2024-2025学年湖南省岳阳某中学高三（上）第二次检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳一中高三(上)第二次检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={xeZ|-3<X<3},B={x\y=77T1},则an8=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)c.{0,1,2}D.(-1,+8)

2.复数篇的共辗复数是()

A.B.|iC.-iD.i

3.若一sina+yT^cosa=2,贝Man(7i—a)=()

A.-V-3B.V-3C.D.-

4.已知等比数列{an}满足.。5=4(。4一1)，则的值为

A.2B.4C.|D.6

5.已知函数f(%)=/•%2_b有三个零点，贝脑的取值范围是()

A.(0,6B.(O4)C.(-ooD.[0,1)

6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos25=b(l-cosA)+a,则△ABC的形状是

()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.函数/(%)=2sinnx-73x-4所有零点的和等于()

A.6B.7.5C.9D.12

8.设a=",力=2必(sin2+cos%。=,呜，则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知％>0,y>0,且％+2y=2,则()

A.的最小值是1B.%2+y2的最小值是看

C.2'+”的最小值是4D」+，的最小值是5

xy

10.设函数/(%)=炉—%2+_1,则()

A.当a=-1时，/(x)有三个零点

B.当a>，时，/(*)无极值点

C.maeR,使/(%)在R上是减函数

D.VaGR,/(久)图象对称中心的横坐标不变

11.形如/(久)=ax+^a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老

师给我们批阅作业所用的，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴

上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知。为坐标原点，下列关于函数f(x)=久+；的说法

正确的是()

A.渐近线方程为x=0和y=x

B.y=/(%)的对称轴方程为y=(/2+l)x和y=(1-72)x

C.M,N是函数〃>)图象上两动点，P为的中点，则直线MN,OP的斜率之积为定值

D.Q是函数/(©图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于4B两点，则AOAB的面积为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量2=(1,2),3=(2—尢4),若N与3的夹角为锐角，则2的取值范围是.

13.数列｛即｝的前n项和为%,的=1,an+1=2Sn(neJV*),则与=.

14.设等差数列｛a"的各项均为整数，首项的=3,且对任意正整数n,总存在正整数小，使得的+a2+…

+an=am,则关于此数列公差d的论述中，正确的序号有.

①公差d可以为1；

②公差d可以不为1；

③符合题意的公差d有有限个；

④符合题意的公差d有无限多个.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在锐角A4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且%等=空警.

ab3a

(1)求角B的大小；

(2)若6=2后，求a+c的取值范围.

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—HBCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=2.AP4D为等边三角形，平面PAD1

平面4BCD,E为AD的中点.

(I)求证：PELAB■,

(II)求平面P4C与平面4BCD夹角的余弦值.

17.(本小题12分)

已知椭圆C：郎+，=l(a>6>0)的离心率为全左、右顶点分别为4、B,左、右焦点分别为&、尸2.过

右焦点/2的直线1交椭圆于点”、N,且A&MN的周长为16.

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵记直线WBN的斜率分别为小七，证明：物定值•

18.(本小题12分)

设/(%)=ex.

(1)求证：直线y=%+1与曲线y=/(%)相切；

(2)设点P在曲线y=/(%)上，点Q在直线y=%—l上，求|PQ|的最小值；

(3)若正实数a,b满足：对于任意汽eR,都有/(%)>ax+bf求ab的最大值.

19.(本小题12分)

a

数列{即}的前几项a「2>■■■>%i(n€N*)组成集合力.={的,£12,…，即},从集合4t中任取k(k=1,2,3,…，九)

个数，其所有可能的k个数的乘积的和为若只取一个数，规定乘积为此数本身)，例如：对于数列{2n-

1),当n=l时，&={1},7\=1;九=2时，A2={1,3}，7\=1+3,T2=1-3；

⑴若集合4=口35,…,2n-l},求当n=3时，7\,T2,。的值;

(2)若集合4n={l,3,7,...,2n-1},证明：n=k时集合4的心与n=k+1时集合4c+1的孰(为了以示区

别，用哙'表示)有关系式%'=(2k+1—1)7nl_】+射，其中爪，k€N*,2<m<k；

⑶对于(2)中集合4n.定义为=A+72+…+Tn,求%(用n表示).

参考答案

1.71

2.C

3.C

4.B

5.4

6.D

7.C

8.F

9.BC

10.BD

U.ABD

y-44

12.(-2,1)U(1,+OO)

13f15=1

(2-3n-2,n>2

14.①②③

15.(本题满分为12分)

解：(1)锐角△ABC中，等+等=空H匹，

•••bcosA+acosB=^-^-bsinC,

由正弦定理得siziBcosA+cosBsinA=^^-sinBsinC,

・•・sin(>l+8)=^^-sinBsinC,

又sin(/+B)=sinCW0,

••・sinB=苧，

又0V8V今

•e-B='..6分

⑵由正弦定理短=肃=六=4,

则有Q=4sizi4c=AsinC,...7分

则a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4s讥(与一力)=6sinA+2yf3cosA=4A/3sin(4+》...9分

由0<4<热0<y-/l<p

可得：1<A<\〈亭，...11分

6Z363

可得：?<sin(X+^)<1,

可得：6<a+c<4后…12分

16.解：(/)因为APAD为正三角形，E为4D中点，

所以PELAD.

因为平面PAD_L平面2BCD,平面PADCl平面4BCD=AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABCD.

因为力Bu平面4BCD,

所以PELAB.

(II)由(I)知，PE1平面4BCD.

取BC中点F,连结EF.

因为底面ABC。为矩形，E为2。中点，

所以EF1AD.

所以R4,EF,EP两两垂直.

分别以瓦4,EF,EP为x轴，y轴，z轴，建立

空间直角坐标系E-xyz.

则E(0,0,0),4(1,0,0),P(0,0,73)-C(-l,3,0)

所以同=(1,0,—0)，AC=(-2,3,0).

设平面P4C的法向量元=(%,y,z),

由以二例M72

令z=V3,得％=3,y=2.

所以元=(3,2,43).

平面ABCO的法向量前=(0,0,0

设平面R4C与平面4BCD夹角大小为仇

元.前_⑶2,⑸(0,0,6)_73

则cos。=\cos(n,EP)\=

同.1研一4x/3-4

所以平面24c与平面4BCD夹角的余弦值为今

17.解：(1)由A6MN的周长为16,及椭圆的定义，可知：4a=16,即a=4,

又离心率为c=；=3,所以c=2,

Z?2=a2-c2=16—4=12.

(2)依题意，直线/与无轴不重合,

设2的方程为：x=my+2.

Ny2

联立16+12-1得：(3m2+4)y2+12my-36=0,

x=my+2

因为尸2在椭圆内，所以/>0,

即(12M)2+4(3m2+4)X36>0,易知该不等式恒成立,

设MQ1，%),N(x2,y2)>

-36

由韦达定理得％+y=—12m

23m2+4137n2+4‘

又4(—4,0),8(4,0),

yi

1=%1+4_丫式%2-4)_，1(预彩-2)="丫2一2%

2--y(Xi+4)-丫2(加丫1+6)-myy+6y,

<“2一，2122

注意到唱餐=一!券W，即：my1y2=3(%+y2),

所以灯=.次>2_2-=3(当+力)一2巧=力+3y2=1

.々2-血丫1丫2+6丫2-301+〉2)+6丫2-3丫1+9y2-3,

18.1?：(1)证明：设直线y=x+l与/Q)=峭相切于点®),靖。)，

易知/(久)=/,则斜率k=((K。)=〃。=1,解得久0=0,即切点为(0,1)；

此时切线方程为y—1=%,即y—x+1,

所以可得直线y=%+1是曲线y=/(%)在点(0,1)处的切线方程；

(2)根据题意，将直线y=x—1往靠近曲线y=的方向平移，

当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近，

设切线方程为y=x+c,

由(1)可知，当切线斜率为1时，切点坐标为(0,1),此时切线方程为y=x+l,

此时P(0,l),从P点向直线y=;c—1作垂线，垂足为Q,此时|PQ|取最小值，

即1PQI=*T=2，

所以|PQ|的最小值为丁2

(3)若对于任意％eR,都有/(%)>ax+b,即可得e"—ax—b>0恒成立，

xx

令g(%)=e—ax—b9则g'(%)=e-a,

当a<0时，g'(%)=ex-a>0恒成立，即g(%)在久6R上单调递增，

显然当不趋近于-8时，不等式并不恒成立，不合题意；

当a>0时，令g'(x)=ex—a=0,解得久=Ina,

所以当％E(一8,伍a)时，“(%)<0,此时g(%)在(一8,仇a)上单调递减，

当久e()a,+8)时，“(%)>0,此时g(%)在(伍a,+8)上单调递增，

所以9(%)在％="a处取得最小值，

即满足9(%)而九=g(lna)=elna-alna—b=a—alna—b>0即可，

即b<a—alna,

由a>0可得ab<a2(l—Ina),

设九(%)=x2(l—Znx),则〃(%)=2x(1—Inx)+%2x(--)=x(l—2"

令h'(%)=0可得久=

即%G(0,，石)时，//(%)>0,所以/i(%)在(0,V~3)上单调递增，

当第e+8)时，h'(x)<0,所以九(%)在+8)上单调递减，

所以九(%)7n以=/i(V~e)=e(l-lnV-e)=|,

即ab<I，

所以ab的最大值为1

19.(1)解：当人=3时,A3={1,3,5),

7\=1+3+5=9,T2=1x34-1x5+3x5=23,T3=1x3x5=15.

1k+1

(2)证明：当几=/£+1时，集合及+有k+1个元素，比n=k时的集合4c多了一个元素：ak+1=2-

1.•••对应的篇包含两个部分：

①若心中不含以+i，则&中的任何项恰好为几=k时集合4的对应的7中的■项.

(ii)若4%中含耿+i的任何一项，除了以+「其余的爪-1个数均来自集合4k，这m-1个数的乘积恰好为集

合4所对应的小_】中的一项.

••・有关系式7'=(2丘1一1)7%_1+射，其中6，k€N*,2<m<k.

13

(3)解：由£=1—"Z—1—1,S2=7=2—1,S3=63=2,一1,

n(n+l)

猜想匕=22—1.

下面证明：

(i)易知?1=1