函数图像的分析与判断-2022年中考数学复习（解析版）

考向1函数图像的判断

福题是现

【母题来源】2021年中考山东威海卷

【母题题文】(2021•威海)如图，在菱形ABC。中，AB=2cm,/。=60。，点尸，。同时从

点A出发，点P以\cmls的速度沿A-C-D的方向运动，点。以2c7Ms的速度沿A-B-C

-O的方向运动，当其中一点到达。点时，两点停止运动.设运动时间为x(s),AAP。的

面积为y(o〃2),则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()

DC

AQB

/3

BLzKZL

0123x

<3_____〜

0122.5x。123x

【答案】A

【试题解析】•・,四边形ABCD为菱形，

・・・AB=BC=CD=DA=2cm,NB=ND=60。.

:•△ABC、^ACD都是等边三角形，

ZCAB=ZACB=ZACD=60°.

如图1所示，当0<x<l时，AQ=2xcm,AP=xcm,

作PE_LAB于E,

73、

PE=sinZPAExAP=—x(cm),

2

11FF

；・y二一AQ・PE=—x2xX——X=——x2»

2222

故D选项不正确;

如图2,当1VXS2时，AP=xcm,CQ=(4-2x)cm,

作QF±AC于点F,

AQF=sinZACB-CQ

.11J3J3

2

•*y二一•AP•QF=—xX—(4-2x)=-------x+

2222

故B选项不正确;

如图3,当2Vxg3时，CQ=(2x-4)cm,CP=(x-2)cm,

PQ=CQ-CP=2x-4-x+2=(x-2)cm,

作AG±DC于点G,

・・.AG=sinNACD・AC

,11J3

,,y=一•AG-PQ=-X\/3(x-2)=----x-A/3•

故C选项不正确，故选：A.

【命题意图】侧重函数图像的判断，注重数形结合思想的培养。

【命题方向】考查动点函数的图像，分段讨论函数的解析式，进而得出函数图像，设问形式

以选填为主。

【得分要点】解函数图象判断题目的两种方法：

（1）列函数解析式判断函数图象:求出函数解析式，再找对应的函数图象,要注意是否需要分类

讨论自变量的取值范围；

（2）直接根据几何量的变化趋势判断函数图象:找出起点和终点，分清整个过程分为几段，根据

每段的增减变化趋势来判断函数图象.

考向2函数图像的分析

福题呈现

【母题来源】2021年中考广西玉林卷卷

【母题题文】（2021•玉林）图（1）,在RtaABC中，NA=90。，点尸从点A出发，沿三角

形的边以Ion/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（c相）

随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中尸点的坐标是（）

y(cm)

A°------力81318―x(f1)

(1)(2)

A.(13,4.5)B.(13,4.8)C.(13,5)D.(13,5.5)

【答案】C

【试题解析】由图象可知：AB=8,BC=18-8=10,

当x=13时，即点运动了13>8,

.••此时点P在线段2C上，2尸=13-8=5,

则P点为2C的中点，

1

又因为NA=90。，所以AP=_BC=5.

2

所以图（2）中产的坐标为（13,5）.故选：C.

【命题意图】动点问题的函数图象问题，主要考查学生的分析能力以及数形结合思想.

【命题方向】考查了动点问题的函数图象分析，为中考热点题型，主要通过函数图像中的拐

点建立函数关系模型进行解答，设问形式以选填为主.

【得分要点】解函数图象分析题目的方法：

（1）分清函数图象的横、纵坐标轴代表的量；

（2）找出函数图象特殊点对应的几何图形；

（3）结合特殊点的坐标和几何图形的性质解决问题.

1.（2021•宛城区二模）如图①，点C是以点。为圆心、为直径的半圆上的一个动点（可

以与点A、8重合），过点C作于。，连结C4设。1的长为x,8的长为》图

②是点C运动过程中y与x之间的函数关系的图象，其中最高点M的坐标是（）

3)D.(2乜，3)

【解析】由图象得A8=4,.•.圆。的半径为2,

当点D和点。重合时，CD最大,

此时CD为圆0的半径，；.y=2,

当y=2时，尤=y/AD2+CD2=^22+22=2",

.♦.点M的坐标为（2乜，2）,故选：B.

2.（2021•汝阳县二模）如图①，在等边三角形48c中，点。是边BC上一动点（不与点B,

C重合），以为边向右作等边AAOE,边。E与AC相交于点F,设8O=x,CF=y,若y

与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）

2

3

图①图②

B.5\/3C.^/3D.痹

【答案】D

【解析】VAABC,△ADE为等边三角形,

：.ZB=ZADE=60°,

"：ZADE+ZCDE=NB+NBAD,

：.ZCDE=ZBAD,

又：NB=NC=60°,/.AABD^ADCF,

ABBD

••---=----,

CDCF

AB—BC—a,BD—x,CF—y,

aX1

--------=-，即y=­x(a-x).

a-xya

aa3

•,.当x=一时，y取得最大值为一=一，

42

."=6；.等边三角形ABC的面积为J!。2=94.故选：D

4

3.（2021•海城市模拟）如图，菱形A8CC的边长为2cm,动点E,尸同时从点A都以Icro/s

的速度出发，点E沿A-8—C路线，点厂沿A-O-C路线运动，连接£咒设运动时间为

ts,AAEF的面积为Sew?,则下列图象中能大致表示S与f的函数关系的是（）

AB

?(cm)f(cm)

A工，9b4H

i\>f(s)

f(cm)f(cm)

7b4,，

D

C>r24k(s)o'24X(s)

【答案】c

【解析】当0</<2时，如图1,连接BD,过点D作DHLAB,垂足为点H,过点F作

FG±AB,垂足为点G,

A-^EHB

图1

2

由选项知，当t=2时，S^AEF-S^ABD=A/3cm,

1

:..AB・DH=J3,

2

1

：.-X2DH=J3,

2

：.DH=B

在RsAHD中，

DH

VsinA=——=—,

AD2

/A=60。，

在RtAAFG中,

FG

*.*sinA-------,

AF

.*.FG=Z*sin60°二——t,

2

11J3J3

.".S=S/^AEF--AE*FG-—/•--t=——flcrrf-,

2224

.♦•抛物线开口向上，排初3、。选项;

当2c云4时，如图2,过点8作8NLOC,过点E作EMLOC,垂足分别为点N、M,

易知CE=CF=4-t,DF=t-2,

:四边形ABC。是菱形,

/C=ZDAB^60°,在RtACAfE中,

ME=CE^sinC=(4-力•sin60°二0…

2

•SAAEF=S菱形ABCD-SACEF~S^ADF-S^ABE,

1113

.'.S=2xJ3-——旦…——x(L2)Xy13——x----(4

22222

-o]

—贮＜0,.•.抛物线开口向下，排除A选项，故选：C.

4

4.（2021•涧西区三模）如图①，在菱形A5CZ）中，ZZ）=120°,点E是A5的中点，点尸

是对角线AC上一动点，设尸C=x,PE+PB=y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最

低点。的坐标为（」-,2J3）,则菱形A8C£＞的边长为（）

3

A.2C.2#D.4

【答案】D

【解析】-：B,。关于直线AC对称，

二连接。尸，PB=PD,

DC

三

AE遂

图①

当。、P、E三点共线时，尸石+尸3的值最小，最小值为。区

JPB+PE=PD+PE=DE,

8出L8群广

'：Q（―-,用）,：.PC=」_,DE=3

33

:四边形ABC。为菱形，。8为对角线，ZD=120°,

1

AZADB=ZCDB=-ZADC=60°,AD=AB,

2

.•.△ABO为等边三角形,

•.•点E为AB中点,

：.ED±AB,：.ZEDB=30°,

EBJ3

tanZEPB-------=-----

ED3

J3

：.EB=—X275=2,：.AB=2BE=4,故选：D.

3

5.（2021•河北一模）如图，在AABC中，NBAC=90。，AB^AC,AM是AABC中线，D是

8C边上一点（点。不与点8、C重合），连接A。，作于点A,且刚=D4,连接

BF交AM于点E,设8D=x,ME=y,则y与x的大致图象是（）

【答案】A

【解析】连接CF

JBA=CA

在"BD和"C/中，4BAD=Z.CAF,

,AD=AF

：.^ABD^/\ACF（SAS）,

ZACF=ZABD=45°,CF=BD,

：.CF±BC,

J.CF//ME,又：加是BC的中点，

是ABCP的中位线，

111

ME——CF——BD,y――xf

222

•••关系式对应的图象为经过原点的直线，故选：A.

6.（2021•安徽模拟）如图，在菱形A8C。中，/A=60。，点P从A点出发，沿A—8—C

方向匀速运动，过点尸作PQ〃8D交菱形的另一边于点。，设点尸的运动路程为x,&PCQ

的面积为y,则y与x之间的函数图象可能为（）

【答案】C

【解析】如图，连接AC,AC与P。交与点E,AC与BD交与点、F,

当P在AB上时，

二•四边形ABC。是菱形，...ACLBD,

又,：PQ//BD,：.AC±PQ,

CE是三角形PCQ在尸。边上的高，

由菱形的性质得AP=A。，

•••/B4Q=60。，...三角形AP。是等边三角形，

：.PQ^AP^x,NAPE=60。，

AEpp、

sin60°=-----=——,.".AE=—x，设AC=%，

AP22

该部分是开口向下的二次函数,

当尸在BC上时，设菱形的边长为m

J3J3

则PC=2a-x,则PQ=CE=—(-x)=y^a——x.

22a2

1J3J3

--y=-x(V^a--%)x(2a-x)=—x2-Wax+平a2’

224

该部分是开口向上的二次函数，只有C选项符合题意，故选：C.

7.（2021•安徽模拟）如图，在菱形ABCO中，ZB=60°,AB=6,动点P从点8出发，以

每秒1个单位长度的速度沿折线BA^AC^CD运动到点D,设尸CP2,运动时间为尤秒，

则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）

【答案】D

【解析】当0<x<6时，过点尸作于点E,

由题意得：BP—x,

在菱形ABC。中，N2=60。，AB=6,

：.AB=BC=CD=AD=6,ZB=ZD=60°,

：.AABC和AADC都是等边三角形，：.AC=AB=6,

J31

在Rt^SPE中，PE=BP'sinZB=t*sm60°=——x,BE=BP'cosZB=/,cos60°=—x,

22

1

:.CE=BC-BE=6x,

2

J31

.,.y—CP2—PE2+CE2—(-~x)2+(6----x)2—x2-6x+36—(x-3)2+27；

22

它的图象是抛物线，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,27)；

当6c烂12时，CP^n-x,

'.y=CP2=(12-尤)2=a-24x+144；

它的函数图象为抛物线对称轴左侧的一部分，并且开口向上；

当12〈烂18时，CP=x-12,

.,.y=CP2=(x-12)2=/-24x+144；

它的函数图象为抛物线对称轴右侧的一部分，并且开口向上；

所以选项O正确.故选：D.

B

8.（2021•嘉鱼县模拟）如图，在边长为4的等边AABC中，点尸从A点出发，沿A—BTC—A

的方向运动，到达A点时停止.在此过程中，线段AP的长度y随点P经过的路程x的函数

图象大致是（）

【解析】由题意可知，当点P从点4运动到点8时，AP的长度y随x的增大而增大；当

点尸从B运动到2C的中点时，y随x的增大而减小；且当x=6时，y的值最小，故可

排除选项B与选项D-,

当点P从的中点运动到点C时，y随x的增大而增大；当点尸从C运动到A时，y

随尤的增大而减小，最后减小至0,且x=4和尸8时，y的值相等，故选项A符合题意，

选项C不合题意.故选：A.

9.（2021•颍州区模拟）如图，四边形ABC。中，ZA=ZD=90°,AB=6cm,AD=4c”z.点

E沿A-3移动，同时点尸沿A-。移动，且速度都为1cm/秒，设点E,尸移动的时间为心

（其中0SE4）,"EF的面积为yc机2,则y关于％的函数图象大致是（）

【答案】D

【解析】由题意得AP=x,AE=x,.,.BE=6-x,

11

由三角形的面积公式得：y-—•x-(6-x)=--x2+3x，

22

该函数是二次函数，且开口向下，

当x=3时，y=4.5,只有D选项符合题意，故选：D.

10.(2021•花都区三模)如图1,在菱形ABC。中，AB=6,NBAO=120。，点E是BC边

上的一动点，点尸是对角线8。上一动点，设尸。的长度为羽PE与PC的长度和为y,图

2是y关于龙的函数图象，其中H(a,b)是图象上的最低点，则a+b的值为()

【答案】A

【解析】如下图，在边上取点巧，使得BE和3©关于对称,

连接PE1，得PC+PE=PC+PE>

连接CEi，作垂足为场，

由三角形三边关系和垂线段最短知,

PE+PC=PEi+PQCEECE2,

即PE+PC有最小值CE2,

菱形ABC。中，AB=6,ZBAD=120°,

在RtABE2c中，ZE2BC=60°,解得。石2=34,

'：H（a,b）是图象上的最低点

'.b=y=PE+PC=CE2='iy[3>

此时令CE2与BD交于点P2,

由于BE2=3,在RtABP2E2中，

BP2=24,BD=6）=

又小,.".P2£4A/3,

又尸£）的长度为x,图2中b）是图象上的最低点，

:.a=P[D=4小,又6=34，a+b—Ty[3,故选：A.

11.（2021•瑶海区二模）如图，直线°、6都与直线/垂直，垂足分别为E、F,EF=1,正

方形ABC。的边长为乜，对角线AC在直线/上，且点C位于点E处，将正方形ABC。沿/

向右平移，直到点A与点尸重合为止，记点C平移的距离为无，正方形ABC。位于直线。、

。之间部分（阴影部分）的面积为y,则y关于x的函数图象大致为（）

【解析】①当0WE1时，如图1,

图1

设平移后的正方形交直线a于点G、H,

则EC=尤，AGHC为等腰直角三角形，故GH=2x,

11

则>=SAHGC=—xEC-GH-为开口向上的抛物线;

22

②当1〈烂2时，如图2,

设平移后的正方形交6于点M、N交a于点、GH,

则zWGH、△MNC均为等腰直角三角形，

1

则y=S正方形4BCD-(SANGH+S&MNC)=(也)2——[(2-X)(2-无)x2-2x(x-1)

2

(x-1)]=-2X2+6X-3；该函数为开口向下的抛物线；

1

③当2〈止3时，同理可得：y=(3-x)x2(3-x)x-=x2-6x+9,

2

该函数为开口向上的抛物线；故选：B.

12.(2021•通州区模拟)如图,在RtAABC申,ZC=90°,BC=4,AC=8.动点E与动点

D同时从点C出发，点。沿线段CB以1单位长度/秒的速度运动，点E沿线段CA以2单

位长度/秒的速度运动，当其中一个点到达端点时，另一个点也停止运动.以CE,C。为边

作矩形CAPE,若设运动时间为x秒(0<x<4),矩形C0FE与AABC重合部分的面积为y,

则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()

【解析】当0M2时，如题干图，

y=CE>CD=2x>x=2x2,该函数为开口向上的抛物线;

8

则8£>=2C-CD=4-x,则HD=B£)tan2=(4-x)x-=8-2x,

4

贝ijHF=DF-DH=CE-DH=2x-(8-2无)=4尤-8,贝UGF=2x-4,

1

贝Uy=S五边形CDHGE=S矩形CDFE-SAGHF=2X・X-----x(2x-4)(4尤-8)=-2x?+16x-16,

2

该函数为开口向下的抛物线，故选：A.

13.(2021•常州一模)如图1,点/从菱形A8CD的顶点A出发，沿A-B-D以lcm/s的

速度匀速运动到点。，图2是点尸运动时，△F£)C的面积y(cm2)随时间尤(s)变化的关

图1图2

A.aB.3C.2〃D.5

【答案】D

【解析】过点。作。EL8c于点E,

DC

FEB

由图象可知，点尸从点A到8用磁，AFDC的面积为2讹7层.

11

.\AB=a,；・一AB，DE-—a-DE=2a,/.DE=4,

22

当/从B到D时，用为品，..田。=为后，

R3O8E中，BE=加2_0尸=J6病2_42=2,

"."ABCD是菱形，.'.AE=a-2,AD=a,

Rt^ADE中,a2=42+（a-2）2,解得a=5.故选：D.

14.（2021•长丰县二模）如图，在矩形ABC。中，AB=3、AD=4,直线MN从点。出发，

沿。-A方向以每秒1个单位长度的速度运动，且该直线平行于对角线AC,与边（或

AByCD（或BC）所在直线分别交于点M、N,设直线MN的运动时间为f（秒），XDMN

的面积为y,则y关于f的函数图象是（）

133

【解析】当0＜烂4时，y=—x—x=—%2;

248

当4V烂8时，y=

11333

12---x3(x-4)--x4x—x(x-4)-(8-x)(6---x)=---x2+3x，由以上分析可

22448

知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口方向向上，右边为抛物线的一部分，

开口方向向下.故选：D.

15.（2021•龙湾区模拟）如图1,R3ABC中，BC=2,AC=4,正方形CD斯的顶点。、F

分别在AC、8C边上，C、。两点不重合，设C。的长度为x,ZiABC与正方形CDEP重叠

部分的面积为》已知y与尤之间的函数关系如图2所示，则a的值是（）

A.-B.1C.-D.-

333

【答案】c

【解析】如图，尤=。时，点E落在AB上，

'：ED//BC.EF//AC,

：.LBFEs△EZMsAfiCA,

BFED2-aa4

---=----,即------=------,解得a--.故选：C.

EFDAa4-a3

16.（2021•博山区二模）如图，等腰AABC中，ZACB=90°,AC与正方形。EFG的边。E

在同一直线上，AC=DE=2,开始时点C与点D重合，让AABC沿直线。E向右平移，到

点A与点£重合时停止.设C。的长为x,AABC与正方形。EEG重合部分的面积为》则

能表示了与尤之间关系的图象大致是（）

【答案】A

【解析】设C。的长为X,AABC与正方形。EFG重合部分（图中阴影部分）的面积为必

111

当C从。点运动到E点时，即0SE2时,y=—X2X2--(2-X)X(2-X)=--/+2x,

222

11

当A从。点运动到E点时，即2V烂4时，>=_工[2-(x-2)]x[2-(x-2)]=一

22

1

--x2+2x(0<x<2)

4x+8,与x之间的函数关系y1,

—x2-4x+8(2<x<4)

由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.故选：A.

17.（2021•河南模拟）如图1,正方形ABC。中，点£为A3的中点，连接CE,动点尸从A

点出发，沿A3-BC-C。运动，同时，动点。从A点出发，沿AD向点。运动，P,。两

点同时到达点。，设点尸的运动时间为x（s）,ZkAP。的面积为y（。/），则y关于尤的函

3拜

数图象如图2,当AAP。与ACBE全等时，ZJP的长为_/__。加

一2—

【解析】由图2可知点尸的速度是点。的三倍，

1

当点尸到C点时，S^APQ=-AQCD^

22

,/点P的速度是点。的三倍，：.AQ=-AD=—CD，

33

12

—X—•CD2=3>解得CZ>=3（-3舍去），

23

.,.正方形的边长为3cro,BE=1.5cm,CE-^32+i52=------cm,

2

点P的速度是3cmls,点Q的速度是Icm/s,

设t秒时AAP。与4CBE全等，

若点尸在AB上，则AP=3A。，但BC=2BE,不满足题意，

若点P在BC上，则/AQP=90。，

：.BC=QP,AQ=BE,

3

：.t,此时点尸为BC的中点，

2

3-34

:・PD=32+（—）2=---------cm,

J2，2

3拜

当尸在CQ上时，AAP。不可能是直角三角形，故答案为，

2

18.（2021•梁园区一模）如图1,E为矩形ABC。边上的一点，点尸从点B沿折线BE

-ED-DC运动到点C时停止.点Q从点B沿BC运动到点C