2024年中考数学试题分类汇编：锐角三角函数及其应用（56题）解析版

专题24锐角三角函数及其应用（56题）

一、单选题

1.（2024•云南・中考真题）在ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,贝!JtanA的值为（）

A.iB.1C—DT

5354

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】解：,•,在「ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

.,BC4

..tanA==—,

AB3

故选：B.

【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义.

2.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,尸是边BC上两点，且BE=EF=FC,连接

。瓦AF,£>E与"相交于点G,连接3G.若AB=4,BC=6,则sin/GBP的值为（）

【答案】A

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G作GHLBC,证明

FGpp1

AGDsFGE,得至!］黑=某==，再证明"GHF—极？，分别求出HG,尸”的长，进而求出的长,

AGAD3

勾股定理求出3G的长，再利用正弦的定义，求解即可.

【详解】解：・・,矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

:・AGXFGE,BF=4,

.FGEF_1

**AG-AD-3?

,FG

**AF-4

过点G作GHL3C,贝！J：GH//AB,

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GHFs.ABF,

,FHGHFG_1

・•萨一方一赤一"

FH=-BF=\,GH=-AB=\,

44

BH=BF—FH=3,

BG=>/l2+32=y/10>

iTio

：.sinZGBF=—

BGVio-io

故选A.

3.（2024・四川雅安・中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房8的高度（如图），他们在A

处仰望楼顶，测得仰角为30。，再往楼的方向前进50米至8处，测得仰角为60。，那么这栋楼的高度为（人

的身高忽略不计）（）

A.25旧米B.25米C.25五米D.50米

【答案】A

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三

角形.

设OC=x米，在RtACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC,在描3C。中，利用锐角三角函数定义

表示出BC,再由AC-3C=AB=50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可.

【详解】解：设。C=x米，

在RtACD中，ZA=30°,

tanA=g,即tan30o=—=3，

ACAC3

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整理得：AC=JL米，

在RfBCD中，ZDBC=60°,

tanZr>BC=—,即tan60°=▲=百,

BCBC

整理得：BC=昱x米,

3

TAB=50米，

AC-BC=50,即后一生=50,

解得：X=25y/3,

侧这栋楼的高度为256米.

故选：A.

4.(2024.四川资阳•中考真题)第14届国际数学教育大会(JCME—14)会标如图1所示，会标中心的图案

来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(―母，4BCF,

CDG,DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形A5CD.若EF：AH^1：3,则sin/ASE=()

史

B.-D,

555

【答案】C

【分析】设EF=x，则AH=3x,根据全等三角形,正方形的性质可得AE=4x,再根据勾股定理可得AB^5x,

即可求出sin/ABE的值.

【详解】解：根据题意，设£F=x,则AH=3x,

四边形EFGH为正方形,

：.AH=BE=3x,EF=HE=x,

AE=4x,

NAEB=90。，

•*-AB=>JAE2+BE2=5x，

：.sinZABE=-4x4

AB5x5

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故选：c.

【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解

题的关键.

5.（2024.四川达州•中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2,

ZABD=120°,其中点A,B,C都在格点上，贝Utan/BCD的值为（）

L3

A.2B.2-\/3C.—D.3

2

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长3C交格点于点尸，连接w，E,G分别在格点上,

根据菱形的性质，进而得出NAFC=90。，解直角三角形求得A凡巾的长，根据对顶角相等，进而根据正

切的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，延长BC交格点于点尸，连接AF,E,G分别在格点上，

依题意，/EGF=120。,EG=GF,GF=GC,ZFGC=60°

：.ZCEF=30°,ZECF=60°

ZAFC=90°

又FC=2,

・•・AF=2EF=4EGcos30°=4x2x—=4A/3

2

AF4J3r-

tanZBCD=tanZACF=——==2^3

FC2

故选：B.

6.（2024・四川南充・中考真题）如图，在而ABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,AD平分/C钻交BC

于点。，点E为边居上一点，则线段DE长度的最小值为（）

AEB

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A.72B.73C.2D.3

【答案】C

【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得NBAC和AC,结合

角平分线的性质得到NC4D和。C，当DES时，线段DE长度的最小，结合角平线的性质可得OE=OC

即可.

【详解】解：•••NC=90。,ZB=30°,

•\ZB4C=6O°,

AC

在RtABC中，tan/B=——,解得AC=2A/3,

CB

•・•AD平分/C4B,

・・・NC4T>=30。，

DC

tan/C4Z）=-----,解得DC=2,

当。E工AB时，线段DE长度的最小，

,/AD平分NC4B,

DE=DC=2.

故选：C.

7.（2024・江苏无锡・中考真题）如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是8的中点，则sinNEBC的值

为（）

A.@B・立C.叵D.迫

551414

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助

线，构造直角三角形求解.

延长BC,过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H,设3C=CD=x,易得ZABC=NDCH=60。,贝U

CE=^-CD=^-x,进而得出EH=CE•sin60°=且x,CH=CE•cos60°=Lx,再得出8"=3C+CH=：x,

22444

FH

最后根据sinNE3C=H，即可解答.

【详解】解：延长3C,过点E作BC延长线的垂线，垂足为点X,

:四边形ABCO是菱形，

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BC=CD,AB//CD,

：.ZABC=ZDCH=60°,

T^BC=CD=X,

E是8的中点，

/.CE=-CD=-x,

22

•/EH±BH,

EH=CE-sin60°=—x,CH=CE-cos600=-x,

44

：.BH=BC+CH=-x,

4

BE=^BH2+EH-=—X

2

6

FH工叵

：.sin/EBC=——

BEV7-14)

——x

2

二、填空题

8.（2024・四川巴中•中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与8。交于点0,DE1AC于点E,延长。E

与2C交于点心若AB=3,BC=4,则点歹到8D的距离为.

21

【答案】市

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作斤垂足为H,

利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出。尸的长，再利用勾股定理求出FC,从而得出砥，利

用三角形面积求出即可.

【详解】解：如图，过点F作FHLDB,垂足为"，

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四边形ABCD为矩形,

:.ZBAD=ZBCD=90°,AC=BD,

AB=3,BC=4,

AC=3D=yjAB2+BC2=V32+42=5，

S.=-AD-DC=-AC-DE,gp-x4x3=-x5xZ)E,

•血nc2222

1?

解得：D£=y,

12

:.cosZEDC=—=—,即《3,

DCDF~~

解得：DF=9,

4

97

:.BF=BC-FC=4——=—,

44

sBDF=；BD-FH=；BF•DC,即:x5xFH=3x（x3,

21

解得：FH=­f

21

故答案为：—.

9.（2024.四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片A3CD沿对角线30折叠，使点C落在点石处，BE与AD

交于点R若AB=6,BC=8,则cos/AB尸的值是

24

【答案】-

【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.

折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证斯=。尸，再利用W求出边长，从而求解即可.

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【详解】解：•••折叠,

:.ZDBC=NDBF,

•••四边形ABCO是矩形，

:.ADBC,AD=BC=8,

:.ZADB=NDBC,

:.ZDBF=ZADB,

:.BF=DF,

:.AF=AD—DF=8—BF,

在RfABR中，AB2+AF2=BF2,

62+(8-BF)2=BF2,

25

解得8尸=二，

4

cosZABF=—=—

BF25

24

故答案为：—.

10.（2024.四川资阳・中考真题）在，/IBC中，ZA=60°,AC=4.若ASC是锐角三角形，则边长的

取值范围是.

【答案】2<AB<8

【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线.作的高8,BE,根据题意可

得AOAE,在处ACD中，根据三角函数可得ADnACgpos?A2,即/山>2,再根据

ApAC

AB=^-<^—,即可求解.

coswcosA

【详解】解：如图，作ABC的高CO,BE,

,/RC是锐角三角形,

CD,8E在的内部,

■.AB>AD,AC>AE,

在RtACD中，ZA=60°,AC=4,

AD=ACg:os?A4?12,

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,AB>2,

又cos行1cosA1

2<AB<8,

故答案为：2<AB<8.

H.（2024・福建・中考真题）无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知

帆船航行方向与风向所在直线的夹角1尸”为70。，帆与航行方向的夹角NPDQ为30。,风对帆的作用力F

为400N.根据物理知识，尸可以分解为两个力8与F2,其中与帆平行的力耳不起作用，与帆垂直的力F?

仪可以分解为两个力力与人工与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；力与航行方向一致，是真正推动帆船

前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：/=">=400,则

f2=CD=_____.（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cos40°=0.77）

航行方向

帆

6

【答案】128

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出NADQ=40。，/1=/尸。。=30。，由AB〃QD得到

ZBAD=ZADQ=40°,求出居==AD-sin/BAD=256,求出NBDC=90。一=60。在RtBCD中，根

据力=。=2。<。$/2。。即可求出答案.

【详解】解:如图，

航行方向

帆

6

F风向/

;帆船航行方向与风向所在直线的夹角/PDA为70°,帆与航行方向的夹角NPOQ为30。,

/.ZADQ=/PDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Zl=ZPDQ=30°,

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,/AB//QD,

：.ZBAD=ZADQ^40°,

在RtAABD中，F=AD=400,?ABD90?,

/.K=BD=AD-sinABAD=400xsin400=400x0.64=256,

由题意可知，BDVDQ,

：.ZBDC+Zl=90°,

：.ZBDC=90°-Zl=60°

在RtBCD中，BD=256,/BCD=90。,

：.力=C£>=BD-cosZBDC=256xcos60°=256x-=128,

22

故答案为：128

12.（2024・四川眉山・中考真题）如图，斜坡CO的坡度力=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,

当太阳光与水平面的夹角为60。时，大树在斜坡上的影子8E长为10米，则大树的高为米.

【答案】（4厉-2君-2君+4小）

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形.

如图，过点E作水平地面的平行线，交A3的延长线于点设=x米，EH=2x米,勾股定理求出

x=2亚,解直角三角形求出A"=tanNAE7f==进而求解即可.

【详解】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交的延长线于点H,

在RtZ^BEH中，tanZBEH=tanZBCF=i=,

EH2

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设即/=九米，即=2%米,

BE=dEH°+BH?=6=10,

..x=,

:.BH=2亚米,EH=4小米,

QZAEH=60°f

:.AH=tan/AEH•EH=6EH=4亚（米）,

AB=AH-BH=（4A/15-2>/5）（:米）,

答：大树A8的高度为（4A-2君）米.

故答案为：（4715-275）.

13.（2024.湖南.中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（ch6ng）捣谷物的工具——“碓（dui）”

的结构简图，右图为其平面示意图，已知AS,CD于点8,AB与水平线/相交于点。，OEYI.若BC=4

分米，03=12分米.NBOE=60。,则点C到水平线/的距离C/为分米（结果用含根号的式子表

示）.

—

血

物

【答案】（6-2⑹/卜2百+6）

【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长。C交/于点H,连接0C,根据题意及

解三角形确定88=4/，OH=8出，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键.

【详解】解：延长DC交/于点“，连接0C,如图所示:

03=12dm

/.BH=12xtan30°=4V3,OH=

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S40BH=S^OCH+S4OBC

:.-OBBH=-OHCF+-OBBC

222

gp1x473X12=-X8A/3XCF+-X12X4,

222

解得：CF=6-2A/3.

故答案为：（6-2A/3）.

14.（2024•江西・中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形A8CO,连接AC,则

tanZC4B=.

【答案】1/0.5

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1,设等腰直角

的直角边为。，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根

据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为“，则=，小正方形的边长为

MP=2a,

EM=yl（2a）2+（2a）2=2缶，

；•MT=EM=2缶，

/.QT=25/24;—sfla=V2a,

如图2,过点C作CHLAB的延长线于点H,则CH=8£>,BH=CD,

由图（1）可得，AB=BD=26a，。=缶+缶=2缶，

,CH=2缶，BH=2近a，

•*-AH=20a+2及a=4缶,

2y[2aJ.

tanZC4B=—

AH4。2

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15.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形A3C的顶点A的坐标为（0,4）,点、B,C

均在x轴上.将，ABC绕顶点A逆时针旋转30。得到△AB'C',则点C'的坐标为

【答案】（4,4-孚）

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作CF_LAO,

求出。/，Cb的值即可得到答案.

ABC是等边三角形，AO1BC,

AO是/区4c的角平分线，

，/OAC=30。，

OC=-AC,

2

在RtAOC中，AO2+OC2AC2,

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即16+§AC)2=3,

解得AC考

…c与

4x/3

0F=AO-AF=4-AC-cos600=4---,

3

FC=AC-sin6Q°=—x^=4,

32

C(4,4-

故答案为：（4,4-

三、解答题

16.（2024.黑龙江大庆.中考真题）求值：椁-2卜（2024+兀）°+tan60。.

【答案】1

【分析】本题主要考查了实数运算.直接利用特殊角的三角函数值以及零指数暴的性质、绝对值的性质分

别化简即可得出答案.

【详解】解：2-2卜（2024+7r）°+tan60。

=2-^-1+^

=1.

17.（2024・湖北•中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1）,测得C地与树相距10米，眼睛。处观测树的顶端A的仰角为32。：

方案二：如图（2）,测得C地与树48相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E,眼睛O在镜子

C中恰好看到树AB的顶端A.

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度.（结果保留整数，tan32°®0.64）

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AA

D

E

图（2）

【答案】树48的高度为8米

【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题.

方案一：作/组1相，在Rt^ADE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【详解】解：方案一：作垂足为E,

则四边形BCDE是矩形，

OE=BC=10米，

在RtZ\AT）E中，ZADE=32°,

：.AE=DE-tan32°»10x0.64=6.4（米），

树A3的高度为64+1.6=8米.

方案二：根据题意可得ZACB=/DCE,

；NB=ZE=90°,

：..ACB^DCE

.ABBCAB10

••=,Hn—

DECE1.62

解得：A5=8米，

答：树AB的高度为8米.

18.（2024.山东泰安・中考真题）（1）计算：21皿60。+、）一卜用+J（一3/；

..AA（2x—1\——1

（2）化|旬：1---------+---------.

Vxjx

Y—1

【答案】（1）7；（2）--

尤+1

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【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幕，二次根式和

绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键.

（1）利用特殊角的三角函数，负指数幕，二次根式和绝对值进行实数的运算；

（2）利用分式的运算法则化简即可.

【详解】解：（1）2tan60°

=2肉4-2昌3

x2-2x+lx

x2-l

尤-1

x+1

19.（2024・辽宁.中考真题）如图1,在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提

起.起始位置示意图如图2,此时测得点A到3C所在直线的距离AC=3m,ZCAB=60°；停止位置示意

图如图3,此时测得/CD3=37。（点C,A,。在同一直线上，且直线。与平面平行，图3中所有点在

同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.（参考数据：sin37。q0.60,cos37。*0.80,

tan37°«0.75,73«1.73）

⑴求A3的长；

（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）.

【答案】（1）6m

（2）2.7m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

（1）解Rt^ABC即可求解；

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(2)在Rt^ABC中，由勾股定理得，BC=3g,解RtBCD求得BD=56,由题意得，BC+AB=BE+BD,

故BE=BC+AB-BD=6-2框,则CE=BC-BEa2.7m.

【详解】(1)解：由题意得，ZBCA=90°,

VAC=3m,ZCAB=60°,

Ar

・••在RtZXABC中，由cos/A=——,

AB

31

得：—=cos60°=-,

AB2

AB=6m,

答：AB=6m；

(2)解：在Rt^ABC中，由勾股定理得，BC=>jAB2-AC2=3^>

在RtBCD中，sinZCDB=——，

BD

3J3

/.sin37°=—=0.6,

BD

/.BD=5y/3,

由题意得，BC+AB=BE+BD,

BE=BC+AB-BD=3拒+6-56=6-2日

：.CE=BC-BE=3&[6-2#))=5#)-6x2.7m,

答：物体上升的高度约为2.7m.

20.(2024・四川内江・中考真题)(1)计算：|-l|-(V2-2)°+2sin30°

(2)化简:(x+2)(x-2)-尤2

【答案】(1)1；(2)-4

【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的运算.

(1)先计算绝对值，零次幕和特殊角的三角函数，再计算加减即可.

(2)先计算平方差公式，再合并同类项即可.

【详解】解：(1)原式=l-l+2x1

2

=1-1+1,

=1

(2)原式=三一4一炉

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=-4

21.（2024・湖南・中考真题）计算：|-3|++cos60°-6.

【答案】I

【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次嘉的运算等，先化简绝对值、零次塞及

特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键.

【详解】解：|-3|++cos600-A/4

=3+1+——2

2

22.（2024・四川广安•中考真题）计算：+2sin60°+|A/3-2|-^-j.

【答案】1

【分析】先计算零次幕，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幕，再合并即可.

【详解】解：^j-3j+2sin60°+|V3-2|-Q^'

=l+2x立+2-且2

2

=1+73+2-73-2

【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幕，负整数指数幕的含义，化简绝对值,

掌握相应的运算法则是解本题的关键.

23.（2024・江苏盐城・中考真题）计算：卜2|-（1+乃）°+4sin30。

【答案】3

【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数累、代入特殊角三角函数值，再进行混合运算

即可.

【详解】解：|-2|-（l+^）°+4sin30°

=2-l+4x-

=2-1+2

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=3

24.（2024・四川遂宁•中考真题）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱A8高40cm，他发现当灯带与水

平线夹角为9。时（图1）,灯带的直射宽DE（3D_L3C,CE_L3C）为35cm,但此时灯的直射宽度不够,

当他把灯带调整到与水平线夹角为30。时（图2）,直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距

离.（结果保留1位小数）（sin9°«0.16,cos9°»0.99,tan9°«0.16）

【答案】此时台灯最高点C到桌面的距离为57.3cm

【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，BC^BMcos90,在图2中求得CN,进而根据灯

柱48高40cm，点C到桌面的距离为AB+CN,即可求解.

【详解】解：由已知，BM//AE,

在图1中，DE//BM

•：BD1BC,CE±BC

：.BD//CE

.••四边形BDEM是平行四边形，

BM=DE=35

在RtaBMC中，BC=BM-cos9°

在图2中，过点C作CN于点N,

CN=BCsin30°=BM•cos9°-sin30°=35x0.99x」a17.3cm

2

灯柱AB高40cm,

点C到桌面的距离为AB+CN=40+17.3=57.3cm

第19页共58页

答：此时台灯最高点C到桌面的距离为57.3cm.

-1

25.（2024・四川泸州・中考真题）计算：|-V3|+（7t-2024）°-2sin60°+

【答案】3

【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数累，负整数指数暴，特殊角的三角函数值，二次根式的

加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.先化简各式，然后再进行加减计算即可解答.

【详解】解：原式=^+l-2x也+2,

2

=石-昌3,

=3.

26.（2024・四川自贡・中考真题）计算：（tan45°-2）°+|2-3|-V9

【答案】-1

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正切值，再运算零次幕，绝对值，算术平方

根，再运算加减，即可作答.

【详解】解：（tan45°-2）°+|2-3|-V9

=（1-2）°+|2-3|-79

=1+1-3

=—1.

27.（2024•重庆・中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B,。两港运送物资，最后到

达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60。

方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60。方向航行一定距离到达。港，再沿南偏东30。方向

航行一定距离到达C港.（参考数据：72«1.41-6。1.73,76~2.45）

（1）求A,C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；

（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠8、。两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.

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【答案】(1)A,C两港之间的距离77.2海里;

(2)甲货轮先到达C港.

【分析】(1)过B作防，AC于点E,由题意可知：/G4B=45。，/£BC=60。，求出

AE=ABcos/BAE=20直，CE=BEtanNEBC=2046即可求解；

(2)通过三角函数求出甲行驶路程为：AS+3C=40+56.4=96.4,乙行驶路程为：

AD+CD=66.8+38.6=105.4,然后比较即可；

本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

【详解】(1)如图，过8作骸，AC于点E,

B\

ZAEB=NCEB=90°,

由题意可知：/G"=45。，Z£BC=60°,

ZBAE=45°,

•*-AE=ABcosNBAE=40xcos45°=2072，

CE=BEtanNEBC=20夜tan60°=2072x6=20娓,

/.AC=AE+CE=20匹+20面。20xl.41+20x2.45a77.2（海里）,

；.A,C两港之间的距离77.2海里;

（2）由（1）得：ZBAE^45°,/EBC=60。,AC=77.2,

BE=ABsin/BAE=40xsin45°=200，

BE207220V2m后一

.BC=-------------=----------=—,—=40V2»56.4

,,cosNEBCcos6001，

2

由题意得：ZADF=60°,NCDF=30°,

ZADC=90°,

11173

CD=-AC=-x77.2=38.6,AD=ACcos30°=77.2x^^66.8（海里），

222

.••甲行驶路程为：Afi+3c=40+56.4=96.4（海里），乙行驶路程为：AD+CD=66.8+38.6=105.4（海里）,

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V96.4<105.4,且甲、乙速度相同，

.••甲货轮先到达C港.

28.（2024•重庆・中考真题）如图，A,B,C,。分别是某公园四个景点，8在A的正东方向，。在A的

正北方向，且在C的北偏西60。方向，C在A的北偏东30。方向，且在8的北偏西15。方向，AB=2千米.（参

考数据：V2»1.41，0°1.73,76»2.45）

（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；

（2）甲、乙两人从景点。出发去景点8,甲选择的路线为：D-C-B,乙选择的路线为：D-A-B.

算说明谁选择的路线较近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲选择的路线较近

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用:

（1）过点8作BELAC于£,先求出NACB=45。，再解Rt/VLBE得到3万=百千米，进一步解RtBCE

即可得到BC=—41—=#。2.5千米；

smZBCE

（2）过点C作CFJLAD于先解RtAABE得到AE=1千米,贝I]AC=AE+CE=（1+岔）千米，再RtAAFC

得到5=匕走千米，=千米，最后解RtDCF得到。歹=型史千米，山》=史诙千米，即

2263

CD+BC=+76«4.03AD+AB#5.15千米，据此可得答案.

3

【详解】（1）解：如图所示，过点B作班，AC于E,

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由题意得，ZG4B=90°-30°=60°,ZABC=90°-15°=75°,

ZACB=180°-ZCAB-ZABC=45°,

在RtAABE1中，ZAEB=90°,AB=2千米，

2E=AB-cos/BAE=2-cos60°=6千米,

BE

在RtBCE中,BC=

sinZBCE

：■2C的长度约为2.5千米;

(2)解：如图所示，过点C作C尸，AD于

在RtAABE中，AE=AB-cosZBAE=2•cos60°=1千米,

/.AC=AE+CE={l+-j3^^z,

在RtAAFC中，CF=AC-sinZCAF=（1+•sin30°=上乎千米,

AF=AC-cosZCAF=（1+若）•cos30°=千米，

在RtDC尸中，ZDCF=30°,ZDFC=9Q°,

•*.DF=CF-tanZDCF=-tan30°=,

26

I+A/3_

CF_I__3+百千米，

CxZv———

cosDCFcos3003

第23页共58页

CT)+BC=3+逐+而人4.03千米,AD+AB=DF+AF+AB=2+i+^+3+^^5.15^-^,

362

,?4.03<5.15,

甲选择的路线较近.

29.(2024・四川遂宁•中考真题)计算：sin45°++/+

【答案】2024

【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数募的性质、特殊角的三角函数

值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键.

【详解】解：$M45。+乎-1+”+

乙\/UN_LJ

=-+1--+2+2021

22

=2024.

30.(2024・四川巴中・中考真题)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡

度i=l：6,BE=6m,在8处测得电线塔CD顶部。的仰角为45。，在E处测得电线塔8顶部。的仰角

(1)求点8离水平地面的高度AB.

(2)求电线塔CO的高度(结果保留根号).

【答案】⑴M=3m；

(2)电线塔8的高度(66+6)m.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用.

(1)由斜坡8E的坡度i=l:g,求得丝=4=走，利用正切函数的定义得到NfiE4=30。，据此求解

AEyJ33

第24页共58页

即可;

(2)作即」CD于点/，设=x,先解RtADB厂得到解RtVDCE得至UEC=¥(x+3)米，进

而得到方程36+g(x+3)=x,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：,••斜坡BE的坡度，=1:石,

.AB_1y/3

••—,

AE63

)./r>厂4ABV3

,tan/BEA=----=—,

AE3

ZBE4=30°,

*.*BE=6m,

AB=1BE=3(m)；

(2)解：作于点b，则四边形ASPC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

DF

在中，tanZDBF=—,

BF

：DF

.BF=--------------=xm,

tan/DBF

在RtAABE中，AE=yjBE2-AB2=373>

在RtVDCE中，DC=DF+CF=(^+3)m,tanZDEC=——

EC

・s焉+3),

BF=AE+EC,

3A/3+等(x+3)=尤,

x=65/3+6,

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答：电线塔8的高度（6若+6）m.

31.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）（1）计算：A/9+（7i+l）+2sin60°+|2—A/S|；

（2）已知3=0,求代数式（a—2）~+（a—l）（a+3）的值.

【答案】（1）6；（2）7.

【分析】（1）利用算术平方根、零指数哥、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求

解；

（2）由/_q_3=0得片-a=3,化简代数式可得（。一2）2+（4-1）（4+3）=2（/一4+1,代入计算即可求

解；

本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解：（1）原式=3+l+2x@+2-6

2

=4+73+2-73,

=6；

（2）3=0,

•••261—〃Q=3,

1・（a-2）+（〃-l）（a+3）

=a?—4a+4+a2+2a—3,

-2/—2。+1,

—2（/_Q）+],

=2x3+1,

=7.

32.（2024.黑龙江大庆.中考真题）如图，8是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路/上由北向南

行驶，在A处测得桥头C在南偏东30。方向上，继续行驶1500米后到达5处，测得桥头。在南偏东60。方向

上，桥头。在南偏东45。方向上，求大桥C。的长度.（结果精确至八米，参考数据：目土1.73）

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【答案】548米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点C。作的垂线，垂足分别为QE,根据题意得出

AB=BC=1500,解RtBCF求得BF,CF,进而求得3E=ED=CF,根据CD=EF=BE—BF,即可求

解.

【详解】解：如图所示，分别过点GD作A8的垂线，垂足分别为凡E,

.••四边形CD所是矩形，

ACF=ED,CD=EF,

依题意，ZCBE=60°,30°,

ZACB=ZCBE-ZCAB=30°,

ZCAB=ZACB,

：.AB=BC=1500；

在RtBCV中，CF=BCxsinZBCF=1500x=75073,

2

BF=BCcosZCBF^-BC^150-

2

在R