单元过关检测七

单元过关检测七立体几何与空间向量一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知某圆锥的高为1，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\r(2)2.如图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′(1，0)，C′(－1，0)，则原四边形ABCD的周长等于()A．2B．2eq\r(2)＋2eq\r(3)C．4D．4eq\r(2)＋4eq\r(3)3．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是()A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β4．直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4.AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为()A．eq\f(169π,4)B．169πC．288πD．676π5．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为()A．矩形B．三角形C．正方形D．等腰梯形eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))6．如图，A1B1C1­ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A．eq\f(\r(30),10)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(30),15)D．eq\f(\r(15),10)7．如图1，在菱形ABCD中，AC，BD是其对角线，E是BC上一点，且∠BAE＝eq\f(1,3)∠BAD＝40°，将△BAE沿直线AE翻折，形成四棱锥B­AECD(如图2)，则在翻折过程中，下列结论中正确的是()A．存在某个位置使得BE⊥AEB．存在某个位置使得BE⊥ADC．存在某个位置使得AB⊥ACD．存在某个位置使得AB⊥CD8．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，∠PBA＝∠PBC，PD⊥AD，Q为正方形ABCD内一动点且满足QA⊥QP，若PD＝2，则三棱锥Q­PBC的体积的最小值为()A．3B．eq\f(8,3)C．eq\f(4,3)D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，AD与BC分别为圆台上、下底面直径，AD∥BC，若AB＝3，AD＝2，BC＝4，则()A．圆台的全面积为14πB．圆台的体积为14eq\r(2)πC.圆台的中截面(过圆台高的中点且平行底面的截面)面积为eq\f(5π,2)D．从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3eq\r(3)10.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点，下列命题正确的是()A．MO∥平面PACB．PA∥平面MOBC．OC⊥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC11．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是()A．异面直线AC与BD所成角为60°B．点A到平面BCD的距离为eq\f(2\r(6),3)C．四面体ABCD的外接球体积为eq\r(6)πD．四面体ABCD的内切球表面积为eq\f(2π,3)[答题区]题号1234567891011答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在棱A1A上，且A1A＝3A1E.记过点D1，C，E的平面与侧面ABB1A1的交线为l，且l∩AB＝F，则EF的长为________．13．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，AC1与平面ABB1A1所成角的大小为eq\f(π,6)，则线段AC1在平面ABB1A1内的射影长为________．14.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”ABC­A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝4，则A到平面A1BC1的距离为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别是AA1，BC，C1D1的中点．(1)证明：B1D⊥平面EFG；(2)在直线DB上是否存在点P，使得B1P∥平面EFG？若存在，请指出P的位置；若不存在，请说明理由．解：

16.(15分)如图，已知四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2，点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G.(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；(2)求线段PA的长及直线DG与平面PBC所成角的正弦值．解：17.(15分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是等边三角形，侧面ACC1A1⊥底面ABC，且AA1＝AC，∠AA1C1＝120°，M是CC1的中点．(1)证明：A1C⊥BM；(2)求二面角A1­BC­M的正弦值．解：18.(17分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥PD.(1)证明：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的正弦值为eq\f(\r(10),4)，求点B到平面ACE的距离．解：19．(17分)如图①，在平面四边形ABDC中，AB＝2，AC＝1，CD＝eq\r(5)，A＝90°，cos∠BCD＝eq