2024-2025学年山东省滨州市某中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二(上)第一次月考数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在空间直角坐标系中，点4(2,-1,4)关于平面。孙对称的点坐标是()

A.(2,—1,-4)B.(—2,—1,-4)C.(2,1,—4)D.(—2,1,4)

2.已知向量2=(1,-4,3)石=(2,4久,y+1)分别是直线八，L的一个方向向量，若，1〃，2，贝h+y=()

A.-3B.-4C.3D.4

3.已知圆N+y2+2%_4y+1=0关于直线%—y+t=0对称，则实数t=()

A.-3B.1C.-1D.3

4.在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB1AC,AB=AC=1,AA、=5贝！J异面直线与BC所成角的余弦

值为()

5.已知棱长为2的正方体ZBCD-Z/iCiDi内有一内切球。，点P在球。的表面上运动，则方•无的取值范

围为()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,4]D.[0,4]

6.若圆%2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=k%的距离为2,则k的值为()

A.■^或2B..或々C.2D.

7.已知曲线y=1+J4-%2与直线y=/c(x-2)+4有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是()

A.岛.B.岛总C.百.)D.f)

8.已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆。：/+必=4的两条切线，切点分别为4,B,点M在圆G：

(久—4)2+(y—5)2=1上，则点M到直线48距离的最大值为()

A.4B.6C.，1。-1D."13-1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.给出下列命题，其中正确的命题是()

A.若直线珀勺方向向量为之=(1,0,3),平面a的法向量为/=(-2,0,|),则直线〃/a

B.若对空间中任意一点0,有而=9+那+次，则P、2、B、C四点共面

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C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.己知向量之=(9,4,-4),b=(1,2,2),则五在右上的投影向量为(1,2,2)

10.下列四个选项中，说法错误的是()

A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B,直线ax+2y+6=0与直线比+(a-l)y+a2-l=0互相平行，贝Ua=-1

C.过Qi，%),。2，及)两点(问*x2ly1彳段)的所有直线的方程为艮二元=而三

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0.

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262〜前190)发现：平面内到两个定点48的距离之比为定值

2(%力1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直

角坐标系xOy中，已知4(一1,0),8(2,0),动点P满足搭|=寺，直线I：mx-y+m+1=0,贝!|()

A.直线，过定点(-1,1)

B.动点P的轨迹方程为(x+2尸+y2=4

C.动点P到直线2的距离的最大值为裾+1

D.若点D的坐标为(—1,1),则|PD|+2|P4|的最小值为闻/---------J

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。人〃

12.如图，平行六面体48CD—&8传以1各条棱长均为1,NB44i=ND4

々=60。，ABAD=90°,则线段ZQ的长度为.AB

13.当直线/：a久一y+2-a=0被圆C：(久一3尸+(y-l)2=9截得的弦长最短时，实数a的值为.

14.已知点P为直线I：x+y—2=0上的动点，过点P作圆C：*2+2%+y2=。的切线pa,PF)切点为4

B,当|PC|•|48|最小时，直线力B的方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知空间中三点4(2,0,—2),5(1,-1-2),C(3,0-4),设之=屈,b=AC.

Q)已知(。+防1反求k的值；

(2)若囱=6,且"〃前,求才的坐标.

16.(本小题15分)

已知两直线，i：3x—y—l=0,I2：x+2y—5=0.

(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3久+4y-5=0的直线方程；

(2)已知两点4(—1,1),8(0,2),动点P在直线匕上运动，求|P*+|PB|的最小值.

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17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，PD=2,AD=1,PD1DA,PD1DC,底面4BCD为正方形，M,N分别

为4。，PD的中点.

(1)求证：P4〃平面MNC；

(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；入

⑶求点B到平面MNC的距离./：\\

18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1,其圆心在射线y=x(x20)上，且|OC|=2显

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线/过点P(l,0),且与圆C相切，求直线/的方程；

⑶自点4(-3,3)发出的光线m射到%轴上，被无轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线小所在直

线的方程.

19.(本小题17分)

已知两个定点4(—4,0),5(-1,0),动点P满足伊用=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E,直线I：y=kx-4.

①求曲线E的轨迹方程；

(II)若I与曲线E交于不同的C,。两点，且NC。。=90。(。为坐标原点)，求直线/的斜率；

(III)若k=|,Q是直线1上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究：直线MN是否

过定点.

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参考答案

1.A

2.C

3.0

4.C

5.4

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.^5

13.2

14.3%+3y+1=0

15.解：(1)空间中三点4(20—2),B(l-l-2),。(3,0,-4),

设之=四，b=AC,

由题知Q=AB=(―1,—1,0),b=AC=(1,0,—2),

ct+kb=(k—1,—1,—2/c),

v(a+kb)1b,(a-b=fc-1+4/c=0,

解得k='

(2)c//BC,丽=(2,1,-2),

c=ABC=(2A,A,-2A),

|c|=6,.1-4(24)2+42+(-22)2=6,解得4=+2,

.•.c=(4,2-4)^c=(-4-2,4).

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16.1?：(1)联立器±5之00,解得x=l，y=2，

因为所求直线垂直于直线3x+4y-5=0,所以所求直线的斜率为g,

故所求直线方程为y=|(x-l)+2,即4x-3y+2=0；

(2)设点B(0,2)关于直线人对称的点为C(x,y),

”=—工

1

X：qy+2_1,解得久=1,y=

匕义3-二-155

则|P4|+\PB\=\PA\+\PC\>\AC\=[(2+1)2+((―1)2=2#,

故|PA|+|PB|的最小值为2#.

17.(1)证明：因为M,N分别为4D,PD的中点，

所以P4//MN,

又P4C平面MNC,MNu平面MNC,

故24〃平面MNC；

(2)解：由于PD1DA,PD1DC,ADCDC=D,AD,DCu平面力BCD,

所以PD1平面4BCD,

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

-1

贝C(0,l,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(0,0,l),

所以方=(LL―2),近=(0,1,-1),而=

设平面MNC的法向量为日=(%,y,z),

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(n-MN=~~x+z=0

则限配=屋=0'令yj则zjx=2,

故装=(2,1,1),

丽.£=1X2+1X1+(-2)X1=1,|而I=J12+12+(-2)2=#,而=遂2+12+12=

所以COS<PB,n>=\rz=

\PB\•\n\J6.J66

设直线PB与平面MNC所成角为仇

所以sin。=Icos<PB,n>I=7,

6

故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为之

o

(3)因为就=(0,1,0)-(1,1,0)=(-1,0,0),

又平面MNC的法向量为/=(2,1,1),

所以点B到平面MNC的距离为d=匹等=号不=坐.

\n\^4+1+13

18.解:(1)设圆心C(a,a),a>0,

由于|0C|=2^/2,所以|0C|=2^/2=y/2a,所以a=2,

即圆心C的坐标为(2,2),则圆C的方程为(久―2尸+(y—2)2=1;

(2)若直线Z的斜率不存在，则直线I的方程为x=l,

圆心C到直线x=1的距离d=2-1=1,此时满足直线，和圆C相切；

若直线2的斜率存在，设直线/的斜率为匕则直线/的方程为y=依久-1),

^kx—y—k=0,

因为直线环口圆C相切，

所以圆心C到直线E的距离d=,2'=2'=1,

-yJX-lK-A/-1--T-K-2

即|/c—2|=y/1+k2,平方得女2一4女+4=1+H,

即々=p此时直线/的方程为加-y-,=0,即3%—4y—3=0,

444

所以直线2的方程为久=1或3%—4)/-3=0；

(3)如图所示，圆(x—2)2+(y—2尸=1关于x轴的对称方程是(乂一2A+(y+2尸=1,

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设租的方程为y—3=k(x+3),&flkx—y+3fc+3=0,由于对称圆心(2,—2)到zn的距离为圆的半径1,

|2/c+2+3k+3|

则一存市一二L

从而可得的=—|比2=—故光线ni所在直线的方程是3x+4y—3=。或4久+3y+3=0.

19.解：(1)设点P坐标为(x,y),

由|P4|=2|PB|,得：V(x+4)2+y2=2^+l)2+y2,

平方可得比