陕西省教育联盟2025届高三年级上册第一次模拟考试 数学试卷（含解析）

2025届高三第一次模拟考试

数学

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合心”N*W4},5={T0,123},则（）

A{1,2}{0,1,2}{-2,-1,0,1,2,3}口{-1,0,1,2}

A.D.V/.U.

2.已知复数z满足（4-3I）Z=1+2I,则目=（）

V12275

A.5B.5C.5D.5

3.已知双曲线°的渐近线方程为2》±3歹=0,则C的标准方程为（）

2222

上一匕=1上上=1

A.188B.94

2222

上一匕=1上_乙=1

C.818D.49

4.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼

记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部

名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）

A.A：A：BA：A；A1CAXDAX

5m^rana=3,tan（a+/7）=_5,则tan（2a+,）=（）

1

A.8B,-8C.8D.8

6.某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服

从N（70,64）,据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（）

参考数据:

P"-。<X<〃+（T）Q0.6827,尸（〃一2cr<X<〃+2b）Q0.9545,尸（〃-3。<X<〃+3。）20.9973

A.0.135%B,0.27%C.2,275%D3.173%

7.已知定义在R上的函数/G）满足/（x+3）=-/（x）,且/（-1）=2,则“2024）=（）

A.-4B.-2C.4D.2

兀

8.如图，在直三棱柱“BC—451G中，ABACAAl2/B4C万，点尸,£分别为棱4GM4上

的动点（不包括端点），若“£=40，则三棱锥与一40£的体积的最大值为（）

J_J_J_!

A.24B.12C.6D,3

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件48满足°⑷=°6°⑻=°-3,则下列说法正确的是（）

A.若5〜，贝产（人8）=09

B,若Z与8互斥，则P（/D8）=0.9

C.若尸（"3）=°』8,则，与3相互独立

D.若/与8相互独立，则P（/u8）=0.9

10.已知函数""）=1'2卜若函数g3=尸3+勾"（》）+26有6个不同的零点，且最小的零点为

-1,则下列说法正确的是（）

人芳（》）的所有零点之和是6B〃+6=T

C."°D@=T

11.已知曲线11的方程为'='r2是以点"（Q"）为圆心、1为半径的圆位于歹轴右侧的部分，则下列说法

正确的是（）

rL

A.曲线11的焦点坐标为14）

B.曲线匕过点a”）

5土百

C.若直线歹=%+2被:Ti所截得的线段的中点在：T?上，则a的值为2

5

a>—

D.若曲线「2在「1的上方，则4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.-组数据24,78,47,39,60,18,2815,53,23,42,36的第75百分位数是.

11

_______»»______»»______»_____I

13.在“BC中，已知℃=38£>,尸为线段/。的中点，若BP=4BA+〃BC,则X〃

y=2sin（0x+0）|（y〉0,0W羔彳[4）--

14.己知函数1的图象经过点）且在夕轴右侧的第一个零点为4,

当xe[0,2何时，曲线尸s山与“2sin（西+叫勺交点有个，

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知A/BC的内角4民c的对边分别为aec,asin（8+C）=加in（/+C）+csin（Z+B）-bsmC

（1）求角幺；

V3

（2）若/?=14/80的面积为2,求a的长.

16.（本小题满分15分）

已知函数"的图象在点0/（1））处的切线与直线x+4y+2024=°垂直.

（1）求。的值；

（2）求/G）的单调区间和极值.

17.（本小题满分15分）

如图，已知平行六面体'BCD—的所有棱长均相等，平面“BB/I，。为RG的中点，且

PD=PC

⑴求证:CC11BD.

（2）求平面0尸8与平面。尸8的夹角的正弦值.

18.（本小题满分17分）

.炉J2_

已知椭圆C"+/"">'>°）的左、右焦点分别为耳勺右顶点为Z,且M+以尸21=4,离心

率为2.

（1）求椭圆°的标准方程；

（2）已知"，"是C上两点（点”,N不同于点幺），直线分别交直线x=_l于尸，。两点，

用•而=-2

若4,证明：直线"N过定点.

19.（本小题满分17分）

随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有

AES、DES、RSA等,不同算法密钥长度也不同，其中R"的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领

域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在R”加密算法中的应用.设夕应是两个正整数，若

夕应的最大公约数是1,则称〃q互素.对于任意正整数〃，欧拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个

数,记为。（〃）.

（1）试求。0）+。（9）必7）+。（21）的值；

（2）设夕应是两个不同的素数，试用，无表示。（"）（％€"）,并探究。（21）与。（））和。S）的关系;

{a}%,=加吴（掰eN*）1

（3）设数列出”的通项公式为2'八《求该数列的前机项的和

2025届高三第一次模拟考试-数学

参考答案、提示及评分细则

IB，=”N，W4}={0,1,2},5={T0,1,2,3},所以-5={0,1,2上故选R

_l+2i_(l+2i)(4+3i)__U.

2.A因为复数2满足©一3%=1+2、所以"。二(4一3(4+町二—所以

V5

5.故选A.

3.A根据题意设双曲线C的方程为4/-9/=',,所以

兰上=]

4x(-6斤9x(2加2=几，即4=72,所以双曲线C的方程为犷-旷=72,即188.故选A.

4.C先将《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有A：种排法，再将《大学》

A3A6A3

《论语》《周易》看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有人7种排法，故总共有A6A7种排法.故选

C.

5.D因为tana=3,tan(e+分)=-5,所以

tana+tan(a+/?)3-52]_

tan(2a+万)=tan[a+(a+4)]=

1-tanc^tan(a+/)l-3x(-5)168.故选D.

6.A依题意〃=70,6=8,94=〃+3a,所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为

1-09973

——-——x100%=0.135%

2.故选A.

7.B因为"x+3)=—/(x),则/(2)=-/(-1)=-2,由/。+3)=-/3得

“x+6)=-/(x+3)=/(x),所以函数/(x)的一个周期为

6J(2024)="6x337+2)=/(2)=-2故选及

8.D在直三棱柱"8C-481G中，"4,平面48c,故4E为三棱锥E-4gp的高，设

兀

==te(0,2),则4E=2一/,由/2,得48_L4C,故则

2

SAfiP=—A,PxA,B}=tVBApE=/ABp=_SJBpX(2—t)=TQ-t)=—(Z—I)H■-

2，故333J,故

j_

，=i时，三棱锥4―40£的体积有最大值§.故选D.

9.BC因为85,所以,（人台/网/》叫故A错误；若工与台互斥，则

P（/D8）=P（/）+P（3）=0.9,故B正确；因为P（/8）=P（/）P（3）,所以/与8相互独立，故c

正确；因为，与8相互独立，所以Pl48）一⑷P（8）=°18,所以

产（入5）=尸⑷+尸⑷-尸（的=0.72,故口错误.故选BC.

10.AB由函数丁二“且?”的图象，经过》轴翻折变换，可得函数卜二”8？国的图象，再向右平移1个单

位，可得片1°82『1]=1幅|1-乂的图象，最终经过》轴翻折变换，可得/3=降2|1-耳|的图象如

图所示，则函数V=/。）的图象关于直线％=1对称，令'=/（"）,因为函数

g（x）=/2（x）+/（x）+2Z）最小的零点为一],且/JA[故当/卜）=1时，方程gG）=°有4个零

点，所以要使函数8（“）=[26）+“（》）+26有6个不同的零点，且最小的零点为x=-l,则

/0°或"“）=1,由"x）=°,得*=°或％=2,设〃x）=l的四个根从小到大依次为

%3，％，》5,4,由函数N=/（x）的图象关于直线X=1对称，得退+/=%+%5=2,所以g（x）的所有零

点之和是6,故A正确；关于/的方程/+8+26=°的两个实数根为0,1,由韦达定理，得°=一1,

11.BCD对于选项A，ri：—=y,抛物线的焦点坐标为I故A错误；对于选项B,圆一的标

准方程为：/+（p一。）2=1（》〉°）,点O'。）代入圆「2的方程得'+（"0）2=1,所以圆「2过点0,a）,

故B正确；对于选项C,设N=x+2被：T］所截得的线段为QE,中点为G,联立y=x+2和

积+/=1_xD+xE55)

.2_2cxx=—2—5J=X+2=-,G

「r「XY-yv有X-x-2=n0,故〔租/-2，22,故GG2122J代入

2

r2：X+(y_Q)2

1（5）5±V3

_n、—+~~a=]a=------「「

=vl（x>⑺得412）,解得2,故c正确；对于选项D,如图所示，%在11的上方

时，抛物线和圆无交点，联立V、和必+⑷-万=1有/+（l_2a）y+a2_i=o,且

5

A=（l-纺-41-1）<。，解得“〉月故口正确,故选BCD.

12.50先按照从小到大排序：15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78,共设个数据，12x75%=9,

"当=50

第9,10个数据分别为47,53,则第75百分位数为2

—.—.BD=-BC

13.10由℃=3AD,得4,又尸为线段ND的中点，所以

JP=-2(1BA+BD1\=2-1\JA+4-JCJ\=-2JA+8-JC=XBA+〃UBC，艮J2=2-'〃«=8-,所以

-+—=2+8=10

2〃

14.6因为函数2sm3+。）的图象经过点（0,虚），所以2sin9=g,即仙'2,又

0W。(女cp=三y—2sin|a)x+—>0)—,

2,所以4,因为<4>在丁轴右侧的第一个零点为4所以

-a>+-=ny=2sin(3x+：1.y=2sin(3x+：］「］

44,解得。=3,所以I4人画出y=snw与(4J在区间［0,2町上

的图象如图所示，由图可知曲线N=sn»与I4J的交点有6个.

15.解：(1)因为4+8+0=兀，所以QsinZ=6sin5+csinC—bsinC,

根据正弦定理得62一=bc,

,b2+c2-a2J

COS/4____________

根据余弦定理得2bc2

,兀

A——

由于0<4<兀，所以3

ABC=^bcsinA=1

S-—csm—二——

(2)因为2232,所以c=2.

a2=Z>2+c2-2Z)ccos^=l2+22-2xlx2x-=3

由余弦定理可知2

所以口=g

2xe"1-(%22x-x2-a

/，(1)=^1Z£=1-^

/'G)=e~je“-1

16.解：(1)由题意知,所以

又函数/(x)的图象在点=0垂直,

(l-a)x-1

所以

解得a=—3.

/(x)=?A/'(x)=2x—x2+3(x+l)(x-3)

（2）由（1）知c

令/'（x）=0,解得x=_i或x=3,所以当x<—1或x>3时，/'3<°,当-l<x<3时,

所以/GO的单调递减区间为S，T），（3，+"）,单调递增区间为（T3）.

6

6

所以/（X）的极小值为-2e?,极大值为e2.

17.（1）证明：设。是C。的中点，连接尸。，因为尸是的中点，则0G〃尸0.

因为尸£>=尸。，所以尸。，C。，所以CCJC。.

ABBAAA

因为ZQI平面\\，iu平面ABBXAX,所以4D_L44],

因为CG//N4,所以CCJNQ

又CDcAD=D,CD,ADu平面ABCD,

所以CG,平面Z8C£>.

又ADu平面48CD,所以CG，*）.

（2）解：因为40,平面ZBB/i.NBu平面所以40,45,四边形

48co是正方形，结合（1）的结论可知04℃,°〃两两垂直，以Z）为原点建立如图所示空间直角坐

标系，不妨设40=2,则，（°，°，°），'（°」，2）,'（2,2,0）,0（0,2,0）,

DP=（0,1,2）,DB=（2,2,0）,CB=（2,0,0）,C?=（0,-1,2）

设平面DPB的法向量为身=（X，八z）,

mDP=y+2z=0

<9

则向Z>B=2x+2y=0,令歹=一2,可得庆=（2,—2,1）.

nCB=2Q=0,

<

设平面CP8的法向量为五=S，仇0,则〔心3=—b+2c=0,令c=i,可得k=（0,2,1）

cos”也3

设平面CP8与平面。尸8的夹角为。，则H,同5

sin6）=Vl-cos2^=

所以5

2-

即平面CP8与平面。尸8的夹角的正弦值为5

2a=4,

1a=2,

c_1

[5，<b=瓜

a2=〃+。2c=l,

18.(1)»：设椭圆C的半焦距为c,由题意得I用牛付I

故椭圆C的标准方程为43

(2)证明：由(1)知片(T'°),由题意可知直线〃乂的斜率不为0,否则尸，°将位于x轴同侧,

KPFIQ>O,不合题意;

设MN的方程为》=$尸（/2）,代入4+3一，

彳曰G-+4）v2+6sty+3〃—12=0

由A=36-2.4a2+4）（3〃—12）〉0,得3s2+4-2>°,

6st_3〃—12

设Af（再,%）。（%2/2）,则""3sW""3s2+4

所以中“伞+%)+2/=上

4/_12s2

x/2=即+0（^2+0=s2yM+st（J1+%）+〃=3s2+4