【课件】冀教版九年级数学下册3052用二次函数的图像解一元二次方程课件（27张）

30.5二次函数与一元二次方程的关系第三十章二次函数第2课时用二次函数的图像解

一元二次方程逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2利用二次函数的图像解一元二次方程利用二次函数的图像解一元二次不等式课时导入一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根.温故知新知识点利用二次函数的图像解一元二次方程知1－讲感悟新知1利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像；(2)确定二次函数的图像与x轴交点的个数，看交点的横坐

标在哪两个整数之间；知1－练感悟新知动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象xyy＝x2－2x－3知1－练感悟新知探究：图像与x轴的交点坐标是什么？函数y＝x2－2x－3的图像与x轴两个交点为(－1，0)(3，0)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1,x2

＝3

你发现了什么？(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是

当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(2)二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.方法提醒估计一元二次方程的解的方法：在难以读出公共点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解，对于y=ax2+bx+c

（a≠0），若ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，则在x1与x2之间存在一个解，取x3=若ax23+bx3+c>0，则取x4=若ax23+bx3+c<0，则取x4=这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.知1－讲感悟新知知1－练感悟新知解：如图

，画出二次函数y＝x2－2x－6的图像.

求方程x2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)观察画出的抛物线，设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2，不妨设x1＜x2.现在来求x1的近似值.例1知1－练感悟新知容易看出：当x＝－2时，y＞0；

当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内，

y随x的增大二减小，所以－2＜x1＜－1(2)取－2和－1的中间数－1.5(中间数为)，

代入表达式中试值

当

x＝－1.5时，y=(－1.5)2－2×(－1.5)－6＝－0.75＜0；当x＝－2时，y＞0；在－2＜x＜－1.5范围内，y随x的增大而减小，

所以－2＜x1＜－1.5知1－练感悟新知(3)取－2和－1.5的中间数－1.75，代入表达式中试值.当

x＝－1.75时，y=(－1.75)2－2×(－1.75)－6

＝0.5625＞0；

当x＝－1.5时，y＜0.在－1.75＜x＜－1.5范围内，y随x的增大而减小，

所以－1.75＜x1＜－1.5.知1－练感悟新知(4)取－1.75和－1.5的中间数－1.625，代入表达式中试值.当

x＝－1.625时，y=(－1.625)2－2×(－1.625)－6

＝－0.109375＜0；

当x＝－1.75时，y＞0.在－1.75＜x＜－1.625范围内，y随x的增大而减小，

所以－1.75＜x1＜－1.625.x1≈－1.7即为精确到0.1的近似值.知1－练感悟新知例2解：先把方程化成x2＝－2x＋3.

如图，在同一直角坐标系中

分别画出函数y＝x2和y＝－2x＋3的图像，得到它

们的交点为(－3，9)和(1，1)，

则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.

利用函数的图像，求方程x2＋2x－3＝0的根．知1－讲归纳感悟新知

利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤：(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图像；(3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情

况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋c＝0的根．感悟新知知1－练

1求例题中x2精确到0.1的近似值.解：如图

，画出二次函数y＝x2－2x－6的图像.观察画出的抛物线，现在求x2的近似值．(1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.感悟新知知1－练(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值．

当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0；

当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值．

当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.5625＞0；

当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范围内，y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜3.75.感悟新知知1－练(4)取3.5和3.75的中间数3.625代入表达式中试值．

当x＝3.625时，

y＝3.6252－2×3.625－6＝－0.109375＜0；

当x＝3.75时，y＞0.在3.625＜x＜3.75范围内，

y随x的增大而增大，∴3.625＜x2＜3.75.∴可取x2≈3.7为精确到0.1的近似值．

2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一元二

次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为(

)A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3D．x1＝－1，x2＝3知1－练感悟新知D知识点利用二次函数的图像解一元二次不等式知2－讲感悟新知2

根据图像可直观地回答使得y的值大于、等于或小于零时x的取值(范围)，具体如下表所述：知2－讲感悟新知图像函数值自变量的取值(范围)y＞0x＜x1或x＞x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2知2－讲感悟新知

画出抛物线y＝－x2＋4x＋5，观察抛物线，

回答下列问题：(1)x为何值时，函数值y＞0?(2)x为何值时，函数值y＝0?(3)x为何值时，函数值y＜0?导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x轴和y轴的交点，当函数值y＞0时，对应图像上的点在x轴上方；当函数值y＝0时，对应图像上的点位于x轴上；当函数值y＜0时，对应图像上的点在x轴的下方．例3知2－讲感悟新知解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝

－(x－2)2＋9.∴抛物线的顶点坐标

为(2，9)，对称轴为直线x＝2.

令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－1.∴抛物线与x

轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．

令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的

交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图

象．观察图像会发现：(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0知2－讲归纳感悟新知(1)作抛物线y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五点法”，

而这“五点”一般为抛物线顶点，与x轴的两交点，与y

轴的交点及它关于对称轴的对称点．(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，

一般要画出二次函数的图像，观察图像解答，抛物线

在x轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x

轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x轴的

公共点，对应的函数值等于0.知2－练感悟新知例4

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴

为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图像如图所示，则下列结

论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，

则y1＜y2.正确结论

的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．4C知2－练感悟新知导引：观察图像可知二次函数对应的一元二次方程有两个

不相等的实数解，所以Δ＝b2－4ac>0，即4ac－b2<0，故①正确；因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，

所以－

＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正确；

由二次函数图像的对称性可知抛物线与x轴的另一

个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y

＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；由于二次函数在对

称轴两侧的增减性不一样，当x1<x2<－1时，y1<y2；

当－1<x1<x2时，y1>y2；当x1＜－1＜x2且－1－x1＝