2024-2025学年北京市高三年级上册入学定位考试数学检测试题（含答案）

2024-2025学年北京市高三上学期入学定位考试数学检测试题

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

(1)已知集合则Qg=

(A)(-1.2)(B)(1,3)

(C)[-1.0,1}(D)0,2,3}

(2)已知复数二满足i==-l+i,则门

(A)-1-i(B)~1+i

(C)1-i(D)1+1

（3）已知抛物线。:r=41,则抛物线。的焦点到其准线的距离为

(A)1(B)2

(C)3(D)4

（4）在（、+的展开式中，常数项为

(A)4(B)12

(C)24(D)36

(5)已知等比数列{qj满足q+%・5,%-2,贝!!{4}的公比为

(B)_c或L

或---

(A)_c-、—.

（C）2或一；(D)r或L

一o

（6）已知函数/（K）=SinT8SK.若戈■由时，f（K）取得最大值，则小的值可能是

(A)—(B)-

124

(C)-(D)-

32

（7）如图，在四棱锥p一乂BCD中，R1J"平面4BCD，底面4BCD是边长为1的正方形,

PA=B则点p到直线助的距离为PK

(A)J?

(c)正

1：iBN

(8)若圆f-3+6y-0的圆心到工轴、丁轴的距离相等，贝Ua=

(A)2(B)3

(c)+3(D)±6

(9)已知单位向量a,b,贝u“alb”是“任意4eR,都有|a-明=|浙+叶'的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(O充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(10)设集合0K,)［二对于集合M的子集力，若任取乂中

两个不同元素0\,心小,工,),仁二二二)，有「+「+『；+.r,=工+二：+工+二「且

j+二」•+二；，八+二“果+二4中有且只有一个为2,则称&是一个“好子集”.下列结论

正确的是

(A)一个“好子集”中最多有3个元素(B)一个“好子集”中最多有4个元素

(C)一个“好子集”中最多有6个元素(D)一个“好子集”中最多有8个元素

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)函数/'(X)=-4的定义域为.

C

(12)已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正

方形的边长为1，贝U|«i+R=；(a-bc=.

22

(13)已知双曲线力：二-匚・1(其中a>0)的右焦点为以2,0),贝I

CT3

。・________,方的离心率为.

(14)函数/0)・字2是奇函数，且对任意i€R成立，则满足条件的一组值可

x*+l

以是Q=,b=.

(15)在棱长为2的正方体幺中，点及歹分别为棱的中点.点尸为正

方体表面上的动点，满足4P_LE尸.给出下列四个结论：

①线段4P长度的最大值为？JJ；------/

②存在点尸，使得DP"EF；iL

③存在点尸，使得BP•DP；\AI/

④△£尸尸是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

如图，在直三棱柱4中，乙4cB为直角，侧面为正方形，

AC=BC=2^D3分别为须，月。:的中点.

（I）求证：QE〃平面BBCC；

（II）求证：ACLDE^

（III）求直线幺（7与平面BDE所成角的正弦值.

（17）（本小题13分）

已知乙出？为锐角三角形，且匕・7，aanB-4^/3-

（I）求$in4的值；

（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求MBC的周长.

条件①：。=8；

条件②：B-j；

条件③：c・5.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（18）（本小题13分）

某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制

了日销售量的频率分布直方图，如右图所示.假设每天的

销售量相互独立，用频率估计概率.

（I）估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率；

0.03........

（II）用N表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于002-----------

0.01---1-

60个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；°匕1p土一舄口而售址（个）

（III）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量

都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了

变化，说明理由.

(19)(本小题15分)

rr1(。>3>0)的右顶点为42,0)，上顶点为5(0,JI).

己知椭圆。7+F

(I)求椭圆C的方程;

(II)椭圆。的左焦点为尸,点p为椭圆。上不同于顶点的一点，直线4P,即与「轴的交

点分别为A/,N,若|OM|,|0N|=：，求点尸的横坐标.

(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=xln(x+l)-h-,直线：是曲线丁・/(X)在点(0J(0))处的切线.

(I)当k=-l时，求直线，的倾斜角；

(II)求证：除切点(0,/(0))之外，曲线在直线；的上方；

(III)若函数/(x)在(0.+8)上单调递增，求上的取值范围.

(21)(本小题15分)

己知数歹！J｛qJ满足％=。吗="％广14卜&«，其中a/eZ,ab*0.

(I)当a=-，b=-l时，求知.%的值；

(II)求证：｛q｝不是单调递增数列；

(III)是否存在a力，使得a：+a：+a；+a』+a.+a,+a.+。'=0,若存在,求出a,b的值;

若不存在，说明理由.

数学答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

(1)C(2)D(3)B(4)A(5)D

(6)B(7)D(8)C(9)C(10)A

二、填空题（共5小题，每小题5分,共25分）

(11)(-OO-2]U[2,+OO)(12)4

(13)12(14)10（答案不唯一）

(15)①③④

说明:12,13,14题都是第一个空3分，第二个2分;

15题对一个给1分，对两个给3分，全对给5分，如果有错的，则给0分。

三、解答题（共6小题，共85分）

(16)(共14分)

解：（I）连接在A松G中,

因为DE分别为月B，ng的中点,

所以》〃Bq.2分

又平面8Gu平面BBC；。

所以DE4平面BECC-4分

（II）因为直三棱柱触。-RBC

所以CC」平面,

所以0c_L40,

......5分

又44cB为直角，

所以......6分

又Ecny-c

所以HC_L平面BBC©，......7分

所以次？_LBC,

由（I）DE//BC.,

所以4C1DE.......8分

（III）建立空间直角坐标系C-4BC1，......9分

则0(000),4(2.0,0),及(0,2,2),D(l,l,O).£(1.0.1)

因此章=（!«_?,-1），D?=（0,-l,l）-

设平面B^DE的法向量为〃=（x,J二），则

""=J;r—=°'即[:匕,………11分

[n~DE=-y+z=O,口'=二

令二=1，于是"・(3,1,1).............12分

设直线力。与平面BDE所成角为8.

=一，・行.、«AC33\TT八

所以silld=cos(AO,〃)=------------=—=———.............14分

imi^i而11

（17）（共13分）

解：（I）由正弦定理」一・」_,......3分

sinAsinB

所以々sinB-bsinH..............4分

代入得〃sinB=7sm乂=473

所以sm>l=£l..............5分

7

（H）选择条件①：a=8..............6分

因为sin4=士叱■,所以CO$4«»±L............8分

77

因为幺为锐角，所以cos4-g............9分

由余弦定理标=标+《二一2bccosyl,.............11分

代入得到64=49+5-）7,c1

所以c'-i-15=0-

解得。=5,c=-3（舍）.......12分

所以"BC的周长为20.............13分

选择条件②.8•守......6分

因为a$inB=46'所以.....7分

所以a・S,以下同选择①.

选择条件③：c・5・............6分

因为sin力■士叵，所以cos4・±1.............8分

77

因为4为锐角，所以8s4-7...........9分

由余弦定理，=82+/一2bcCOSJ4»...........11分

代入得到J・49+25-：!，751

所以。=8,...........12分

所以.的周长为20............13分

（18）（共13分）

解：（I）设事件月为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，......1分

所以R4）=@01+003）10=0.4............4分

(II)Z=0,l,2,3............5分

RX・0)・04'・0064，

RX・1)・C；06043-0288，

P(jr-2)-C；06：04-0432,

P(Jr-3)-06J-0.216，

所以JT的分布列为

X01-13

P0.0640.2880.4320.216

......................9分所以

ZT=0x0,0064+1x0.288+2x0.432+3x0.216=1.8...........n分

(III)可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.

因为以前此款甜品的日销售量大于70个的频率为0.2,

现在30天中有20天销售量大于70个，其频率三=二远大于改进前，

303

所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.......13分

（也可认为无法确定有无变化，30天中有20天销售量大于70个是随机事件，

按之前频率估计计算30天中有20天销售量大于70个的概率比较小，一般

不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化）

(19)(共15分)

a=2,

解：（I）由题设，

所以。的方程为二+匚=L.............5分

43

(II)法一：

设Rs，.")，所以22_+二=1(一2<.q<2,xo*0)............6分

43

所以%萩=上「，......7分

<0-2

直线月P的方程为......8分

q--

令1・0,得J'M・二^■......9分

VO--

又％•・”]，......10分

%+1

直线RP的方程为『=±7。+1).............11分

v0+1

令X=0,得J‘N■]，............12分

所以10MQNITTII旦j.

VO-2,v0+1

所以2即一争9,............14分

&_4马+。彳

所以।翱-甘)J,

.2+v3

所以I—r0l=T-

v0+12

所以-1,M—一丁......15分

法二：

由题意直线心斜率存在，且不为0,设直线月尸的方程为j-k(x-2).

............6分

令X-0,得......7分

由二一)’得(4方+3)K：-16》K+16*：-12・0.............8

3x+4r=12,

分

易得d>D・设网跖Jo)<。跖-0)，则Jo—鼠跖-2)，..........9

分

况.…「所以》・齐。......10分

4<*+34/r+3

直线收的方程为.r-&(x+l)...........11分

.，o+1

分

_4k2jt2Q

所以10Ml.|ON|=|-”||灭口H布口卜彳..............13分

所以％2=2,川=2...........14分

468

所以.q-1,M...........15分

(20)(共15分)

解：(I)当左=-1时，/(.、)■\ln(\+l)+x,

所以/5)=ln(:v+l)+」一+l...........2分

r+1

所以/【0)=1...........3分

所以直线7的倾斜角为N.......4分

4

(II)因为/卜)=ln(x+l)+二一人......5分

x+1

所以f(0)=-匕......6分

所以直线i的方程为『--云•,......7分

令网x)=/(D-(-A)=rln(x+l)...........8分

法一：

当-1<K<0时，hi(:v+l)<:0,

所以M(x)・xln(x+l)>0.

当x>。时，13+1)>0,

所以网x)=x旗K+1)>0,..........9分

所以网x)=xln(x+1)>°对x>-1且X/0成立，

即除切点(0,7(0))之外，曲线。在直线i的上方.......10分

法二:

因为b(r)=kKx+l)+」一,

x+l

所以时，ln(K+l)<a-^-<0.^.v)-hXx+l)+—<0

X+lx+l

\>0时，111('+1)>0,上>0，71(.v)-hXv+l)+->0,

x+lx+l

F<x）与歹（K）的变化情况如下表:

A(-1.0)□(0,+a>)

尸（X）-C+

网X）/

..........9分

所以，函数网'）在K=o处取得最小值。，

所以改x）-Kln（x+1）>0对X>-1且rw0成立,

即除切点（0,加0））之外，曲线C在直线i的上方.