2017-高中数学必修4期末考试

2017-高中数学必修4期末考试

2017年高一数学必修4模块期末考试一、选择题1.若向量𝑂𝐴=（-5，4），𝑂𝐵=（7，9），则与向量𝑂𝐴同向的单位向量坐标是（）A.（−13，−13）B.（13，13）C.（−13，13）D.（13，−13）2.下列各式中值等于125的是（）A。5^3B。25^2/5C。3^5D。125^1/33.已知𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑥∈𝑅)，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A。2B。3C。4D。64.在四边形ABCD中，则四边形ABCD𝐴𝐵=𝑎+2𝑏，𝐵𝐶=−4𝑎−𝑏，𝐶𝐷=−5𝑎−3𝑏，的形状是（）A。长方形B。平行四边形C。菱形D。梯形5.如图所示，在△ABC中，AD=DB，F在线段CD上，设𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，则𝑥+𝑦的最小值为（）A。6+2√2B。9/4C。9D。6+4√26.在△ABC中，𝐴𝐵=𝑐，𝐴𝐶=𝑏．若点D满足𝐴𝐷=(𝑏+3𝑐)/3=2𝐷𝐶𝐵𝐷，则𝐷的坐标为（）A。(2b/3.c/3)B。(b/3.2c/3)C。(2c/3.b/3)D。(c/3.2b/3)7.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，则△ABC一定是（）三角形．A。锐角B。直角C。等腰D。等腰或直角8.将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移4π个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[−4，6]上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A。2B。1C。2/πD。39.cos555°的值为（）A。6+2√13/2B。2-6√13/2C。6-2√13/2D。-6+2√13/210.满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数是（）A。1B。2C。无数个D。不存在11.已知角α是第四象限角，角α的终边经过点P（4，y），且sinα=5/13，则tanα的值是（）A。-3B。-4/3C。4D。312.在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α＝(a，b)．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作三角形，事件“所得三角形的面积等于1”的概率为()A。1/6B。1/4C。1/3D。1/215.0.6.16.117.（1）最小正周期为2π；2）将f（x）向左平移4个单位得到g（x）=23sin（x-）•cos（x-）-sin（2x-π），在[0,2]上，g（x）的最大值为23，最小值为-23.18.（Ⅰ）θ=π/4，最小正周期为2π；Ⅱ）当x∈[-2,2]时，f（x）的最大值为a+1，最小值为a-1.19.（1）|𝑎𝑏|=√3/2，所以𝑎𝑏=（√3/2，1/2）或𝑎𝑏=（-√3/2，-1/2）；2）|2𝑎𝑏|=√12=2√3.20.角α在第一象限，sinα=√(1-cos²α)=√(1-𝑥²)，tanα=sinα/𝑥.21.（1）A=60°；2）sinB+sinC=2sin(A/2)cos(B-C/2)≤2sin(A/2)=√3，当B=C=60°时取等.22.（1）𝑎⋅𝑏=𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥=1；𝑎+𝑏|=√(𝑐𝑜𝑠2𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥+1+𝑠𝑖𝑛2𝑥)=√(2+2cos𝑥)=2|cos(𝑥/2)|；2）当m≥1时，f（𝑥）的最大值为m-1；当0<m<1时，f（𝑥）的最大值为-1/2；当m≤0时，f（𝑥）的最大值为m+1.所以cosA=-bc/2a^2，sinA=sqrt(1-cos^2A)=-sqrt(1-b^2c^2/4a^4)。A为锐角，所以cosA>0，即bc<0。bc=-|bc|。sinA=-sqrt(1+b^2c^2/4a^4)．2）∵cosA=-bc/2a^2。cos^2A=b^2c^2/4a^4。sin^2A=1-cos^2A=1-b^2c^2/4a^4。sinA=sqrt(1-b^2c^2/4a^4)．3）由（1）和（2）可得cosA=-bc/2a^2，sinA=sqrt(1-b^2c^2/4a^4)．其中x∈[0,π]，要求求出f(x)的最大值．1）根据倍角公式，有cos2x=1-2sin^2x，即sin^2x=(1-cos2x)/2，代入f(x)得到f(x)=2sin(x+3cosx)=2sinx+6sinxcosx，进一步化简得f(x)=2sinx+3(2sinxsin2x)，即f(x)=2sinx+6sinx(1-sin^2x)，化简得f(x)=6sinx-6sin^3x．2）对f(x)求导，得到f'(x)=6cosx-18sin^2xcosx，令f'(x)=0，得到cosx=0或sin^2x=1/3．3）当cosx=0时，即x=π/2时，f(x)取最大值8．当sin^2x=1/3时，即x=π/6或x=5π/6时，f(x)取最大值4√3．综上所述，f(x)的最大值为8或4√3，对应的x分别为π/2和π/6或5π/6．本题考查了倍角公式和特殊角的三角函数值的运用，考查了学生的计算能力和解题思路．函数$y=\text{f}(x+\varphi)=2\sin(x+\varphi+\frac{3}{2}\pi)$的图像关于直线$x=0$对称，因为函数为偶函数，所以$\varphi=\frac{6}{4}$，因此选D。解析：根据函数$y=A\sin(\omegax+\varphi)$的参数意义，利用诱导公式简化函数表达式，根据图像对称性求解$\varphi$即可。这是一道基础题，考查计算能力和对函数图像的理解。解：由$AB+2b-BD=AD$，可得$AD\parallelBC$且$AD\neqBC$，因此四边形$ABCD$是梯形，故选D。解析：根据向量的代数运算法则和性质，求解向量之间的关系。这是一道中档题，考查向量的代数运算能力。解：由$AF=2xb$，$2x+y=1$，以及$(x+y)(2x+y)=6+4xy$，可得$x=\frac{2}{5}$，$y=\frac{1}{5}$，因此$x+y=\frac{3}{5}$，故选D。解析：根据向量共线定理和基本不等式的性质，求解向量之间的关系。这是一道基础题，考查向量的代数运算能力。解：由$\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$，可得$3\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{b}=\frac{1}{c}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{b}$，因此$3\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{b}=\frac{1}{c-1}\overrightarrow{b}$，故选A。解析：利用向量共线定理和“乘1法”，求解向量之间的关系。这是一道基础题，考查向量的代数运算能力。在$\triangleABC$中，$\tanA\sin2B=\tanB\sin2A$，化简得$\cosA\sin2B=\cosB\sin2A$，整理得$\sinB\cosB=\sinA\cosA$，化简得$\sin^2A=\sin^2B$，因此$2A=2B$或$2A+2B=\pi$，即$A=B$或$A+B=\frac{\pi}{2}$，因此$\triangleABC$是等腰三角形或直角三角形，故选D。解析：利用三角函数的基本性质和等式，化简方程式并求解。这是一道基础题，考查对三角函数的理解和计算能力。中可以看出这四个点构成一个矩形，且两对角线相等，因此可以用勾股定理求出对角线的长度，再利用正弦函数求出角度，即可得到所求的值．解：设矩形的长为a，宽为b，则对角线的长度为√（a²+b²），代入已知的四个点坐标可得√20，再利用正弦函数可求出∠A和∠B的大小，即sin∠A=12sin∠B=32故sin（∠A+∠B）=221，XXX（∠A+∠B）不存在．故选：D．本题考查勾股定理、正弦函数的应用，属于基础题．删除明显有问题的段落，剔除格式错误，改写如下：题目13：已知$cos(\alpha-)+sin\alpha=\frac{6}{\sqrt{3}}$，求$sin(\alpha+\frac{7\pi}{6})$的值。解析：利用两角和差的正弦、余弦公式求得$sin(\alpha+\frac{1}{6}\pi)=\frac{5}{6}$，再利用诱导公式求得$sin(\alpha+\frac{7\pi}{6})=-sin(\frac{1}{6}\pi+\alpha)=-\frac{5}{6}$，故答案为$-\frac{5}{6}$。本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、以及诱导公式的应用，属于中档题。题目14：在$\triangleABC$中，已知$cosB-\cosC=\frac{5}{a}$，利用正弦定理可得$sinCcosB-sinBcosC=\frac{5}{a}sinA$，即$sin(C-B)=\frac{5}{2}sin(B+C)$，化简可得$tanC=4tanB$，故答案为$4$。本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于中档题。题目15：向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$|\vec{ab}|=3$，$\vec{ab}=(3,1)$，可知$\vec{a}=(x,1)$，$\vec{b}=(3-x,y)$，则$cos=\frac{1\times3}{3\sqrt{x^2+1}\sqrt{(3-x)^2+y^2}}=0$，故答案为$0$。本题考查向量的数量积，利用观察法推出向量的坐标是解题的关键。题目16：已知直线$x=1/2$是函数$y=f(x)=a\sin3x+\cos3x$的一条对称轴，则$f(0)=f(\frac{1}{6}\pi)$，即$0+1=a+0$，可知$a=1$，故答案为$1$。本题利用已知条件求出函数的表达式，然后求解函数在特定点的函数值。1.根据题意，可以得出f(x)=f(6)，即0+1=a+0，从而求得a=1.这道题主要考查正弦函数的图像对称性，是基础题。17.(1)利用倍角公式及诱导公式化简，再由周期公式求周期；(2)通过三角函数的图像平移得到函数g(x)的解析式，结合x的范围求得函数g(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。这道题考查了三角恒等变换及其应用，三角函数的图像和性质，以及三角函数的最值，是中档题。18.(I)利用向量数量积的坐标运算易求得f(x)=cos(2x-θ)，从而可求得f(x)的最小正周期；又因为y=f(x)的图像经过点(6,1)，且θ<π，因此可求得θ；(II)由(I)得f(x)=cos(2x-3)，-6≤x≤4，因此-3≤2x-3≤6，利用余弦函数的单调性可求得f(x)的最大值和最小值。这道题考查了向量数量积的坐标运算，突出了三角函数的周期性及其求法，以及余弦函数的单调性和最值，是中档题。19.(1)利用单位向量的定义和数量积运算性质即可得出；(2)利用数量积运算性质即可得出。这道题考查了单位向量的定义和数量积运算性质，是基础题。20.利用任意角的三角函数的定义求得x的值，分类讨论求得sinα和tanα的值。这道题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论的数学思想，是基础题。21.(1)利用余弦定理即可求出A的大小；(2)求出B+C=60°，利用两角和差的正弦公式即可求得sinB+sinC的最大值。这道题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键。22.(1)先求出a，利用三角恒等变换公式化简后再代入x=4求得b和|a+b|的三角表达式，得到两向量的内积与两向量和的模的值；(2)由题设条件f(x)=m|a|+|b|-a·b=-2cos2x+2mcosx-1，因此可令t=cos2x，再通过二次函数求解。这道题考查了三角恒等变换公式的应用，以及二次函数的求解，是中档题。本题考查平面向量数量积的运算。解题的关键是熟练掌握数量积的运算公式以及三角恒等变换公式。该题是一个三角与向量结合的综合题，其解题的特点是需要进行灵活的变形计算。首先，我们可以将题目中的向量表示为坐标形式，然后利用数