2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区某中学九年级（上）开学数学试卷（附答案）

2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区西雅中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各点中，在直线y=3x上的点是（）

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(2,5)

2.菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等C.对角相等D.邻角互补

3.安徽砌山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首.甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨

的平均质量房与方差s2如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选

（）

果篮甲乙丙T

平均质量（克）X450500450500

方差S21.11.11.21.2

A.甲B.乙C.丙D.T

4.将二次函数y=2/的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）

A.y=2(%+2T+3B.y=2(%+2)2-3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(%-2)2+3

5.设一元二次方程--3久+2=0的两根为尤i，x2,则/+久2一%1%2的值为（）

A.1B.-1C.0D.3

6.若力(-3,%)、8(-2,%)、。(一4,%)为二次函数'=(久+2)2-1的图象上的三点，则丫1、丫2、的大小

关系是()

A.y2<yi<y3B.y2<y3<%c.乃<%<力D.yi<y3<y2

7.如图，在平面直角坐标系中，四边形。4BC为菱形，。(0,0),4（2,0）,^OAB—=120°,则顶点8的坐标为

()

A.(3,司

B.(73,3)

0AX

C.(门1)

D.(1,/3)

8.如图，一次函数y=依+b(/cH0)与y=%+2的图象相交于点M(?n,4),则关于％的一元一次不等式依一

2<%-6的解集为()

A.%>4

B.%<4

C.x>2

D.x<2

9.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为％,根

据题意，下面所列方程正确的是()

A.200(1+%)2=242B.200(1-%)2=242

C.200(1+2%)=242D.200(1-2%)=242

10.如图，正方形的顶点4。分别在汽轴，y轴上，点8(3,1)在直线八y=/c%+4上.直线/分别交第

轴，y轴于点E,F.将正方形ZBCD沿y轴向下平移租个单位长度后，点C恰好落在直线/上.则m的值为()

A.0.5

B.1

C.1.5

D.2

二、填空题:本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若二次根式Y7TT有意义，贝卜的取值范围是

12.已知％=1是方程第2—mx+3=。的一个解，则另一个解为久=

13.点(皿九)在直线y=3%-2上，则代数式37n-n+1的值是.

14.如图，在平行四边形ZBCD中，AB=2,BC=4,ZC的垂直平分线交

于点E,则△CDE的周长为.

B处,则小丁此次投掷的成绩是米.

16.一次函数y=kx+6的图象交x轴、y轴分别于点4(2,0),B(0,4),点C,。分别是。4

的中点，点C的坐标为，若P是OB上一动点.当ADPC周长最小时，P的坐标是

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

先化简：先化简，再求值：。一1-士)十串，然后从-3WKW0中选出一个你喜欢的整数作为x的值

'x+ly%+1

代入求值.

18.(本小题6分)

解方程：

(l)x(x—6)=5(6—%)；

(2)2x2-4x-3=0.

19.(本小题6分)

如图，一次函数y=依+6的图象与正比例函数y=2x的图象交于点4(犯2),与y轴的交点为C,与x轴的

交点为£».

(1)若一次函数图象经过点B(—2,-1),求一次函数的解析式；

(2)在(1)的条件下，求△4。。的面积.

20.(本小题8分)

在一次“慈善一日捐”捐款活动中，某中学学生会对该校学生捐款进行随机抽样调查和分组统计，将数据

整理成以下统计图(信息不完整).

捐款人数条形统计图捐款人数扇形统计图

组别组别捐款数Q)元

A%<10

B10<x<20

C20<x<50

D50<x<100

Ex>100

请结合以上信息解答下列问题:

(1)本次调查的样本容量是;

(2)样本中捐款数50<%<100的学生有人，并补全图中的捐款人数条形统计图；

(3)若该校共有1600名学生，根据以上信息估计全校捐款超过50元的人数是多少？

21.(本小题8分)

如图，在平行四边形A8CD中，P是4B上一点(不与点4,B重合)，CP=CD,过点P作PQ1CP,交4。于点

Q,连接CQ,乙BPC=4AQP.

(1)求证：四边形4BCD是矩形；

(2)当AP=3,4D=9时，求力Q和CQ的长.

22.(本小题9分)

已知关于光的一元二次方程？n/+2(m+l)x+m-1=。有两个不相等的实数根.

(1)求ni的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为/、%2,且就+底=8,求小的值.

23.(本小题9分)

某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y(件)与销售单价式(x为正整数

)(元)之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量

为80件.

(1)求y与尤的函数关系式；

(2)如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为卬元，求w与x之间的函数

关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？

24.(本小题10分)

若关于久的方程有一个解为x=1，那么称这样的方程为“明一方程”.例如方程：%2-%=0有解x=1,所

以——乂=0为“明一方程”.

(1)下列方程是“明一方程”的有;

①2%-2=0；

②2/+%—1=0；

③|久-2|=L

(2)已知直线丫=kx+b与％轴交于点4与y轴交于点B,ShA0B=6,且当y=3时，关于x的方程y=左久+

b为“明一方程”，求该直线解析式；

(3)已知%],与为"明一方程”a久之++c=0(a,6,c为常数，且a>6>c)的两个根，试求％-久的取

值范围.

25.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+m久+n经过点4(3,0),B(0,-3)两点，点P是直线4B上一动

点，过点P作％轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点M设点P的横坐标为t.

(1)分别求直线AB和这条抛物线的解析式；

(2)右SABPO—2S^APN，求此时点P的坐标；

(3)是否存在这样的点M,使得以4、B、M为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点”的坐标；若不存

在，请说明理由.

参考答案

1.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.4

8.C

9.A

10.B

11.x>—1

12.3

13.3

14.6

15.7

16.(l,0)(0,1)

2

157.h解Tl：，«3、X+2X

x2—13、x+l

=(z---------)•----

vx+lx+lyX2+2X

_%2—4x+l

x+lX2+2X

_(x+2)(%—2)%+l

x+lx(x+2)

_x—2

=--，

x

V-3<%<0且％为整数,

x=-3,—2,—1,0

又,•，%W0,—1,—2,

•••当％=—3时,

原式=5

3

18.解：(1)x(%—6)=5(6—%),

—6)+5(%—6)=0,

(%—6)(%+5)=0,

x—6=0或X+5=0,

所以%1=6,外=一5；

(2)2%2-4%-3=0,

2□3

xz-2%=

(久-1)2=

19.解：(1)•••点4(m,2)在y=2x图象上，

2=2m,解得：m=1.

・•・2(1,2)

•・・点/(1,2)和点8(—2,—1)在丫=依+b图象上,

.(2=k+b

At-l=-2fc+6，

解得：｛£=;，

3=1

・•・一次函数解析式为：y=%+L

(2)如图，过/作4E1%轴于巴

,•,一*次函数解析式为：y=%+l,

.・.y=0时，0=汽+1,解得％=—1,

・••点0坐标为(-1,0),

OD=1,

•••4(1,2),

AE=2,

•••S“OD=^OD-AE=^x1x2=1.

20.(1)50；

(2)。类的人数是:50x28%=14(人),

(3)捐数值不少于50元的学生人数是：1600X罗=448(人).

答：捐数值不少于50元的学生约有448人.

21.(1)证明：vZ-BPQ=^BPC+Z.CPQ=+zXQP,乙BPC=(AQP,

・•・乙CPQ=NA,

•・•PQ1CP.

••・乙4=Z.CPQ=90°,

・・・平行四边形ZBCD是矩形;

(2)解：•・・四边形ABCO是矩形,

ZD=(CPQ=90°,

在△CDQ^WRt△CPQ中,

(CQ=CQ

lCD=CP'

・•・Rt△CDQ三Rt△CPQ(HL),

DQ=PQ,

设/Q=x,则DQ=PQ=9—

在RM/PQ中，AQ2+AP2=PQ2,

•••%2+32=(9—%)2,

解得：x=4,

・•・AQ的长是4.

设CD=48=CP=y,贝lJPB=y—3,在R£zXPC8中，根据勾股定理列方程，(y-3/+9?=y2求出y=

15.

DQ=9-4=5,

在R%CDQ中，CQ=V52+152=5/10.

22.解：⑴由题知，

[2(m+l)]2—4xmx(m—1)>0,

解得772>—

又mH0,

所以zn的取值范围是6>-4且znW0.

(2)因为该方程有两个实数根分别为第1、%2,

所以％+上=一2m+2771—1

1Xi%?—•

-TYI〜“m

又好+蜷=8,

2

即(%1+%2)—2%I%2=8,

所以(_迦±与2一2x9=8,

vy

mm

解得恤=2,m2=

经检验7nl=2,m2=一,是原方程的解.

又m>—，且znW0,

所以zn=2.

23.解：(1)设y与％的函数关系式y=kr+b,由题意，得

140=55fc+h

80=70k+b

解得:仁就，

・•.y与'的函数关系式为：y=—4%+360；

(2)由题意，得

W=y(x-40)—y

=(~4x+360)(%-40)-(-4x+360)

=-4x2+160%+360x—14400+4x—360

=-4x2+524%-14760,

.­.w与x之间的函数关系式为：W=-4x2+524%-14760,

W=—4(/-131%)―14760=-4(%-65.5)2+2401,

当x=65.5时,最大利润为2401元,

•••久为整数，

.♦・x=66或65时，〃=2400元.

•••%=65或66时，MT最大=2400元.

24.解：(1)①③；

(2)由题意，•.・当y=3时，关于久的方程y=kx+6为“明一方程”，

二当y=3时，%=1.

k+b=3.

k=3—b.

又直线y=kx+b与x轴交于点4,与y轴交于点B,

h

・•・/(—，0),8(0,b).

K

；•S“OB=；。4・OB=：x|一白x网=6.

・•・b2=12\k\.

又k=3-b,

.・.b2=12|3—b\.

•••b=—6±6y/~2^b=6.

./=9一6%或3=9+6咚或(=13.

3=-3+6<2b=-3-6/25=6

・•・直线解析式为y=(9-6<2)x-3+6形或y=(9+6/2)%-3-6度或y=-3%+6.

(3)由题意，••・a/+取:+。=0为“明一”方程，

・,・方程必有一个根是久=1.

•••a+b+c=0.

又•・,a>b>c,

/.a>0,c<0,且a>—a—c>c,

：--2<-<

a2

犯为"明一方程"Q久之+b%+c=0的两个根,

・•.其中一个是汽=L而另一个为％=£<0.

a

3

•••2<%-乂21<3・

25.解：(1)设直线A8的解析式为y=kx+b,

将4(3,0),B(0,-3)代入得，

13k+b—0

l0+b=-3'

解得仁:

・•・直线48的解析式为y=x-3,

将A(3,0),8(0,—3)代入y=%2+mx+九得，

(9+3m+n=0

1几=—3

解得｛:二二，

抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)设P(t,t—3),M(t,t2-2t-3),N(t,O),

则AN=3-t,PN=3-t,

当0<t<3时，

'''S^BPO=2S“PN，

11

—x3xt=—x2x(3—t)(3—t)9

整理得2产-151+18=0,

ti=|，t2=6(舍去)，

33

•・飞，-力

当t>3时，

・，S^BPO=2S&APN，

1I

—x3xt=—x2x(^t—3)(t—3),

整理得2户一15t+18=0,

=|(舍去)或％=6；

・•・尸(6,3),

当t<。时'S^BPO<S&APN，

・••不存在，

综上所述：P(|，-1)，P(6,3);

(3)设M(a,a?—2a—3),

①如图，当NH4M=90。时，

如图，过/作GH〃y轴，作MG1G",BH1GH,贝！UMGA==90。,

•••4(3,0),8(0,-3),

•••MG=3—a,AG=a2—2a—3,AH=3,BH