北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 单元基础卷 （含答案）

第1章《勾股定理》（单元基础卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下面各组数中，是勾股数的是（)

A.9,16,25B.0.3,0.4,0.5C.1,3,2D.7,24,25

2.如图，在4X4的正方形网格中（每个小正方形边长均为1）,点A,B,C

在格点上，连接AB,AC,BC,则4ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

3.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点D与点

B重合，折痕为EF,则BE的长为（）

A.6cmB.9cmC.4cmD.5cm

4.如图，若圆柱的底面周长是14cm,高是48cln,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一

则这条丝线的最小长度是（)

B.50cmC.54cmD.64cm

5.如图，直线上有三个正方形，若a,c的面积分别为5和H,则b的面积为

()

6.如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”.如果

大正方形的边长为9,那么小正方形的边长为()

7.《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈,

葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”大意是；

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它

高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的

水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方

程为()

A.x2+52=(x+1)2B.x2+102=(x+1)2

C.x2-52=(x-1)2D.x2-102=(x-1)2

8.我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其

中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？(注丈、尺是长度单位，

1丈=10尺)意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有

一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰

好碰到池边的水面.则这根芦苇的长度是()

A.5尺B.10尺C.12尺D.13尺

9.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C

的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子

10.如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C,DBLMN卡

D,C、D两点相距5km,已知C4=1km,DB=3km.现要在CD上建一个社区服务站

E,使得A、B两社区到E站的距离相等，则CE的长是（）

km.

MeEDN

A.2B.3.3C,2.5D.2.8

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.Rt^ABC中，三边分别是a,b,c,斜边c=3,则a?+b2+c2的值为

12.如图，在AABC中，ZACB=90°,以它的三边为边分别向外作正方形，面

积分别为Si，S2,S3,已知Si=5,S2=12,则S3=.

13.已知AABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则AABC的面积是

______cm2.

14.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观

察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：

勾为奇数，弦与股相差为1,柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾

股数，如：6,8,10；8,15,17；…，若此类勾股数的勾为2m（m》3,m为正

整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）.

15.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,若AB=7,则正方形ADEC和正方形BCFG

的面积和是

16.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的

词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离

地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索0A悬挂于。点，静止时竖直下垂，A

点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）.将它往前推进两步（EBL0C

于点E,且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD=CE=5

尺），则秋千绳索（OA或OB）长尺.

17.如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的.已知正方形ABCD

的面积为25,正方形EFGH的面积为1,若用x、y分别表示直角三角形的两直

角边（x>V）,下列三个结论：

①/+/=25；②x-y=l；③肛=12.其中正确的是_.（写出所有正确结

论的序号）

18.一根直立于水中的芦节(BD)高出水面(AC)2米，一阵风吹来，芦苇的顶

端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC=6米，水的深度(AB)为

米

三、解答题(本大题共6小题，共60分)

19.(8分)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从

点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C,设运动时间为秒.

(1)求BC的长;

(2)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t,使得点P到边AB的距离

与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

A

BC

20.(8分)观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；-；

a、b、c.根据你发现的规律，回答下列问题：

(1)。=17时，求6、c的值；

(2)。=2〃+1时，求6、c的值.

21.(10分)如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板(直角边分别为a,b,斜

边为c).

(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定

理.

(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼

出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理.

22.（10分）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度。£=0.6m,

将他往前推送2.4m（水平距离80=2.4111）时，秋千的踏板离地的垂直高度

BF=\.2m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度.

23.(10分)有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海港,

且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km,又AB=500km,以

台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长？

24.（12分）在aABC中，N4CB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发,

沿射线BC以Icm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当4ABP为直角三角形

参考答案

一、单选题

1.D

【分析】

满足的三个正整数，称为勾股数，据此依次判断即可.

解:A.•••92+16、25，...不是勾股数，不符合题意；

B.V0.3,0.4,0.5不是正整数，，不是勾股数，不符合题意；

C.二+2%32,.•.不是勾股数,不符合题意；

D.:72+242=252,.•.是勾股数,符合题意.

故选：D.

2.B

【分析】

根据勾股定理求出AB、BC、AC,再根据勾股定理的逆定理计算可得出结

论.

解：由题意得：AC2=l2+22=5,AJB2=22+42=20,5C2=32+42=25,

,/5+20=25,

/.AC1+AB'=BC2,

/.ZBAC=90°,

/.V/BC为直角三角形.

故选：B.

3.D

【分析】

根据折叠的性质可得BE=ED,设AE=x,表示出BE=9-x,然后在Rt/XABE

中，利用勾股定理列式计算即可得解.

解：...长方形折叠点B与点D重合,

/.BE=ED,

设AE=x,则ED=BE=9-x,

在RtAABE中，AB-+AE2=BE2,

即3?+/=（9-x）2,

解得x=4,

.,.AE的长是4cm,

/.BE=9-4=5(cm),

故选：D.

4.B

【分析】

要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果,

在求线段长时，借助于勾股定理.

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD,

则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，这条丝线的最小长

度是长方形的对角线AB的长.

,圆柱的底面周长是14cll1,高是48cH1,

.,.AB2=142+482=196+2304=2500,

.'.AB=50(cm).

故选B.

5.B

【分析】

运用正方形边长相等，根据“AAS”证明△ACBZ^DCE,结合全等三角形和

勾股定理即可得出答案.

解：•.,a、b、c都是正方形，

.\AC=CD,ZACD=90°；

ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,

.\ZBAC=ZDCE,

VZABC=ZCED=90°,AC=CD,

/.AACB^ADCE(AAS),

/.AB=CE,BC=DE,

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=Sa+Sc=ll+5=16,故B正确.

【分析】

根据正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4S4ABE=9,求9的算术平方

根即可得到结论.

解:如图,

;正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4S/sABE=92-4X18=9,

正方形EFGH的边长=3,

故小正方形的边长为3,

故选：C.

7.C

【分析】

首先设芦苇长X尺，则水深为(XT)尺，根据勾股定理可得方程(XT)2+

52=x2.

解：设芦苇长x尺，由题意得：

(x-1)2+52=x2,

即X2-52=(X-1)2

故选：C.

8.D

【分析】

依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为

5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案.

解：设水深x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺，

依题意，由勾股定理，得：X2+52=(X+1)2,

解得x=12,

所以芦苇的长度为13尺.

故选D.

9.B

【分析】

要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得

AC和CE的长即可.

解：：在RtZXACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4,

/.AC=2米，

VBD=O.9米，

/.CD=BD+BC=O.9+1.5=2.4(米)，

V^RtAECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

/.EC=O.7米，

，AE=AC-EC=2-0.7=1.3(米)，故B正确.

故选：B.

10.B

【分析】

设CE=xkm,则。E=(5-x)km,再根据勾股定理分别可得/炉]攵，然后根

据4岁=8炉建立方程，解方程即可得.

解：由题意，设CE=xkm,则£»E=CD-CE=(57)km,

CA1MN,DB1MN,CA=1km,DB=3km,

AE-=CA2+CE2=(l+x2)km2,BE2=DB2+DE2=[9+(5-x)2]km2,

・・・/、8两社区到E站的距离相等，

/.AE=BE,

AE2=BE2,BP1+x2=9+(5—x)2,

解得x=3.3,

即C£=3.3km,

故选：B.

二、填空题

n.is

【分析】

22222

先由勾股定理求得a2+b=c=9,然后求得a+b+c的值.

解：:.△ABC为直角三角形，斜边c=3,

a2+b2=c2=22=9,

a2+b2+c2=9+9=18,

故答案为:18.

12.17

【分析】

根据勾股定理即可得到结论.

解：VZACB=90°,Si=5,S2=12,

/.AC2=5,BC2=12,

.,.AB2=AC2+BC2=5+12=17,

.,.S3=17,

故答案为：17.

13.24

【分析】

由勾股定理的逆定理得出AABC是直角三角形，ZB=90°,AABC的面职为

^ABxBC即可得出结果.

解：VAB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

.\AB2+CB2=100=AC2,

.二△ABC是直角三角形，且NB=90°,

.二△ABC的面积是gxN3x3C=gx6x8=24(cm2),

故答案为:24.

14.m2+l

【分析】

2m为偶数，设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结

论.

解：：2m为偶数，

•••设其股是a,则弦为a+2,

根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2,

解得a=m2-l,

...弦长为m2+l,

故答案为:m2+l.

15.49

【分析】

小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方.两正方形面积

的和为AC2+BC2,对于Rt^ABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.AB长度已知，故可

以求出两正方形面积的和.

解：正方形ADEC的面积为：AC2,

正方形BCFG的面积为：BC2；

在Rt/XABC中，AB2=AC2+BC2,AB=7,

则AC2+BC2=49.

即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49.

故答案为:49.

29

16.y

【分析】

设OB=OA=x(尺)，在RtaOBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题.

解：设OB=OA=x（尺），

在RtaOBE中，0B=x,0E=x-4,BE=10,

x2=102+（x-4）2,

._29

•*x=~，

90

•••OA或OB的长度为了（尺）.

故答案为：—.

17.①②③

【分析】

根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股

定理解答即可.

解：:.△ABC为直角三角形，

，根据勾股定理得：x2+y2=AB2=25,故①正确；

由图可知，x-y=EF,即为小正方形的边长，

•.•正方形EFGH的面积为1

/.EF=1,

.*.x-y=l,故②正确；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的

面积，

即4x；xxy+1=25,

；.xy=12,故③正确.

，正确结论有①②③.

故答案为：①②③.

18.8

【分析】

先设水深x米，则AB=x,则有BD=AD+AB=x+2,由题条件有BD=BC=x+2,又

根据芦节直立水面可知BD,AC,则在直角AABC中，利用勾股定理即可求出

X.

解：设水深X米，则AB=x,

则有：BD=AD+AB=x+2,

即有：BD=BC=x+2,

根据芦节直立水面，可知BDLAC,且AC=6,

则在直角△ABC中：AB2+AC2=BC2,

即：x2+62=(x+2)2,

解得x=8,

即水深8米，

故答案为8.

三、解答题

19.

(1)解:「在AABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,

BC=^AB2-AC2=8cm；

⑵解:如图所示,过点P作PD_LAB于D,

由题意得3O=tcm,则尸Z)=PC=BC-8P=(8-27)cm,

在Rt/XADP和RtAACP中，

[PD=PC

[AP=AP'

ARtAADP^RtAACP(HL),

AD=AC=6cm,

BD=AB-AD=4cm,

在RtZXPBD中，BP2=PD2+BD2,

：.(2/)2=(8_2/)2+42,

解得"g.

A

20.

解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1,即。-6=1

"/a=17,a2+b2=c2,

.\172+62=(/)+l)2,

二b=144,

c=145.

(2)通过观察知c-b=l,

*；(2n+l)2+fe2=c2,

C2-&2=(2H+1)2,

(C+/>)(C-/>)=(2M+1)2,

.■+6=(2〃+1)2,

•：c-b=\,

：.2ft+l=(2«+l)2,

b=2n2+2n,c=In1+2«+l.

21.

(1)解：、•四边形ABCD是梯形，

J梯形的面积=}(a+b)(a+b)=2XyXab+yc2,

即:(a2+2ab+b2)=ab+yc2,

/.a2+b2=c2；

⑵如图所示，可以证明a2+b2=c2.

ba

3

c

验证：大正方形的面积=4X：ab+(b-a)2

大正方形的面积=。2,

/.4Xyab+(b-a)2=c2,

整