2024年中考数学试题分类训练：圆的有关计算与证明

专题24圆的有关计算与证明（29题）

一、单选题

1.（2024•安徽・中考真题）若扇形AOB的半径为6,ZAOB=UO°,则相的长为（）

A.2万B.3兀C.4万D.6兀

【答案】C

【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可.

【解析】由题意可得，A2的长为与等=4万,故选，C.

loU

2.（2024・贵州・中考真题）如图，在扇形纸扇中，若NAO5=150。，04=24,则AB的长为（）

A.30TIB.25兀C.20兀D.IChr

【答案】C

【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式：/=怒求解即可.

lot）

150TTX?4

【解析】•••ZAO3=150。，Q4=24,，45的长为=20兀,故选：C.

180

3.（2024.云南•中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长

为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）

A.7007t平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求

解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键.

【解析】圆锥的底面圆周长为27rx30=60兀厘米，，圆锥的侧面积为|x60nx40=1200兀平方厘米，故选,

C.

4.（2024.四川甘孜・中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于00,04=1,则A3的长为（）

A.2B.6C.1D.1

【答案】C

【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到NAO3=60。，

得到AAOB为等边三角形，进而得到Q4=AB=1,判断出AAOB为等边三角形是解题的关键.

360°

【解析】：ABCDE产是正六边形，，N4O8=^=60。，416®为等边三角形，

6

Q4=AB=1,故选，C.

5.（2024•广东广州•中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,

【答案】D

【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧

长相等是解题关键，设圆锥的半径为人则圆锥的底面周长为2万厂，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，

进而得出厂=1,再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.

【解析】设圆锥的半径为人则圆锥的底面周长为2万r,••・圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形,

且扇形的半径/是5,.,.扇形的弧长为黑^=2万，•・・圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，

Inr-2TI,=圆锥的高为g,-I=2后，，圆锥的体积为gzxEx2n=2^万，故选，D.

6.（2024.四川遂宁•中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面

是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽43为1米，请计算出淤泥横截面

的面积（）

D.1.-1

C.

364

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理,等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点。作

于。，由垂径定理得ADuBOMgABuLm,由勾股定理得。。=立m,又根据圆的直径为2米

222

可得04=03=得到AAOB为等边三角形，即得ZAC®=60。，再根据淤泥横截面的面积

=嘱形AOB-S.AOB即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键.

【解析】过点。作于O,则===/ADO=90。，：圆的直径为2米，，

Q4=O3=lm,.,.在RhAOD中,AAOB为

等边三角形，...408=60。，...淤泥横截面的面积=$扇形4理一工4.=晦二-兀-W]m2,

JOUZ2（。4,

故选，A.

7.（2024.四川广安•中考真题）如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,ZC=70°,以AB为直径作

半圆，与AC,BC分别相交于点E,则DE的长度为（)

5兀c10兀c25兀

C.-----D.——

9~999

【答案】C

【分析】本题考查了求弧长.根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得/A的度数，证明。石〃AC,

再由。4=0。，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得NDOE的度数，利用弧长公式即可求解.

【解析】连接0。，0E,'：AB=AC,：.ZABC=ZC=70°,VOE=OB,:.NOEB=ZB=】0。,：.

/OEB=NC=10。：.OE〃AC,在AABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

ZA=180°-ZAfiC-ZC=180o-70o-70o=40°,y.OA=OD=^AB=5,V0E\\AC：.

ZA=ZADO=4（）o=/DOE,...OE的长度为^^=差，故选，C.

loO9

8.（2024・山东威海•中考真题）如图，在扇形A03中，ZAOB=90°,点C是49的中点.过点C作CELAO

交AB于点E,过点E作石Z），03,垂足为点。.在扇形内随机选取一点尸，则点尸落在阴影部分的概率

是（）

12

B.C.D.

323

【答案】B

【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形OBE的面积，即可求

解.

【解析】VZAOB=90°,CELAO,EDLOB四边形OCDE是矩形，，邑℃E="。噂

S阴影部分=S«ODE+SBDE=$扇形OBE••,点C是A0的中点；.OC=—OE=DEsinZEOD=——=—/.

2UE,2

022

ZEOD-30•<?T+ST_307TXAOTIXAO29Q7TXAOTIXAO2声

"

乙QU"_DU・・O阴影部分_十。也定一D扇形QBE_莉~一五一，扇形AQ8一莉'八''厂

兀XAO?

落在阴影部分的概率是衿险=—^=:故选，B.

S扇形AOB兀"°一3

4

二、填空题

9.（2024.四川成都.中考真题）如图，在扇形AQB中，OA=6,ZAOB=120°,则45的长为

【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可.

【解析】由题意得AB的长为黑=上臀=4兀，故答案为：47r

lot）IOO

10.（2024•黑龙江齐齐哈尔.中考真题）若圆锥的底面半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该

圆锥的高为cm.

【答案】上

【分析】本题考查了圆锥的计算.设圆锥的母线长为R,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2万/=号萼，然后解方程即可得

母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可.

【解析】设圆锥的母线长为R,根据题意得2万-1=为馨，解得：R=4・即圆锥的母线长为4cm,••.圆锥

1o（J

的高==故答案是：415.

11.（2024・吉林・中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如

图所示，该场地由。。和扇形OBC组成，OB,。。分别与。。交于点OA=lm,OB=10m,ZAOD=40°,

则阴影部分的面积为n?（结果保留兀）.

【答案】117T

【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解.

【解析】由题意得：s阴影=丝£竺二＞=1反，故答案为：1反.

上360

12.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如

图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心。所对的圆心角都是72。，点A,C,。在同

一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是一米.（兀取3.14,计算结果精

确到0.1）

【答案】28.7

【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出

72%7271OC72小AC

二36,进而得出=36,然后解方程并按要求取近似数即可.

180180180

72万727roe

【解析】根据题意，得幻，;公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，・・・

180CD180

72%72乃・OC”.727r（OA—OC）口口7271-AC9090

=36,・•--------------------^=36,即=36解得/^7=一X----X28.7,故答案为:

180180180180713.14

28.7.

13.（2024.江苏盐城.中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,母线长为5,则圆锥的侧面积是.

【答案】20万

【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案.

【解析】•圆锥的底面圆半径为4,母线长为5圆锥的侧面积S=;rx4x5=20;r故答案为：20万.

14.（2024•江苏扬州•中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆

的半径为—cm.

【答案】5

【分析】本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长.

根据题意得圆锥的母线长为10cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2万即为

圆锥的底面半径.

【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2万*10+2=10万（cm）,.•.圆锥的底面半径为10万+2万=5（cm）,故答案

为：5.

15.（2024・四川自贡・中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一

个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条AB,AC夹角为

120°.A3长30cm,扇面的5D边长为18cm,则扇面面积为cm?（结果保留万）.

BC

DE

A

【答案】252万

【分析】根据扇形公式进行计算即可.本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是

解题的关键.

【解析】扇面面积=扇形BAC的面积-扇形DAE的面积=120X%X302_120XTTX（30-181=3007r

360360

=252万（cm?）,故答案为：252%.

16.（2024・甘肃・中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形03c和扇形OAD有相同

的圆心。，且圆心角/。=100。，若。4=120cm,O3=60cm,则阴影部分的面积是cm2.（结果用

兀表示）

、✓

6

【答案】3000万

【分析】根据扇形面积公式计算即可.本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

【解析r.•圆心角NO=100。，OA=UOcm,OB=60cm,二阴影部分的面积是一100x-x6（）2

360360

=3000万cm，故答案为：3000万.

17.（2024•黑龙江绥化•中考真题）用一个圆心角为126。，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆

锥的底面圆的半径为cm.

【答案】|

【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解.

【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为Rem,由题意得，霭*10*兀=2无"解得：R=g故答案为：

18.（2024•广东深圳•中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=^AB,。为8c中点，OE=AB=4,则扇

形EO歹的面积为.

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得/80E=45。，NCOF=45。,

得到NEO尸=90。，再利用扇形的面积公式即可求解.

【解析】VBC=y/2AB,AB=4,BC=4及，为BC中点，O8=OC=：BC=2顶，•.•OE=4,在

R/OBE中，cosZBOE^—=^=—,AZBOE=45°,同理/CO尸=45°,

OE42

90^-.42

ZEOF=180°-45°-45°=90°,；.扇形EOb的面积为丝一=4万，故答案为：4万.

360

19.（2024・吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边A3与直线/重

合，AB=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的路径

长至少为cm.（结果保留乃）

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得//由。=/4'30=60。,即//阴=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以48为半径的圆弧的长即可解答.

【解析】：将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，/ASC=/A'3C=60。,即

,・1r120°1020»位20%

Z^BA=120°,..点A经过的路径长至少为———=—.故答案为：—.

18033

20.（2024•江苏苏州・中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意

图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O,所在圆的圆心C恰好

是的内心，若AB=2后，则花窗的周长（图中实线部分的长度）=.（结果保留兀）

【答案】87t

【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作CELAB,根据正多边形的性质得出

AAOB为等边三角形，再由内心的性质确定NC4O=/C4E=NCBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

得出AC=f^=2,再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键・

cos30

［解析】如图所示:过点C作CE，AB,•••六条弧所对应的弦构成一个正六边形，...^AOB=60°,OA=OB,

：.AAOB为等边三角形，：圆心C恰好是AABO的内心，NC4O=ZCAE=ZCBE=30°,ZACB=120°,

•••AB=2g,••.AE=JBE=JL...AC=TS=2,•♦•AS的长为：,花窗的周长为：

cos3001803

4

1?ix6=8无，故答案为：87r.

O

21.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABC。，O河为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,歹两点，则用的长度为（结果保留兀）.

【答案】胃2万2?

【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方

形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键.

由对折可知，Z.EOM=ZFOM,过点Er作的垂线，进而可求出NEOM的度数，则可得出NEO/的度

数，最后根据弧长公式即可解决问题.

【解析】：折叠，且四边形ABC。是正方形四边形AOMD是矩形，Z,EOM=AFOM,则0A/=AD=2,

DM=gcD=l.过点,E作EPLOM于P,贝UEP=£>M=；C。=1,OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

iEP1

.•.EP=—OE在Rt△石OP中，sin/EOP=——=—,ZEOP=30°,则NEO尸=30°x2=60。，・石尸的长度

2OE2一

、j60••227r卜人为山•、j27r

为：f—=7,故答案为：v

loU3D

22.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥侧面展开图

的圆心角是°.

【答案】90

【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的

关键.根据圆锥的侧面积公式S=71〃求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数.

【解析】根据圆锥侧面积公式：S=7trl,可得兀x3x/=36兀解得：/=12,.•.耳里=36兀，解得力=90,，

360

侧面展开图的圆心角是90。.故答案为：90.

23.（2024・吉林长春•中考真题）如图，A8是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DEJ.AB于

点E,交AC于点F，交AC于点G,连结A£>.给出下面四个结论:

®ZABD=ZDAC；

®AF=FG；

③当。G=2,GB=3时，FG=—；

2

④当80=240，AB=6时，△£>尸G的面积是6.

上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②③

【分析】如图：连接DC,由圆周角定理可判定①；先说明NBDE=ZAGD、ZADE=可得DF=FG、

AF=FD,即AF=EG可判定②；先证明AADG-A的可得空=空，即=空，代入数据可得

BDADDG+BGAD

AO=Ji6,然后运用勾股定理可得AG=JIZ，再结合AF=FG即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O,

连接CO,CD,易得NAOD=NOOC=60。，从而证明△A。。,是等边三角形，即ADCO是菱形,

然后得到Nn4C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得0G=2有，根据三角形面积公式可得S△.=66，

最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④.

【解析】如图：连接・・•。是。的中点，即①正确；,・,是直径,

oc,4・・・AO=JDC，・・・NABO=NDAC,Ag

AZADB=90°,AZZMC+ZAGZ)=90°,•:DELAB：・2BDE?ABD90?/：ZABD=ZDAC,：.

/BDE=ZAGD,：.DF=FG,9：?BDE?ABD90?,NBDE+NADE=90。，；.NADE=NABD,

ZABD=ZDAC,：・ZADE=NDAC,:・AF=FD,工AT=LG,即②正确；在△MG和△&M,

ZADG=ZBDA=90°ADGDADGD.AD2

AADGS^BDA,——=——，即Rn--------———，即AD=A/TO,«*•

/DAG=/DBABDADDG+BG-AD，**2+3AD

AG=NAD2+DG2=岳,AF=FG,FG=^AG=^,即③正确；如图：假设半圆的圆心为。，连

接O，CO,CD,•.•BD=2A£＞，AB=6,。是AC的中点，A。=OC=；A2,ZAC©=NDOC=60。，

•.•04=OD=OC,.*.AAOOAODC是等边三角形，04=仞=。。=0。=00=6,即AT»CO是菱形，，

ZDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,VZADB=90°,：.tanADAC=tan30°=—,即立=型，解得：

2AD36

DG=2A/3,51AD.DG=6x2A/3=673,'：AF=FG：.S^DFG=1sMDG=343,即④错误.故答案

为：①②③.

AEOB

三、解答题

24.(2024・广东•中考真题)综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

b-7cm-H

图1

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留兀)

【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：

(1)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；

(2)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求

出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可.

解：(1)能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为废，

根据题意，得黑，=7%，

lot)

解得a=180?,

二将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁;

（2）设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为-cm,高为〃cm,

3UK〜一180万x5

根据题思，得271r=———,

1X0

解得「=|，

・"卜图=沁

圆锥的体积为

33⑴224

25.（2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度,

在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A（-U）,B（-2,3）,C（-5,2）.

⑴画出AABC关于y轴对称的△AAG，并写出点鸟的坐标；

（2）画出AABC绕点A逆时针旋转90。后得到的AAB2G,并写出点B2的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点8旋转到点当的过程中所经过的路径长（结果保留兀）

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；

（2）根据网格结构找出点8、C以点A为旋转中心逆时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）先求出AB=如，再由旋转角等于90。，利用弧长公式即可求出.

解：（1）如图，与G为所求；点耳的坐标为（2,3）,

（2）如图，AA与G为所求；员（一3,0）,

⑶AB=&+22=5

点2旋转到点5的过程中所经过的路径长跑巫=廷万.

1802

26.（2024・山东・中考真题）如图，在四边形A3CD中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.以

点A为圆心，以AD为半径作交于点E,以点B为圆心，以BE为半径作项所交于点尸，连接尸。

交环于另一点G,连接CG.

C

（1）求证：CG为如■所在圆的切线;

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留万）

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四

边形ABFD是平行四边形是解题关键.

（1）根据圆的性质，证明3尸===M=即可证明四边形MED是平行四边形，再证明ABFG

是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果.

（2）先求出平行四边形的高DH,根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可.

解：（1）连接BG如图,

C

根据题意可知：AD=AE,BE=BF

又•；AB=BC,

：.CF=AE=AD,

,:BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

'：AD//BC,

・・・四边形ABED是平行四边形,

：.ZBFD=ZDAB=60°,

BG=BF,

・・・△班G是等边三角形，

：.GF=BF,

:.GF=BF=FC,

・・・G在以3。为直径的圆上，

ZBGC=90°,

・・・CG为〃所在圆的切线.

(2)过。作于点H,

由图可得：S阴影=^nABFD~S扇AEO一^SBEG—SABFG,

在中，AD^l,ZZMfi=60°,

・•・DH=ADsinZDAB=1X^=^9

22

**•uASDrAUBFD=A5-DH=22、x,

由题可知：扇形和扇形3GE全等,

n7ir2_60万(A。)？_60x〃xP_冗

360--360———360—~~6

等边三角形5尸G的面积为：-GFDH=-xlx^=^,

2224

=6-71百_3A/371

S阴影^aABFD-S扇AE£>一S扇⑶及；一^BFG

6~-~3

27.(2024・福建・中考真题)如图，在44BC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,以A3为直径的。。交8C于点。,

AE^OC,垂足为瓦BE的延长线交AD于点F.

(3)求证：AD与所互相平分.

Ap

【分析】(1)先证得AC=2AO,再在RIAAOC中，tanNAOC=—=2.在RtAAOE中，tanZAOC=—,

AOOE

Ap

可得差=2,再证得结果；

OE

(2)过点8作交E。延长线于点M,先证明,可得AE=,再

证得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得结论；

ApAR9ADAO

(3)如图，连接。瓦。尸，由(2)AAEBsABEC,可得一=—=——=—，/EAO=NEBD,从而

BEBC2BDBD

得出AAOESABOE,得出N3ED=NAEO=90。，得出NAFB=NDEF,再由平行线判定得出

AE//FD,从而得出四边形A£Zm是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果.

解：(1)•.•AB=AC,且AB是。。的直径，

AC=2AO.

vZa4C=90°,

••在Rt^AOC中，tanzLAOC=---=2.

AO

•：AELOC,

••在RtZ\AO£中，tanNAOC=--.

OE

­=2,

OE

.OE_1

,AE"2；

(2)过点与作9交E。延长线于点M.

c

NBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°

-AO=BO,

./\AOE^ABOM,

.AE=BM,OE=OM.

OE_1

~AE~29

,BM=2OE=EM,

;ZMEB=/MBE=45。,

.ZAEB=/AEO+/MEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

.ZAEB=ZBEC.

-AB=AC,ZBAC=90°f

.ZABC=45°,

:.ZABM=ZCBEf

:.ZBAE=ZCBE,

/.△AEB^ABEC.

(3)如图，连接。E,O尸.

,「AB是。。的直径,

z.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ZBAC=90°9

BC=2BD,/DAB=45。.

由（2）知，AAEBsABEC,

四=空=%=丝

BEBC2BDBD

:.AAOESABDE,

:./BED=/AEO=90。.

:"DEF=90。.

:.ZAFB=ZDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZA£S=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

•.•ZDFB=NDAB=45°,

：.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

四边形A£Z用是平行四边形，

AZ）与所互相平分.

28.（2024•陕西・中考真题）问题提出

(1)如图1,在中，AB=15,ZC=30°,作AABC的外接圆。O.则ACB的长为;(结果

保留兀)

问题解决

(2)如图2所示，道路A8的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点。，E,C,线段AZ),AC和

8c为观测步道，其中点A和点2为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE=EC,ZZMS=60°,

ZABC=12Q°,AB=1200m,AD=BC=9^m,现要在湿地上修建一个新观测点尸，使NOPC=60。.再

在线段48上选一个新的步道出入口点?并修通三条新步道尸尸，PD,尸C,使新步道P厂经过观测点E,

并将五边形ABCPD的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点尸和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由.(点A,8,C,

P,。在同一平面内，道路48与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号)

【分析】(1)连接04、OB,证明AOLB等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；

(2)点尸在以。为圆心，圆心角为120。的圆上，如图，由题意知直线尸尸必经过的中点M,得到四边

形AfMD是平行四边形，求得不M=">=900m,作CNLPR于点N,解直角三角形求得CN和的长，

再证明△PMCy^opc,禾(］用相似三角形的性质求得尸C。=720000,据此求解即可.

解：(1)连接。4、OB,

Q~

,/ZC=30°,

ZA(9B=60°,

"?OA=OB,

AQAB等边三角形,

AB=15,

OA=OB=15,

故答案为：25万；

(2)存在满足要求的点尸和点凡此时玄的长为(3006+1200)m.理由如下,

VZZMB=60°,ZABC=120°,

：.ZDAB+ZABC=1SO°,

：.AD//BC,

"?AD=BC=9(X)m,

四边形ABCD是平行四边形，

,/要在湿地上修建一个新观测点P,使ZDPC=60°,

...点P在以。为圆心，CD为弦,圆心角为120。的圆上，如图,

.••经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积，

•..新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分,

/.直线PF必经过8的中点M,

板是ACA。的中位线，

/.ME//AD,

'：MF//AD,DM//AF,

.,•四边形AFMD是平行四边形,

FM=AD=900m,

作CNLPF于点N,

:四边形是平行四边形，ZDAB=60°,

：.ZPMC=ZDMF=ZDAB=60°,

,/CM=|cD=1AB=600(m)

：.MN=CM-cos600=300(m),CN=CM-sin600=300^(m),

,?Z.PMC=Z.DPC=60°,

APMCs^DPC,

.PCCMPC600

••=，艮RInJ=,

CDPC1200PC

/.PC2