第一章 有理数8类题型突破

第一章有理数（八大题型突破）题型一相反意义的量【例1】（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）如果零上℃记作℃，那么零下℃记作_____℃．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）如果生产成本增加记作，那么生产成本降低记作______．2．（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）在“生活中的数学”知识竞赛中，若将加20分记为分，则扣15分记为_____分．3．（2023·江苏·七年级假期作业）我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思如下：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么元表示______．题型二有理数的分类【例2】（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；巩固训练1．（2023秋·全国·七年级专题练习）把下列各数填入相应的大括号内上：，0.618，-3.14，260，-2009，，-0.010010001…，，0，-1．有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；非正数集合：{

…}．2．（2023·江苏·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合：．正有理数集{_______________}；非负数集{_______________}；非负整数集{_______________}；分数集{_______________}．3．（2023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，．正数集合{……}；负整数集合{……}；整数集合{……}；分数集合{……}；非正数集合{……}；非负整数集合{……}．题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数【例3】（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）相反数是；绝对值是；倒数是．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）的绝对值为，相反数为．2．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）的相反数是，倒数是．3．（2023·江苏·七年级假期作业）的相反数是，是的倒数是．4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）相反数是，绝对值是，倒数是．5．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）的相反数是，倒数是．6．（2023·江苏·七年级假期作业）的相反数是，的倒数是．题型四用数轴上的点表示有理数【例4】（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）把下列各数，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．巩固训练1．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）补全数轴．表示下列各数，并用“”连接起来．，0，，，．答：___________．2．（2023秋·七年级单元测试）用数轴上的点表示下列各数，并用“<”号把各数从小到大连起来．，3，，，，．3．（2023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题.(1)互为相反数的一组数是___________；(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；(3)在这6个有理数中，负数有___________个，最小的数是___________.题型五数轴上两点间的距离【例5】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上表示有理数与两点的距离是______．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上数和的两点间的距离是______，与相距9个单位的点是______．2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______．3．（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）点A在数轴上表示数，点B在数轴上距离点A有5个单位长度，则点B表示的数为______．题型六有理数的加减乘除乘方混合运算【例6】（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）计算：(1)；(2)；(3)．巩固训练1.（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)； (2)．2.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：(1)． (2)．3．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)．题型七有理数的加减乘除混合运算的应用【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表标准质量的差（单位：千克）023箱数1322241请解答下列问题：(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？巩固训练1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？(2)离开下午出发点最远时是__________千米；(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？题型八用科学记数法表示绝对值大于1的数【例8】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为．巩固训练1．（2023·广东·统考中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2.（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为．3．（2023春·上海闵行·六年级校联考期末）4月28日，铁路上海站迎来今年以来单日最高客流，共计发送旅客万人次，这个数据用科学记数法表示为人．

第一章有理数（八大题型突破）参考答案题型一相反意义的量【例1】（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）如果零上℃记作℃，那么零下℃记作_____℃．【答案】【分析】先根据零上℃记作℃，再根据正数和负数的表示方法，即可表示出零下℃．【详解】解：零上℃记作℃，零下℃记作℃，故答案为：．【点睛】本题考查了正数和负数的表示方法，解题的关键是能根据题意正确表示出具有相反意义的量．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）如果生产成本增加记作，那么生产成本降低记作______．【答案】【分析】审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意解答即可．【详解】解：成本增加记作，生产成本降低记作；故答案为：．【点睛】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）在“生活中的数学”知识竞赛中，若将加20分记为分，则扣15分记为_____分．【答案】【分析】根据相反意义的量进行解答即可．【详解】解：在“生活中的数学”知识竞赛中，若将加20分记为分，则扣15分记为分．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，熟练掌握正、负数的意义．3．（2023·江苏·七年级假期作业）我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思如下：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么元表示______．【答案】支出元【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，即可得．【详解】解：根据题意得，元表示支出元，故答案为：支出元．【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义．题型二有理数的分类【例2】（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；【答案】(1)2，，(2)，，(3)2，(4)，【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】（1）解：正数有：2，，，故答案为：2，，；（2）解：负数有：，，；故答案为：，，；（3）解：整数有：2，；故答案为：2，；（4）解：分数有：，；故答案为：，．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·全国·七年级专题练习）把下列各数填入相应的大括号内上：，0.618，-3.14，260，-2009，，-0.010010001…，，0，-1．有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；非正数集合：{

…}．【答案】见解析【分析】分别根据有理数、整数、非正数的定义进行判断填写即可．【详解】解：有理数集合：{}；整数集合：{}；非正数集合：{}．【点睛】本题主要考查有理数的分类，注意无限不循环小数、不是有理数，分数中包括小数，理解带“非”字的有理数是解答此题的关键．2．（2023·江苏·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合：．正有理数集{_______________}；非负数集{_______________}；非负整数集{_______________}；分数集{_______________}．【答案】，，；，0，π，，；，0；，，，【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：正有理数集{，，}；非负数集{，0，π，，}；非负整数集{，0}；分数集{，，，}．故答案为：，，；，0，π，，；，0；，，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，解题的关键是注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．3．（2023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，．正数集合{……}；负整数集合{……}；整数集合{……}；分数集合{……}；非正数集合{……}；非负整数集合{……}．【答案】，，；，；，，，；，，；，，，；，．【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解．【详解】正数集合，，，；负整数集合，，；整数集合，，，，；分数集合，，，；非正数集合，，，，；非负整数集合，，．故答案为：，，；，；，，，；，，；，，，；，．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数【例3】（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）相反数是；绝对值是；倒数是．【答案】【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．利用这些知识即可求解．【详解】解：相反数是，绝对值是，倒数是．故答案为：，，．【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，以及绝对值的意义，解题的关键是熟记定义．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）的绝对值为，相反数为．【答案】33【分析】负数的绝对值是它的相反数，绝对值相同、符号不同的两个数互为相反数，由此可解．【详解】解：的绝对值为3，相反数为3．故答案为：3，3．【点睛】本题考查绝对值和相反数，解题的关键是掌握绝对值和相反数的概念．2．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）的相反数是，倒数是．【答案】【分析】根据倒数和相反数的定义进行求解即可．【详解】解：的相反数是，倒数是，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数和求一个数的相反数，熟知倒数和相反数的定义是解题的关键：如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数．3．（2023·江苏·七年级假期作业）的相反数是，是的倒数是．【答案】/【分析】根据相反数和倒数的定义即可解答．【详解】解：的相反数是，∵，∴是的倒数是，故答案为：，．【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，理解相反数和倒数的定义是解题的关键．4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）相反数是，绝对值是，倒数是．【答案】99【分析】根据相反数、绝对值和倒数的定义进行解答即可．【详解】解：根据题意得：相反数是9，绝对值是9，倒数是，故答案为：9，9，．【点睛】本题考查了相反数、绝对值、倒数的定义，熟练掌握相反数、绝对值、倒数的定义是解题的关键．5．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）的相反数是，倒数是．【答案】【分析】先根据绝对值的意义求出，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．【详解】，的相反数是，倒数是，故答案为：，．【点睛】本题考查了化简绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2023·江苏·七年级假期作业）的相反数是，的倒数是．【答案】【分析】①先计算的值，再根据相反数的定义求解即可.②先计算的值，再根据倒数的定义求解即可.【详解】①∵，的相反数是∴的相反数是.故答案为：②∵，的倒数是

∴的倒数是故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数和倒数，掌握绝对值、相反数和倒数的定义是解题的关键.题型四用数轴上的点表示有理数【例4】（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）把下列各数，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．【答案】，详见解析【分析】先通过计算乘方、化简绝对值、化简多重符号对给出的4个数进行化简，再在数轴上表示出来，进而排序．【详解】解：，，，．在数轴上表示为：观察数轴可知：．【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小，计算乘方，化简绝对值，化简多重符号等知识点，解题的关键是能够利用数轴比较有理数的大小．巩固训练1．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）补全数轴．表示下列各数，并用“”连接起来．，0，，，．答：___________．【答案】见解析，【分析】先将各数化简，然后在数轴上表示，用“”连接起来即可．【详解】解：，，在数轴上表示如下：用“”连接如下：．【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数在数轴上的表示、大小的比较，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题关键．2．（2023秋·七年级单元测试）用数轴上的点表示下列各数，并用“<”号把各数从小到大连起来．，3，，，，．【答案】数轴见解析，【分析】将各点标记在数轴上，根据“右边的数总比左边的数大”即可得出结论．【详解】解：，，如图，，∴．【点睛】本题考查了有理数的大小比较以及数轴，牢记“右边的数总比左边的数大”是解题的关键．3．（2023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题.(1)互为相反数的一组数是___________；(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；(3)在这6个有理数中，负数有___________个，最小的数是___________.【答案】(1)和(2)见解析(3)2，【分析】（1），将各数化简，再根据相反数的定义确定即可；（2），将各数之间在数轴上描出即可；（3），根据负数的定义判断，再比较有理数的大小得出答案．【详解】（1）由，，可知和互为相反数．故答案为：和；（2）如图，（3）负数有，，共2个；由，可知最小的数是．故答案为：2，．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示点，相反数，有理数大小的比较等，掌握定义是解题的关键．题型五数轴上两点间的距离【例5】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上表示有理数与两点的距离是______．【答案】8【分析】根据数轴上两点距离公式进行求解即可．【详解】解：由题意得，数轴上表示有理数与两点的距离是，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了数轴上的两点距离公式，解题的关键在于熟知对于数轴上的两个数a、b，这两个数的距离为．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上数和的两点间的距离是______，与相距9个单位的点是______．【答案】94和【分析】直接根据数轴作答即可．【详解】数轴上数和的两点间的距离是，与相距9个单位的点是和，故答案为：9；4和．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出，分点C在点B的右侧和点C在点B的左侧两种情况计算．【详解】∵点A、B表示的数分别为、1，∴，第一种情况：点C在外，如图，；第二种情况：点C在内，如图，；故答案为：3或7．【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．3．（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）点A在数轴上表示数，点B在数轴上距离点A有5个单位长度，则点B表示的数为______．【答案】或2/2或【分析】设点B表示的数为x，再由数轴上两点间的距离公式即可得出结论．【详解】解：设点B表示的数为x，则，解得：或.故答案为：或2．【点睛】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．题型六有理数的加减乘除乘方混合运算【例6】（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）根据有理数的加减计算即可．（2）先算小括号里面的，然后进行乘法计算，再进行减法运算即可．（3）根据平方、立方，绝对值的意义，进行计算即可．【详解】（1）（2）（3）【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序是解题的关键．巩固训练1.（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．2.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：(1)．(2)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用．3．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)9(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）（2）根据有理数的加减计算法则求解即可；（3）根据有理数的乘法计算法则求解即可；（4）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可；（5）根据有理数乘法分配律求解即可；（6）根据有理数四则混合计算法则求解即可；（7）（8）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式（4）解：原式；（5）解：原式（6）解：原式；（7）解：原式；（8）解：原式．【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．题型七有理数的加减乘除混合运算的应用【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表标准质量的差（单位：千克）023箱数1322241请解答下列问题：(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克．(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．(3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元．【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；（3）用单价乘以总质量，即可得到答案．【详解】（1）解：（千克），答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克．（2）解：（千克），答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．（3）解：（千克），（元），答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键．巩固训练1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？【答案】(1)星期五的进出数为吨(2)1160元【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得；（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．【详解】（1）解：周五的进出数为(吨)，答：星期五的进出数为吨．（2）解：这一周的装卸费为：(元)．【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？(2)离开下午出发点最远时是__________千米；(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边(2)26(3)元【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边；（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；（3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）．答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；（2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；∵，∴离开下午出发点最远时是26千米，答：离开下午出发点最远时是26千米；（3）解：∵这天