题考察了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点C的运动轨

迹.

38.如图，四边形ABC。中，AB=AC=AD,/CBD=20°,/BDC=3Q°,则N2AD=.

【分析】先根据4B=/C=AD可知，B、C、。三点在以点/为圆心，以为半径的圆上，再根据圆周

角定理即可得出结论.

【解答】W：'：AB=AC=AD,

：.B、C、。三点在以点工为圆心，以为半径的圆上，

VZCBD=20°,NBDC=30°,

:./BAC=2/BDC=60°,ZCAD=2ZCBD=4Q°,

:.NBAD=/BAC+/CAD=60°+40°=100°.

故答案为：100°.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

39.如图，在矩形/5CD中，已知/2=3,BC=4,点尸是2C边上一动点（点尸不与2,C重合），连接

AP,作点8关于直线/尸的对称点则线段MC的最小值为（）

A.2B.AC.3D.V10

2

【分析】当/，M,C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CW的长度即可.

【解答】解：连接

•.•点8和河关于/P对称，

•\AB=AM=3,

・・・M在以4圆心，3为半径的圆上，

・••当4,M,。三点共线时，G0最短,

+=5,4M=AB=3,

：.CM=5-3=2,

故选：A.

【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以Z为圆心，3为半径的圆上.

41.在四边形/BCD中，DC//AB,BC=1,4B=AC=AD=2,则AD长为多少

【分析】以/为圆心，N5长为半径作圆，延长24交。N于尸，连接。足在△8〃尸中，由勾股定理即

可求出BD的长.

【解答】解：以/为圆心，N8长为半径作圆，延长a4交。/于连接。尸.

AB—AC=AD=2,

：.D,。在圆4匕

,:DC〃AB,

・,・弧。/=弧5C,

:・DF=CB=\,BF=AB+AF=2AB=4,

•；FB是OA的直径，

:・/FDB=90°,

:,BD=V42-12=V15

故答案为：V15•

D/________________\c

【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以/为圆心，长为半径的圆，构建直角三角形，从

而求解.

题型6:辅助圆-定弦定角（提升）

42.如图，在矩形45CD中，4B=8,8C=6,点P在矩形的内部，连接P/,PB,PC,若NPBC=/PAB,

则尸C的最小值是（）

【分析】首先证明NP/B+NP2/=90°,得N4P2=90°,