固原市重点中学2025届高二数学第一学期期末检测试题含解析

固原市重点中学2025届高二数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，则（）A. B.C. D.2．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）A B.C. D.3．“”是直线与直线平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知命题：，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．在公比为的等比数列中，前项和，则（）A.1 B.2C.3 D.46．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人7．设，，则“”是“”的A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（）A1 B.2C.4 D.89．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（）A.2 B.C. D.10．为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本11．已知，若，是第二象限角，则=（）A. B.5C. D.1012．已知数列满足，，，前项和（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2011年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知8号、24号、56号在样本中，那么样本中最后一个员工的号码是__________14．在数列中，若，则该数列的通项公式__________15．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______16．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.18．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若．证明：为定值19．（12分）已知函数（1）当时，求的单调性；（2）若存在两个极值点，试证明：20．（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥P­ADM的体积21．（12分）已知直线，，，其中与的交点为P（1）求过点P且与平行的直线方程；（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程22．（10分）在等差数列中，设前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.【详解】由，可得，，，故选：D.2、A【解析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.【详解】设，则，∴在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：A3、C【解析】先根据直线平行的充要条件求出a，然后可得.【详解】若，则，，显然平行；若直线，则且，即.故“”是直线与直线平行的充要条件.故选：C4、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题：或，命题：，所以是的必要不充分条件，故选：B5、C【解析】先利用和的关系求出和，再求其公比.【详解】由，得，，所以，，则.故选：C.6、B【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，∴，，∴天则目前派出的人数为人，故选：B7、C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.8、C【解析】根据焦点弦的性质即可求出【详解】依题可知，，所以故选：C9、C【解析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得【详解】由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.故选：C10、C【解析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.【详解】根据题意，总体是名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；样本容量是，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.故选：C.11、D【解析】先由诱导公式及同角函数关系得到，再根据诱导公式化简，最后由二倍角公式化简求值即可.【详解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故选：D12、C【解析】根据，利用对数运算得到，再利用等比数列的前n项和公式求解.【详解】解：因为，所以，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、40【解析】结合系统抽样的抽样方法来确定最后抽取的号码.【详解】因为分段间隔为，故最后一个员工的号码为.故答案为：14、【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.【详解】解：由在数列中，若，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.15、【解析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.16、【解析】设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.【详解】解：圆的圆心为，半径长为，设点，由点为椭圆上的动点，可得：且，由为圆的任意一条直径可得：，，，，，当时，取得最大值，即.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，即；（2）当时，恒成立等价于,令,.则，令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以,所以.即实数a的取值范围为.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；（2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，再逐个求解，，然后可证结论.【小问1详解】解：由题意，解得故椭圆C的方程为.【小问2详解】证明：设直线的方程为，联立得，因为直线与椭圆C相切，所以判别式，即，整理得，所以，故直线的方程为，因为，所以，设直线的方程为，联立方程组解得故点Q坐标为，联立方程组，化简得设点因为判别式，得又，所以故，于是为定值.【点睛】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可.19、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）依据导函数判定函数的单调性即可；（2）等价转化和构造新函数在不等式证明中可以起到关键性作用.【小问1详解】的定义域为，当时，令得，当时，；当时，所以在和上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】，存在两个极值点，则有二正根，由，得由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函数，在单调递减，又，从而所以，故.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过M作MN∥CD交PD于点N，证明四边形ABMN为平行四边形，即可证明BM∥平面PAD.（2）过B作AD的垂线，垂足为E，证明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.【详解】解：（1）证明：如图，过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD∴AB∥MN∴四边形ABMN为平行四边形∴BM∥AN.又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD∴BM∥平面PAD.（2）如图，过B作AD的垂线，垂足为E.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD∴PD⊥BE.又AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D∴BE⊥平面PAD.由（1）知，BM∥平面PAD∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE.连接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝则三棱锥P­ADM的体积VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.21、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；（2）