2025届赣州市重点中学高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2025届赣州市重点中学高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三维数组，，且，则实数（）A.-2 B.-9C. D.22．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．如果向量，，共面，则实数的值是（）A. B.C. D.4．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.5．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（）A.10 B.13C.17 D.266．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（）A. B.C. D.7．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（）A. B.C.4 D.8．已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为A. B.C. D.9．曲线在点处的切线过点，则实数（）A. B.0C.1 D.210．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B.C. D.12．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道与具有线性相关性，其线性回归方程为，则______.（参考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.814．不等式的解集是___________.15．若复数满足，则_____16．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？18．（12分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.19．（12分）某公司有员工人，对他们进行年龄和学历情况调查，其结果如下：现从这名员工中随机抽取一人，设“抽取的人具有本科学历”，“抽取的人年龄在岁以下”，试求：（1）；（2）；（3）.20．（12分）如图，在直三棱柱中，，E、F分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面21．（12分）已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.22．（10分）已知的内角的对边分别为a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由空间向量的数量积运算即可求解【详解】∵，，，，，，且，∴，解得故选：D2、B【解析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由已知可得，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.3、B【解析】设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.【详解】由于向量，，共面，设，可得，解得.故选：B.4、A【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.5、B【解析】计算出抽样比可得答案.【详解】该校高中学生共有名，所以高二年级抽取的人数名.故选：B.6、C【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值.【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故这个直角三角形周长的最大值为故选：C7、A【解析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C作CD⊥x轴于点D，则,所以直观图是底为2、高为的平行四边形，所以面积为.故选：A.8、D【解析】求得，根据的面积列方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线为，则，所以，所以，所以.所以双曲线渐近线方程为.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算，属于中档题.9、A【解析】由导数的几何意义得切线方程为，进而得.【详解】解：因为，，，所以，切线方程为，因为切线过点，所以，解得故选：A10、C【解析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面PEF的法向量，则，取，得，设PB与平面PEF所成角为，则，∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.故选：C.11、A【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A12、B【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可【详解】解：，又因为在双曲线中，，所以，故，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9##【解析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得.详解】根据表格数据可得：故，解得.故答案为：.14、##【解析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于，解得,故答案为：.15、【解析】设，则，利用复数相等，求出，的值，结合复数的模长公式进行计算即可【详解】设，则，则由得，即，则，得，则，故答案为【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键16、【解析】由可得，结合已知条件，利用裂项相消求和法即可得答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，因为，所以，又，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.【小问1详解】记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是【小问2详解】记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，，，，，，，故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为18、（1）（2）过定点，【解析】（1）根据椭圆上的点及离心率求出a,b即可；（2）设点，设直线的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件化简，结合椭圆方程，求出即可得解.【小问1详解】由，有，又，所以，椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设点，设直线的方程为.如图，联立，消有：，韦达定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直线不过右端点，所以，则，所以直线过定点.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；（2）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得；（3）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由表格中的数据可得.【小问2详解】解：由表格中的数据可得，所以.【小问3详解】解：可知即岁以下且专科学历，所以.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点．根据三角形的中位线定理和平行四边形的判断和性质可证得，再由线面平行的判定定理可得证；（2）由线面垂直的性质和判定可得证.【详解】证明：（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点因为E、F分别是与的中点，所以，则，从而为平行四边形，则又因为平面平面，所以平面（2）由平面，因为平面，所以而，M为的中点，所以因为，所以平面，由（1）有，故平面21、（1）（2）证明见解析.【解析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，，故，综合即可得证明.【小问1详解】解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为所以，所以所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：设点，则点,所以联立方程得，所以有，解得，因为，故或设，所以设向量，所以，所以，即，设的中点为，则