数学单元测试：第二章推理与证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章检测(时间90分钟，满分100分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．有一个奇数列1，3,5,7,9，…,现在进行如下分组:第一组含一个数｛1};第二组含两个数｛3，5｝;第三组含三个数｛7，9,11｝;第四组含四个数{13，15，17,19};……试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系（)A。等于n2 B.等于n3 C。等于n4 D.等于n（n－1)2．设十人各拿水桶一只同到水龙头前打水，设水龙头注满第i（i=1，2，…,10）个人的水桶需时Ti分钟，假设这些Ti各不相同,当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她）们的接水次序，使他(她）们的总的花费时间（包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少（）A。从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队B。从Ti中最小的开始,按由小到大的顺序排队C.从靠近诸Ti平均数的一个开始，按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队D。任意顺序排队接水的总时间都不变3．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点"，可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置(）A.各正三角形内的点 B。各正三角形的某高线上的点C。各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点4．如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H有几条不同的旅游路线可走（）A。15 B.16 C。17 D.185．凡自然数是整数,4是自然数，所以4是整数,以上三段论推理（)A.正确 B.推理形不正确C。两个“自然数”概念不一致 D。两个“整数”概念不一致6．设数列｛an}满足an＋1=an2－nan＋1，n=1,2，3，…,a1=2,通过求a1、a2、a3猜想an的一个通项公为(）A.n＋1 B。n C。n＋2 D.n－17．已知a∈R＋，不等x＋≥2,x＋≥3，…,可推广为x＋≥n＋1，则a的值为（）A。2n B.n2 C。22（n－1) D.n8．设a＞0,b＞0,则以下不等中不恒成立的是（）A.（a＋b)()≥4 B。a3＋b3≥2ab2C.a2＋b2＋2≥2a＋2b D.9．已知a＞b＞0,且ab=1,若0＜c＜1，p=logc,q=logc（）2,则p、q的大小关系是（）A。p＞q B.p＜q C。p=q D.p≥q10．从1=1,1－4=－(1＋2）,1－4＋9=1＋2＋3,1－4＋9－16=－(1＋2＋3＋4)，…归纳出（）A.1－4＋9－16＋…＋（－n)2=（－1)n－1·B.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2=（－1）n－1·C.1－4＋9－16＋…＋（－1)nn2=(－1）n－1vD。1－4＋9－16＋…＋(－1）n－1n2=(－1)n11．设n为正整数，f（n）=1＋＋＋…＋,计算得f(2)=,f（4）＞2,f（8）＞，f（16)＞3,f（32)＞,观察上述结果，可推测出一般结论(）A.f（2n)＞ B.f(n2）≥C.f（2n）≥ D。以上都不对12.已知函数f1(x）=,fn＋1(x）=f1［fn(x）］（n=1，2，3,…)，f2002(x)是（）A。x B. C。 D.二、填空题(每小题5分，共15分）13．用反证法证明“形如4k＋3的数(k∈N＊）不能化为两整数的平方和”时,开始假设结论的反面成立应写成___________.14．若记号“＊”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=,则两边均含有运算符号“＊"和“＋”，且对于任意3个实数，a、b、c都能成立的一个等可以是__________。（写出一个即可).15．已知两个圆：x2＋y2=1①与x2＋（y－3)2=1②，则由①减去②可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：________________________________________________________________________________________________________________________.三、解答题（共49分）16．（9分)证明是无理数.17．（10分)通过计算可得下列等：22－12=2×1＋1,32－22=2×2＋1,42－32=2×3＋1,……（n＋1）2－n2=2n＋1.将以上各等两边分别相加得(n＋1）2－12=2(1＋2＋…＋n）＋n,即1＋2＋3＋…＋n=。(1）类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值.（2）根据上述结论试求12＋32＋52＋…＋992的值。18．(10分）设｛an}是集合{an｜an=2t＋2s，0≤s＜t,且s、t∈Z}中的所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10,a6=12，….将数列｛an}各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下三角形数表: 3 56 91012 _______________________________________________________________ ……（1)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;（2)求a100。19．(10分）是否存在常数C，使得不等≤C≤对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论.20．(10分）在△ABC中，余弦定理可叙述为a2=b2＋c2－2bccosA。其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想。参考答案1解析：1=13；3＋5=8=23，7＋9＋11=27=33，13＋15＋17＋19=64=43，…，猜想第n组各数之和等于n3。答案：B2解析:若直接想象10人的排队情况太复杂了，可尝试从研究简单特例入手，然后归纳、类比一般规律——排序问题的规律.考虑2个人排队情形,记2个人为A、B,装水所用时间为1、2分钟，则有两种排队顺序。（1)按先A后B：总费时为1＋（1＋2）=4（分钟)。(2)按先B后A：总费时为2＋（2＋1)=5（分钟）.再考察A、B、C3人排队，装水时间分别为1、2、3分钟的情形，六种情况逐一考察……于是猜想，从Ti最小的开始，由小到大顺序接水最省时。答案：B3解析：应为各正三角形的中心.答案：C4解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了,所以我们换一条思路，用分析法来试试.要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来……这样一步步倒推，最后归结到A,然后再反推过去得到如下的计算法；A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内,B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内,最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如下图所示.答案：C5解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都正确.答案：A6解析：由a1=2可求得a2=3，a3=4，从而可猜想an=n＋1.答案：A7解析：观察前面两个式子的特点，知a=n。答案：D8解析：∵a＞0，b＞0，(a＋b)（）≥·=4，故A正确;a2＋b2＋2=(a2＋1)＋(b2＋1)≥2a＋2b.∴C正确；若a≤b，则恒成立，若a＞b，则－()2=（a－b）－(a－＋b)=－2b＞0.故D也正确.从而选B.答案：B9解析：∵≥ab=1，∴p=logc＜0。又q=logc(）2=logc＞logc=logc＞0,∴q＞p。答案：B10解析：1－4=－（1＋2）=(－1）2－1·，1－4＋9=1＋2＋3=（－1）3－1，1－4＋9－16=－（1＋2＋3＋4）=（－1）4－1,由此类比可推知。答案：B11解析：f(2）=,f（4)=f(22)≥，f（8)=f(23)≥，f（16）=f(24)≥，…，依此类推可知f(2n）≥。答案：C12解析：由题意有：f2（x）=,同理，f3(x)=，f4（x）=－，f5(x）=，f6（x）=x,f7（x)=,…,故f6n＋r（x)=fr（x).又2002=6×333＋4，∴f2002(x)=f4（x）=.答案：C13解析:“不能”的反面是“能”。答案：假设4k＋3=m2＋n2（m、n是整数）14解析：因为a＋(b*c)=a＋, ①又因为(a＋b）*(a＋c）=， ②由①②知a＋（b*c）=（a＋b）*(a＋c), ③即为符合题意的一个等式.答案：a＋(b*c)=(a＋b)＊（a＋c)或（a＊b）＋c=(a＊c)＋(b＊c)或a＊(b＋c)=（a＋b）＊c=（b＋c）*a=（a＋c）＊b等。15解析：采用类比的思想方法，使两个圆的圆心不同的字母来表示,半径相同则设为r，对比已知命题可叙述出结果.答案：已知两个圆：（x－a）2＋(y－b）2=r2 ①（x－c）2＋（y－d）2=r2 ②（a≠c或b≠d）则由①－②得两圆的对称轴方程为2(c－a）x＋2（d－b）y＋a2＋b2－c2－d2=016证明：假设是有理数，于是存在互质的正整数m,n，使得，从而有m=n，两边平方,得m2=6n2.∴m2必为6的倍数，即m为6的倍数,可设m=6k，代入上式得36k2=6n2,即6k2=n2.∴n2必为6的倍数，即n为6的倍数.由于m、n都是6的倍数，它们有公约数6，这与m、n是互质数矛盾。故是无理数.17解：(1）∵23－13=3×12＋3×1＋1，33－23=3×22＋3×２＋1，43－33=3×32＋3×3＋1,……(n＋1）3－n3=3×n2＋3×n＋1.将以上各式两边分别相加得(n＋1）3－13=3（12＋22＋…＋n2)＋3（1＋2＋…＋n)＋n,∴12＋22＋…＋n2=［（n＋1）3－1－n－3n]=n(n＋1)（2n＋1)。（2）12＋32＋52＋…＋992=12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)=12＋22＋32＋…＋1002－4（12＋22＋32＋…＋502）=×100×101×201－4××50×51×101=166650。18解：(1）第四行：17182024第五行：3334364048（2)方法一:设n为an的下标，观察每行第一个元素下标,三角形数表第一行第一个元素下标为1。第二行第一个元素下标为2=＋1。第三行第一个元素下标为4=＋1.……第七行第一个元素下标为＋1。第七行第s个元素下标为＋s.该元素为2t＋2s－1，据此判断a100所在行.∵.∴a100是第14行的第9个元素.∴a100=214＋29－1=16640。方法二：观察三角形数表的排列中每行元素个数和,此数列有1＋2＋3＋…＋n=项。当n=13时,=91＜100，n=14时，=105＞100,故知a100是第14行第9个数.所以a100=214＋29－1=16640.方法三:设a100=2t0＋2s0，只须确定正整数t0,s0.由于数列｛an｝中小于2t0的项构成的子集中元素个数为＜100，满足此式的最大整数t0=14。又100－=s0＋1,∴s0=8.∴a100=214＋28=16640。19证明：令x=y=1,得≤C≤，∴C=，下面给出证明:先证明,因为x＞0,y＞0，要证，只需证3x（x＋2y）＋3y（2x＋y）≤2(2x＋y)（x＋2y）,即x2＋y2≥2xy，这显然成立，∴。再证只需证3x（2x＋y）＋3y（x＋2y）≥2（x＋2y)（2x＋y),即2xy≤x2＋y2，这显然成立,∴综上所述，存在常数C=，使对任何正数x、y都有成立.20解:如右图所示，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面积，α、β、γ依次表示平面PAB与平面PBC，平面PBC与平面PCA,平面PCA与平面PAB所成二面角的大小,猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式应为S2=S12＋S22＋S32－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ。上式可叙述为四面体的一个面的面积的平方，等于其他各面面积平方的和，减去每两个面面积与这两个面夹角余弦乘积的两倍.关于三维余弦定理的证明问题我们可以类比平面中的三角形射影定理来证明三角形余弦定理的方法，给出较简捷的方法。先看由三角形射影定理证明其余弦定理的方法：在△ABC中，a、b、c分别表示角A、B、C的对边，则有a=bcosC＋ccosB， ①b=ccosA＋acosC, ②c=acosB＋bcosA。 ③①×a－②×b－③×c可得a2－b2－c2