第九章 概率数学

第九章概率目录TOC\o"1-2"\h\u知识梳理 1考点精讲精练 2考点一：随机事件与概率 2考点二：事件的相互独立性 4考点三：频率与概率 6概率实战训练 81、概率与频率一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.

2、古典概型试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．3、古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）性质1：对任意的事件，都有；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.5、互斥事件的概率加法公式（性质3）性质3：如果事件与事件互斥，那么；注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.6、对立事件的概率（性质4）性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；7、相互独立事件对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，考点一：随机事件与概率真题讲解例题1．（2023·广东·高三学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有两次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（

）A． B． C． D．例题3．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（

）A． B． C． D．例题4．（多选）（2023秋·福建·高二统考学业考试）袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（

）A．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件例题5．（2023·天津·高二学业考试）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.真题演练1．（2023春·天津南开·高一学业考试）口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为（

）．A． B． C． D．2．（2023春·福建·高二统考学业考试）“敬骅号”列车一排共有A、B、C、D、F五个座位，其中A和F座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A或F座的概率为（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到黄球的概率为，则取到白球的概率为（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·高三统考学业考试）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（

）A． B． C． D．5．（2023春·新疆·高二统考学业考试）从3名男生和2名女生中随机选出2人参加社区志愿者活动，每人被选到的可能性相同．(1)写出试验的样本空间；(2)设M为事件“选出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．考点二：事件的相互独立性真题讲解例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（

）A．两人都中靶的概率为0.63 B．两人都中靶的概率为0.70C．两人都中靶的概率为0.72 D．两人都中靶的概率为0.74例题2．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（

）A． B．C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立例题3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；④事件A：至少一个白球，事件B：一个白球一个黑球.是互斥事件的是.（将正确答案的序号都填上）例题4．（2023春·浙江·高二统考学业考试）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立.(1)求两种芯片都开发成功的概率；(2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率.例题5．（2023·云南·高二统考学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为.(1)求甲､乙都成功破译密码的概率；(2)求至少有一人成功破译密码的概率.真题演练1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）甲、乙两人进行射击比赛，若甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.3，甲、乙射击是否中靶相互独立，则至少有一人中靶的概率为（

）A．0.9 B．0.72C．0.28 D．0.182．（2023春·河北·高二统考学业考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（

）A． B． C． D．3．（2023·山西·高二统考学业考试）某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为．(1)求p的值；(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．4．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙投中与否互不影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率(1)两人都投中；(2)甲、乙两人有且只有1人投中.5．（2023·河北·高三学业考试）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．考点三：频率与概率真题讲解例题1．（2023·重庆·高二统考学业考试）王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组频率0.10.20.30.150.25A．10人 B．9人 C．8人例题2．（2023·河北·高三学业考试）下列说法正确的是()A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%例题3．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数1213241516137则样本数据落在[10，40)上的频率为.例题4．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21(1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数；(2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率.真题演练1．（2023·山西·高二统考学业考试）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（

）A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B．该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件C．该厂生产的10000件产品中没有不合格的产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%2．（2023春·天津河北·高二学业考试）对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()

A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.453．（2023·河北·高三学业考试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（

）A．0.4，0.4 B．0.5，0.5 C．0.4，0.5 D．0.5，0.44．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在上．将这些成绩分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．

(1)求抽出的60名学生中分数在内的人数；(2)若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数．第九章概率实战训练一、单选题1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（

）.A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶3．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“恰有1名男生”与“全是男生”B．“至少有1名男生”与“全是女生”C．“至少有1名男生”与“全是男生”D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”4．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.35．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（

）A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球6．（2023·广东·高三统考学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（

）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件7．（2023·河北·高二统考学业考试）某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（

）A． B． C． D．8．（2023·上海·高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（

）A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.49．（2023春·河北·高三统考学业考试）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（

）A． B． C． D．10．（2023春·河北·高二统考学业考试）从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为（

）A．18000 B．15000 C．12000 D．1000011．（2023·广东·高三统考学业考试）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（

）A． B．C． D．12．（2023·广东·高三统考学业考试）从一批产品中取出三件，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（

）.A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥13．（2023·重庆·高二统考学业考试）袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（）A． B． C． D．14．（2023·广东·高三统考学业考试）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为A． B． C． D．二、填空题15．（2023秋·广东·高三统考学业考试）城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为．16．（2023·河北·高三学业考试）一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记{摸出黑球}，{摸出白球}，{摸出绿球}，{摸出红球}，则；；.17．（2023春·天津南开·高一学业考试）甲、乙两人