6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件高二下学期数学人教A版选择性

第六章计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律,它们是推导排列数公式、组合数公式的依据,其基本思想和方法贯穿本章内容的始终.从思想方法的角度看:运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”,然后各个击破,分类解决;分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先对每一个步骤进行细致分析,再整合为一个完整的过程.本学习单元通过具体的实例,让学生经历由分类加法计数原理与分步乘法计数原理的探究过程,理解“分步”与“分类”的区别和联系.在此基础上,提出本学习单元的研究路径:实际问题—分类加法计数原理—实际问题—分步乘法计数原理—应用.这也是学习本单元的知识明线,具体内容结构如下图所示:本学习单元的最终学习目标是正确理解“完成一件事情”的含义,根据实际问题的特征,正确区分“分类”或“分步”,能归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理,能应用它们解决简单的实际问题.在学习过程中,认真感悟“分类”与“分步”的联系与区别,体会数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养.学习目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.(数学抽象)2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.(数学建模、数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

分类加法计数原理完成一件事有

不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

名师点睛应用分类加法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成这件事.(2)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,不同类方案中的方法互不相同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分两类方案,两类方案可看作集合A,B,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).两类

m+n微思考分类加法计数原理中每类方案的特征是什么?提示

每类方案中的任何一种方法都可以独立完成这件事.知识点2

分步乘法计数原理完成一件事需要

步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

名师点睛应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.(2)根据题意正确分步,要求各步之间必须关联,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.两个

m×n微思考分类加法计数原理每一类方案中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别?提示

分类加法计数原理每一类方案中的每种方法都可以单独完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.知识点3

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.联系:回答的都是有关做一件事的

种数的问题.

2.区别:分类加法计数原理针对的是

问题,其中各种方法

,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是

问题,各个步骤中的方法

,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.

微思考当一个事件既需要分步又需要分类时,分步和分类有何先后顺序吗?不同方法

“分类”相互独立

“分步”互相依存

提示

当一个事件既需要分步又需要分类时,通常要明确是先分类后分步还是先分步后分类,并且要明确分类的标准和分步的程序问题.重难探究·能力素养速提升问题1如果完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类方案中有m3种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?问题2如果完成一件事需要n个步骤,第1步有m1种不同的方法,第2步有m2种不同的方法,第3步有m3种不同的方法……第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?探究点一分类加法计数原理问题3如果完成一件事情有n类不同的方案,每一类方案有多种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数,我们采用分类加法计数原理.根据分类加法计数原理,如何解决以下实际问题?有什么启发?【例1】

某校高三共有三个班,各班人数如下表:班级男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?解

(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,不同选法的种数为50+60+55=165.(2)从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同选法的种数为30+30+20=80.规律方法

利用分类加法计数原理解题的一般思路

探究点二分步乘法计数原理问题4如果完成一件事情有n个不同的步骤,每一个步骤有多种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数,我们采用分步乘法计数原理.根据分步乘法计数原理,如何解决以下实际问题?【例2】

一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的组合号码?(各位置上的数字允许重复)解

4个拨号盘组成四位数字的组合号码可以分四步完成:第1步,第1个拨号盘有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,第2个拨号盘有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,第3个拨号盘有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,第4个拨号盘有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10

000个四位数字的组合号码.规律方法

利用分步乘法计数原理解题的一般思路

探究点三两个计数原理的应用问题5当完成一件事情有n类不同的方案,其中的若干类方案可以分为多个步骤完成这件事情.此时完成这件事情,我们需要将分类加法计数原理与分步乘法计数原理一起使用.如何正确地“分类”与“分步”,解决以下实际问题?【例3】

某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?解

由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要分两种:(1)教英语;(2)教日语.第1类:甲入选.(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2种选法;(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6种选法.故甲入选的不同选法种数为2+6=8.第2类:甲不入选.可分两步:第1步,从只会英语的6人中选1人有6种选法,第2步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理知,有6×2=12种不同的选法.综上,不同选法种数为8+12=20.规律方法

1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是将较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.本节要点归纳1.知识清单:(1)分类加法计数原理;(2)分步乘法计数原理.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:分不清“分类”与“分步”的判断方法,导致计数错误.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,则不同的行车路线有(

)A.24种

B.16种

C.12种

D.10种C解析

可分为四类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个,第3个,第4个入口进入时,都分别有3种行车路线.由分类加法计数原理可得,不同的行车路线种数为3+3+3+3=12.故选C.1234567891011122.将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法种数为(

)A.81 B.64C.14 D.12B解析

将3个不同的小球放入4个盒子中,每个小球不同放法的种数都为4.根据分步乘法计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.1234567891011123.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是(

)A.15 B.12 C.5 D.4A解析

利用分类加法计数原理.当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.根据分类加法计数原理可得,不同的有序自然数对的个数为6+5+4=15.1234567891011124.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(

)A.21种

B.315种

C.153种 D.143种D解析

由题意,选一本语文书、一本数学书的选法种数为9×7=63,选一本数学书、一本英语书的选法种数为7×5=35,选一本语文书、一本英语书的选法种数为9×5=45.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为63+45+35=143.故选D.1234567891011125.数独是一种受人喜爱的数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(

)A.12种

B.24种

C.72种

D.216种A解析

先填第一行,有3×2×1=6种不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12种不同的填法.故选A.1234567891011121234567891011126.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(

)A.27种

B.36种

C.54种

D.81种C解析

小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54种不同的报名方法,故选C.1234567891011127.为了进一步做好社区疫情防控工作,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长,则有

种不同的选法.

30解析

第1步,从6人中选1人担任组长,共有6种不同的选法;第2步,从剩余5人中选1人担任副组长,共有5种不同的选法.根据分步乘法计数原理,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6×5=30种不同的选法.1234567891011128.由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数有

个.

15解析

分三类:第一类,一位数有1,2,3,共3个自然数;第二类,两位数有12,21,23,32,13,31,共6个自然数;第三类,三位数有123,132,213,231,321,312,共6个自然数.根据分类加法计数原理,所组成的自然数的个数为3+6+6=15.123456789101112B级关键能力提升练9.(多选题)有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有(

)A.8种 B.9种

C.10种 D.11种AB12345678910111210.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛