高考数学（理）一轮讲义第41讲直线平面平行的判定及其性质

第41讲直线、平面平行的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.2017·江苏卷，152016·全国卷Ⅱ，142016·四川卷，18与直线、平面平行有关的命题判断；线线平行的证明；线面平行的证明；面面平行的证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置.分值：4～6分1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与__此平面内__的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)__l∥a__，__a⊂α__，__l⊄α__⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__交线__与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)__l∥α__，__l⊂β__，__α∩β＝b__⇒l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条__相交直线__与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)__a∥β__，__b∥β__，__a∩b＝P__，__a⊂α，____b⊂α__⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的__交线__平行__α∥β__，__α∩γ＝a__，__β∩γ＝b__⇒a∥b1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(4)平行于同一平面的两条直线平行．(×)(5)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.(×)解析(1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．(2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面．(3)错误．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(4)错误．两条直线平行或相交或异面．(5)错误．直线a∥β或直线a⊂β.2．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是(D)A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(AA．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)解析如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D．易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m，n所成的角为60°，其正弦值为eq\f(\r(3),2).选A．4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是(A)A．0 B．1C．2 D．3解析对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为__平行__解析如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.一直线与平面平行的判定与性质判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【例1】(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．解析(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ADB∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因为AD⊂平面ADB，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC．二平面与平面平行的判定与性质判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC．∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.三空间平行关系的探索性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．【例3】如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE,AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在线段CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.解析(1)证明：由DA⊥平面ABE及AD∥BC，得BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE.因为BE⊂平面BCE，故AE⊥BE.(2)在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中，过点G作GN∥BC交CE于点N，连接MN，则由eq\f(CN,CE)＝eq\f(BG,BE)＝eq\f(MB,AB)＝eq\f(1,3)，得CN＝eq\f(1,3)CE.因为MG∥AE，AE⊂平面ADE，MG⊄平面ADE，所以MG∥平面ADE，又GN∥BC，BC∥AD，AD⊂平面ADE，GN⊄平面ADE，所以GN∥平面ADE，又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE，因为MN⊂平面MGN，所以MN∥平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN∥平面ADE.1．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是(A)A．1 B．2C．3 D．4解析命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是(B)A．3 B．2C．1 D．0解析①若n⊥α，n⊥β，则n为平面α与β的公垂线，则α∥β，故①正确；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，三点可能在平面β的异侧，此时α与β相交，故②错误；③若n，m为异面直线．n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，根据面面平行的判定定理，可得③正确．故选B．3．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC．证明(1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，AB＝2，则AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝eq\f(1,2)PB，在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝eq\f(1,2)PB，∴AM＝CM.(2)如图，连接DB交AC于点F，∵DCeq\f(1,2)AB，∴DF＝eq\f(1,2)FB．取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，∴DG∥平面AMC．连接GN，则GN∥MC，GN⊄平面AMC，MC⊂平面AMC．∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC，又DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO解析当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.易错点忽视判定定理和性质定理的使用条件错因分析：如下面的例子中，已知α∥β，a⊂α，b⊂β，那么a与b不一定平行，还可能异面．【例1】已知三个平面α，β，γ，满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G，求证：eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).证明(1)当a，b共面时，设a，b共面θ，连接AE，BF，CG.∵α∥β∥γ，α∩θ＝AE，β∩θ＝BF，γ∩θ＝CG，∴AE∥BF∥CG.据平行线分线段成比例可知eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG)；(2)当a，b异面时，如图(1)，连接AG交β于点O，连接OB，OF.∵β∥γ，β∩面ACG＝OB，γ∩面ACG＝CG，∴OB∥CG，同理可得OF∥AE，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(AO,OG)，eq\f(AO,OG)＝eq\f(EF,FG)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).【跟踪训练1】(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD．(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD．解析(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：连接CM.因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB．又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB．(2)证明：连接BM，由已知得，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD．从而PA⊥BD，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥MD，且BC＝MD．所以四边形BCDM是平行四边形．所以BM＝CD＝BC，BCDM是菱形，∴BD⊥MC，又MC∥AB，所以BD⊥AB．又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD．课时达标第41讲[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质，常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．(2018·广东揭阳模拟)设两个不同的平面α，β，两条不同的直线a，b，且a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析因为“a∥β，b∥β”，若a∥b，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a∥β，b∥β”，故选B．2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(B)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFeq\f(1,5)BD，所以EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGeq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形．3．设a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(D)A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β解析对于A项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A项不正确；对于B项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B项不正确；对于C项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C项不正确．排除A，B，C项，故选D．4．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是(A)A．①② B．①④C．②③ D．③④解析由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.5．已知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是(C)A．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bB．若a∥b，a⊂α，b⊂β，则α∥βC．若a∥b，α∩β＝a，则b∥α或b∥βD．若直线a与b异面，a⊂α，b⊂β，则α∥β解析对于A项，a与b还可能相交或异面，此时a与b不平行，故A项不正确；对于B项，α与β可能相交，此时设α∩β＝m，则a∥m，b∥m，故B项不正确；对于D项，α与β可能相交，如图所示，故D项不正确，故选C．6．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))⇒n∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))⇒m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))⇒α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂β,α∥β))⇒m∥n.其中所有正确命题的序号是(B)A．③④ B．②③C．①② D．①②③④解析①不正确，n可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m，n可能为异面直线．故选B．二、填空题7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于__eq\r(2)__.解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).8．(2018·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①③__(把所有正确的题号填上)．解析①可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b⊂β，α∩β＝a，b⊂γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行．②a∥γ，b∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b.这些条件无法确定两直线的位置关系．③可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a⊂γ，b⊂γ，可得两直线平行．9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t＝__eq\f(1,3)__.解析连接AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图，则O为BD的中点．又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正△ABD的中心．令菱形ABCD的边长为a，则AC＝eq\r(3)a，AN＝eq\f(\r(3),3)a.∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN∴PA∥MN，∴PM∶PC＝AN∶AC，即PM＝eq\f(1,3)PC，∴t＝eq\f(1,3).三、解答题10．如图，P是△ABC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心．求证：平面A′B′C′∥平面ABC．证明连接PA′，PC′并延长，分别交BC，AB于M，N.∵A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，∴M，N分别是BC，AB的中点．连接MN，由eq\f(PA′,PM)＝eq\f(PC′,PN)＝eq\f(2,3)知A′C′∥MN，∵MN⊂平面ABC，∴A′C′∥平面ABC．同理，A′B′∥平面ABC，而