2024年上海市中考数学一轮复习：特殊三角形 综合检测过关卷（解析版）

专题10特殊三角形综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1.如图，A,3为4x4方格纸中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得

为等腰三角形，则点C的个数为（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定

是解题的关键.

【详解】①当A3为腰时，如图，

②当为底边时，点C无格点，

综上可知：一为等腰三角形，则点C的个数有8个,

故选：B.

2.如图，已知每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C,使

ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）

--------------1-------------———

1

1

1

1

1

1

_____

1

L___jA'fL■■■J

1

1

1_______

1

1

1

1

B

A.8个B.7个C.6个D.5个

【答案】A

【分析】当AB为底时，作的垂直平分线，当A5为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作

弧，分别找到格点即可求解.

【详解】解：当为底时，作A8的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，

当AB为腰时，分别以A、8点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；

，这样的顶点C有8个.

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

3.如图，在ABC中，AB^AC,/BAC=108。，点。在AC的垂直平分线上，AE平分/A4D,则

图中等腰三角形的个数是（）

【答案】D

【分析】根据题意可得AB=AC,进而可得NB=NC,得出/3=NC=36。，根据垂直平分线的性质可得

AD=CD,进而得出/84。=108。-36。=72。，根据角平分线的定义得出NA4E=ND4E=36。，进而可得

AE=BE,ZAED=ZADE,得出=ZCAE=ZAED=72°,得出C4=CE,进而即可求解.

【详解】解：在.ABC中，AB=AC,

「ABC是等腰三角形；

:.NB=NC,

ZBAC=108°,

/.ZB=ZC=36°,

点。在AC的垂直平分线DF上，

:.AD=CD,

.・..AOC是等腰三角形；

.*.ZZMC=ZC=36°,

.•.ZBAD=108°-36°=72°,

AE平分NBA。，

,\ZBAE=ZDAE=36°,

:.ZBAE=ZB,

:.AE=BEi

.—AEB是等腰三角形；

ZAED=NBAE+ZB=笆,ZADE=ADAC+AC=72°,

:.ZAED=ZADE,

AE=AD,

「ADE是等腰三角形；

ZBAD=ZADE=12°f

.BA=BD,

」.AB。是等腰三角形；

ZCAE=ZAED=72°,

CA=CE,

C4E是等腰三角形，

综上所述，等腰三角形有-ABC,ADC,_AEB,ADE,^ABD,CAE共6个，

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟

练掌握以上知识是解题的关键.

4.如图，BD是ABC的平分线，ZA=36°,ZABC=72°,交AB于E,则图中等腰三角形的个

数是（）

B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理判定,ABC为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边

来找图中的等腰三角形.

【详解】解：：在.ABC中，/A=36?,NABCT1H,

：.ZABC=NC=72°,

/8。为—ABC的平分线，

ZCBD^ZABD=-ZABC=36°,

2

*.ZCDB=180°-36°-72°=72°,

/DE//BC,

ZA£D=ZABC=NADE=NC=72°,2DBC=NEBD=NEDB=36,

；NABC=/C=7^,

,•ABC是等腰三角形；

NADE=NAED=71,

△WE是等腰三角形;

Z£>BA=ZA=36°,

，,ABD是等腰三角形；

,/ZEBD=ZEDB=36°,

.DBE是等腰三角形；

,/ZBDC=ZC=72°,

.BCD是等腰三角形；

综上，等腰三角形共有5个；

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定.角的等量代换的运用是正确解答本题的关键.

5.如图，在」1BC中，ZB=ZC=36°,D,E是边BC上的两点，且有NADE=/AED=72。，则图中等

腰三角形的个数是（）

A.2B.6C.5D.7

【答案】B

【分析】根据等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理逐一判断即可.

【详解】解：'：ZB=ZC=36°,ZADE=ZAED=72°,

」.△ABC和4ADE都是等腰三角形，ZDAB=ZADE-ZB=36°,ZEAC=ZAED-ZC=36°,

/.ZDAB=ZB,ZEAC=ZC,

ADAB和AEAC都是等腰三角形，

*/ZB+ZBEA+ZBAE=180°,ZC+ZCDA+/CAD=180°,

ZBAE=180°-ZB-ZBEA=72°,ZCAD=180°—NC—ZCDA=72°,

.\ZBAE=ZBEA,ZCAD=ZCDA,

ABAE和ACAD都是等腰三角形，

综上：共有6个等腰三角形.

故选B.

【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，掌握等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理是

解决此题的关键.

6.如图，在AABC中，ZB=ZC=40°,D,E是BC上的两点，且NADE=/AED=80。，则图中共有等

腰三角形（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【分析】由三角形的外角性质可求/BAD,/EAC的度数，由等腰三角形的判定可求解.

【详解】解:

,/ZB=ZC=40°,ZADE=ZAED=80°,

AABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，

VZADE=ZB+ZBAD,

.\ZBAD=ZADE-ZB=40°,

ZB=ZBAD,

.•.△ABD是等腰三角形，

同理可求/EAC=ZC=40°,

...△AEC是等腰三角形，

,图中共有等腰三角形4个，

故选B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，求出各角的度数相等，然后得到相等的角是解题的关键.

7.如图，ZABC.NACB的平分线相交于点孔过点尸作。E〃3c交于点。，交AC于点E.下列结

论：①SDF、一CEF都是等腰三角形；@DE=BD+CE,③VADE的周长等于AB+AC,其中正确的是

A

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的定义，熟练掌握等角对等边是解答本

题的关键.①根据角平分线的性质、平行线的性质可证V瓦用是等腰三角形，同理也是等腰三角

形；②根据等量代换即可判定；③根据等量代换即可判定.

【详解】解：①：的是/ABC的角平分线

ZABF=NCBF

又：DE//BC

：.NCBF=NDFB

：.ZABF=ZDFB

：.DB=DF,即NBDF是等腰三角形，

同理可得△CEF是等腰三角形，故①正确；

②•；NBDF是等腰三角形，

，DB=DF

同理：EF=EC

：.DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；

③：DF=BD,EF=EC

，VADE的周长为AD+OE+AE=AD+DF+AE+EF=/1D+3O+AE+CE=AB+AC,故③正确；

故选D.

8.如图，在四边形A3CD中BC=DC,乙4=60。，点E在AD上，连接3。，CE相交于点F

CE〃AB.若CE=9,则CT的长为（）

A

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题

的关键.连接AC交8。于点O,由题意可证AC垂直平分3Z）,AABD,DEF是等边三角形，△AEC是

等腰三角形，作差计算即可.

【详解】解：连接AC交于点。，

AB=AD=12,BC=DC,ZA=60°

二AC垂直平分80,△相£>是等边三角形，ZCAB=ACAD=-ABAD=30°,

2

ZADB=60°,

,；CE〃AB,

：.ZBAD=ZDEF=60°,ZCAB=ZACE=ZCAD=30°

DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形，

/.DE=EF=AD-AE=3,AE=CE=9,

：.CF=CE-EF=6.

故选C.

9.如图，等边一ASC的边长为3,点P是AC边上的一个动点，过点尸作于点延长CB至点

Q,使得BQ=AP,连接PQ交A2于点E,则DE之长为（）

D,

P

QBC

35

A.1B.—C.2D.一

22

【答案】B

【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；由

60。角可尝试作平行线构造等边三角形，接着证明全等是解决本题的关键.过点尸作尸尸〃3c交于点

F,先证明，AFP是等边三角形，再证明EFP^EBQ,得出E尸=8E=；BF,根据POLAB可得

DF=^AF,最后根据AE=EF+DF求解即可.

【详解】解：过点尸作P/〃BC交AB于点R

ZFPE=ZQ,

ABC是等边三角形，

ZA=ZABC=ZC=60°,

:.ZAFP=ZABC=6O°,ZAPF=ZC=60°,

:.ZA^ZAFP^ZAPF=6O°,

.•...47是等边三角形，

:.FP=AP,

BQ=AP,

:.FP=BQ,

在4EFP和NEBQ中，

/FPE=ZQ

</FEP=NBEQ,

FP=BQ

EFP空£BQ（AAS）,

：.EF=BE=-BF,

2

PD±AB,

:.DF=-AF,

2

ii3

.,DE=EF+DF=-（BF+AF）=-AB=-,

故选：B.

10.如图，已知_ABC和-CD石都是等边三角形，且A、C、E三点共线，AD与BE交于点O,AD与BC

交于点尸，BE与CD交于点、Q,连接PQ.有以下五个结论:

①AD=BE；②ZADB=60。；③AP=8Q；④APCQ是等边三角形；⑤尸。〃AE.其中正确结论的个数

是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由等边三角形的性质，易证ACD^BCE（SAS）,即可判断①结论；根据全等三角形的性质，到

ZCAD=ZCBE,再由三角形内角和定理，得出/4。3=60。，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结

论；证明,ACP丝,3CQ（ASA）,即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可

判断④结论：根据等边三角形的性质，得出NACP=NCPQ=60。，即可判断⑤结论；

【详解】解:MC和，CDE是等边三角形，

:.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6O°,

/.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

:.NACD=NBCE,

在/ACD和BCE中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

ACD^BCE(SAS),

:.AD=BE,①结论正确；

ACD-BCE,

:.NCAD=NCBE,

ZAPC=ZBPO,

:.ZAOB=1SO°-ZCBE-ZBPO=1SQ°-ZCAD-ZAPC=ZACB=60°,

NAO5是50。的外角，

:.ZAOB=ZADB+/DBO,

.\ZADB=ZAOB-ZDBO<60°f②结论错误；

ZPCQ=180。—ZACB-ZDCE=60°,

/.ZACB=ZPCQ,

在△ACP和/XBCQ中，

ZCAP=ZCBQ

<AC=BC,

ZACP=ZBCQ

[ACP空gCQ(ASA),

.•.AP=3Q,③结论正确；

•.・△ACPdBCQ,

:.CP=CQf

又NPCQ=60。，

・••.PC。是等边三角形，④结论正确；

/.ZCPQ=60°,

/.ZACP=ZCPQ=60°,

'.PQ//AE,⑤结论正确；

即正确结论的个数是①③④⑤，共4个，

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外

角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）

11.如图，在等腰三角形中，AB=AC,。为3C延长线上一点，EC±AC^AC=CE,垂足为C,

连接班，若贝hBCE的面积为.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于过E作

EF/5C于尸，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.

【详解】解：过A作于过后作石尸工区。于R

:.ZAHC=NEFC=90。,

ZCAH+ZACH=90°,

VAB=AC,BC=6,

：.BH=HC=3,

・・・NACE=90。，

・•・ZACH+/ECF=90。,

:・NECF=NCAH,

在/ACH与△CEF中，

/AHC=NCFE

<ZCAH=ZECF,

AC=CE

；・_ACH均CEF,

：.EF=CH=3,

，_3CE的面积=」BC・EF=』x6x3=9.

22

故答案为:9.

12.如图，—ABC中，ABAC=90°,AB=AC,8。平分/ABC,CE1.BD交3D延长线于E.若△BCD

的面积为8,则CE=.

【答案】2&

【分析】首先可证明A4CFMA4BD,可知3D=CF,只要证明=3尸，由等腰三角形的性质即可证明

BD=2CE.再根据SBCD=；B"CE=8,则;X2CE-CE=8,即可求解.

【详解】证明：如图，延长CE、54相交于尸，

ZBAC=90°,CELBD,

:.ZABD+ZF=90°,ZACF+ZF=90°

:.ZACF=ZABD,

在△ACF和△ABD中，

ZCAF=ABAD=90°

<ZACF=NABD,

AC=BC

:..ACF^..ABD（ASA）,

:.BD=CF,

,?BD平分NABC,

：.ZABD=NCBD,

BE±CF,

:.ZBEC=ZBEF=90°,

.NCBD+ZBCE=90。,ZABD+ZF=90°f

:.ZBCF=ZFf

:.BC=BF,

BE1.CF,

：.CE=EF,

BD=2CE.

SBCD=|BDCE=8,

-x2CECE=8,

2

•*-CE=2亚.

故答案为：2夜.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的

关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型.

13.如图，已知ABC中，AB=AC,AZ）为高，BE为中线，AD与班相交于点。，若3C=6,

AD=7,则"OE的面积为.

【答案】3.5

【分析】根据三角形的中线的性质和重心的性质以及利用三角形的面积公式解答即可.

【详解】解：MC中，AB=AC,为高，BE为中线，BC=6,AD=1,

718。的面积='贸*池=21,

2

121

:._ABE的面积=-AABC的面积=—,

ABC中，AB=AC,AD为高，BE为中线，

为一ABC的重心,

1121

AOE的面积=]ABE的面积=§、另=3.5.

故答案为：3.5.

【点睛】此题考查三角形的重心，关键是根据三角形的中线的性质解答.

14.如图，―ABC和△ADC都是等边三角形，点E,厂分别在边BC和CO上，且ZE4F=60。，若的

周长最小时，则的大小是.

【答案】30。/30度

【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的

性质证明uAECqAED,得因为㈤F=60。，所以△AEF是等边三角形，贝U当AEL8c时，

的周长最小，止匕时N54E=2NB4C,即可作答.

2

【详解】解：：ABC和△ADC都是等边三角形，S.AC=AC,

：.AABC咨AADC,

则/54C=〃AC=60。，AD=AC,ZACB=ZADC=60°,

,/ZEAF=60°,

：.ZEAC=ZFAD,

：.一AEC空AFD(ASA),

AE=AF,

,/ZE4F=60°,

△AEF是等边三角形，

则△AEF的周长=3AE,

.•.当AE_LBC时，AE有最小值，

:等边三角形的三线合一，

ABAE=-ABAC^3Q0.

2

故答案为：30°.

15.如图，ABC与V45C1是全等的两个等边三角形，AB,4在同一条直线上，。为线段3^上一动

点，若45+CD的最小值为5,则等边三角形A3C的边长为

【答案】|

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，连接证明

CBD沿幺50e人5)得到0)=4。，进而推出当A、D、4三点共线时，AD+AQ最小，即此时

AD+CD,最小值为他，再由AD+CD的最小值为5,得到例=5,则A8=gA4,=|,据此可得答

案.

【详解】解：如图所示，连接A。，

VABC与VA2G是全等的两个等边三角形，

BC=AB=\B,NABC=NA3G=60。，

ZCBD=180。—ZABC—N”。=60°,

NCBD=NABD,

又•：BD=BD,

：._CeD^Z4fi£>(SAS),

CD=AXD,

AD+CD-A.D+A|Z),

.•.当A、D、A三点共线时，AO+AQ最小，即此时AD+CD,最小值为人4，

：AD+CD的最小值为5,

A4=5,

AB=-AA=-,

2"2

.•.等边三角形ABC的边长为|,

2

故答案为：

c

16.如图，3。是等边AABC的中线，以。为圆心，D2的长为半径画弧交BC的延长线于E,连接DE,

贝.

【分析】本题考查了等边三角形的性质.根据等边三角形的性质可得54=3C,ZABC=60°,然后利用等

腰三角形的三线合一性质可得"3C=30。，再利用等腰三角形的性质可得NDBE=NE=30。，从而利用三

角形内角和定理进行计算，即可解答.

【详解】解：是等边三角形，

:.BA=BC,ZABC=6O°,

QBD是ABC的中线，

:.ZDBC=-ZABC=30°,

2

由题意得：DB=DE,

:.ZDBE=ZE=30°,

ZBDE=180°-ZDBE-ZE=120°,

故答案为：120°.

17.如图，△QAC和EBC均是等边三角形，AE、3D分别与CD、CE交于点M、N,且A、C、2在同

一直线上，有如下结论：①ACEMDCB；®CM=CN-③AC=DN；®ZAPD=60°.其中不正确结

论的结论是.

B

【答案】③

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握知识点

是解题的关键.根据等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定逐一证明即可得到答

案.

【详解】解：△7MC和均是等边三角形，

.\ZACD=ZBCE=60°,

，ZACE=NDCB=120。,

在"CE,中，

AC=DC

<NACE=NDCB,

CB=CE

「.△AC石四△OCRSAS),故①正确；

:./CAM=/CDN,

在Z\ACM,DCN中,

/AM=ZCDN

<AC=DC,

ZACM=ZDCN=60°

/.ACM^DCN(ASA),

：,CM=CN,故②正确；

:,DN=AM,

在/AMC中.AC>AMf

:.AC手DN,故③错误；

/.ACE^DCB,

:.ZAEC=NDBC,

:.ZECB=60%

/.ZEAC+ZAEC=ZECB=60°,

,\ZAPD=ZAC+ZABP=ZEAC+ZAEC=60°f故④正确.

故答案为：③.

18.如图，等边ABC.等边OBD,若NAOC=130。，则当N5O。为度时，△AOD是等腰三角

形.

A

【答案】130。或115。或100°

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，设

/BOC=X。,先证明QB/g—OBaSAS),从而表示出4400=廿-60。,，再根据等腰三角形的性质，分别

假设AO=AD,OA=OD,OD=AD,从而求出a.

【详解】解：设N30C=x。，

；_OBD与一ABC是等边三角形，

:.ZABC=ZDBO=60°,AB=BC,BD=BO,

：._DBA^OBCCSAS),

NBDA=NBOC=x。,

-03。是等边三角形，

.-.ZBDO=ZBOD=60°,

.-.ZADO=xa-60°,

AOD为等腰三角形，

当AO=OD时，ZDOA=180。-2ZADO=180°-2(x°-60°)=300°-,

即130°+廿+60°+300°-2廿=360°,

解得x=130。，

当AO=AD时，ZAOD=ZODA=jf-60°,

即130。+y+60。+y-60。=360。，

解得x=115。，

当OD=AD时，ZAOD=90°(x°-60°)=120°-1x°,

即130。+X。+600+120。-#=360°,

解得x=100。

所以当/BOC为130。或115。或100。时，△AOD是等腰三角形；

故答案为：130。或115。或100。

19.如图，点、D,E分别在等边三角形ABC的边AB,8C上，将一SDE沿直线DE翻折，使点8落在巴

处.若NA£>4=70。，贝|NCE4=.

【答案】50。/50度

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，由等边三角形的性质得到

-3=60。，由折叠的性质可得=ZBED=ZB^ED,根据平角的定义求出NBDE=55。，则

由三角形内角和定理得到/2瓦>=々ED=65%再由平角的定义即可求出答案.

【详解】解：；ABC是等边三角形，

4=60°,

由折叠的性质可得N2DE=ZB.DE,ZBED=ZB,ED,

•：ZADBl=70°,

180°-ZA£>B,

/BDE=々1DE==55°

2

/.ZBED=NB\ED=180°-ZB-ZBDE=65°,

NCEB[=180°-ZBED-NB、ED=50°,

故答案为：50°.

20.如图，已知ABC和VADE均为等边三角形，点。是AC的中点，连接OE,EC,则NACE=

。，OE取最小值时OE与5c满足位置关系为.

【答案】30OE//BC

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的

关键.根据等边三角形的性质可得OC=；AC,ZABD=30°,根据“SAS”可证,可得

ZACE=30°=ZABD,当OE_LEC时，0E的长度最小，根据N3CE=90。，ZOEC=90°,从而得到

OE//BC.

【详解】解：：.ABC为等边三角形，点。是AC的中点，

/.OC^-AC,ZABD=30°,

2

ABC和VADE均为等边三角形，

AB^AC,AD=AE,

：.NBAD=NCAE,

...一ABD四一ACE(SAS),

ZACE=30°=ZABD,

当OE1.EC时，OE的长度最小,

VZACE=30°,ZACB=60°,

NBCE=90°,

又：ZOEC=90°,

：.OE//BC,

故答案为：30；OE//BC.

三、解答题(本题共3小题，共40分)

21(12分).已知ABC中，ZA=90°,AB^AC,点。为BC的中点.

C

(1)如图1,点E,歹分别为线段AB,AC上的点，当3E=AF时，易得一。即的形状为一三角形;

(2)如图2,若点E,尸分别为AB,C4延长线上的点，且=其他条件不变，贝I(1)中的结论仍然

成立，请证明这个结论;

(3)如图3,若把一块三角尺的直角顶点放在点。处转动，三角尺的两条直角边与线段AB,AC分别交于点

E,F,请判断的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)等腰直角

(2)成立，见解析

(3)等腰直角三角形，见解析

【分析】本题考查等腰三角形判定及性质，全等三角形判定及性质.

(1)根据题意连接AD,证明△&)£点八40尸即可得到本题答案；

(2)同(1)中证明方法已知，即可得到本题答案；

(3)证明ABDE^^ADF即可得到本题答案.

【详解】(1)解：连接AD,

VZA=90°,AB=AC,点。为的中点，

/.AD±CB,AD=DB=DC,ZB=ZC=45°,ZBAD=ZCAD45°,

：.ZB=ZDAF=45°,

在ABDE和尸中，

BD=DA

<ZB=NDAF,

BE=AF

.•…BDE^ADF(SAS),

:.NBDE=ZADF,DE=DF,

：.ZEDF=ZBDA=90°,

.DEF是等腰直角三角形；

故答案为：等腰直角；

(2)解：(1)中结论成立，理由如下：

连接AD,如图，

F

A

VZA=90°,AB=AC,点。为5c的中点,

AADLCB,AD=DB=DC,ZABD=ZC=45°,ZBAD=ZCAD=45°,

：.ZABD=ZDAC=45°,

：.ZDBE=ZDAF=135°,

在△/?力氏和△ADF中，

BD=DA

</DBE=ZDAF,

BE=AF

：.二BDEmLADF(SAS),

：.ZBDE=ZADF9DE=DF,

：.ZEDF=NBDA=90°,

・・.，D斯是等腰直角三角形；

(3)解：结论：刀即是等腰直角三角形，理由如下:

连接的＞,

・・・NA=90。，AB=AC,点。为3c的中点，

AADLCB,AD=DB=DC,ZB=ZC=45°,ZBAD=ZCAD=45°,

：.ZB=ZDAF=45°f

•・•ZEDF=NBDA=90°,

JZBDE=ZADF,

在A6Z)石和AADF中,

ZB=ZDAF

<DB=DA

ZBDE=ZADF

：..BDE^ADF{SAS),

：.DE=DF,

/.DEF是等腰直角三角形.

22（14分）.完成下列各题

问题初探

如图1,.ABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。是3C上一点，连接AD,以AD为一边作VADE,使

ZDAE=90°,AD=AE,连接BE,猜想助和CO有怎样的数量关系，并说明理由.

类比再探

如图2,一MC中，ABAC=90°,AB=AC,点M是A8上一点，点。是5c上一点，连接MD,以MD为

一边作二MDE,使/DME=90。，MD=ME,连接BE,则N£BD=.（直接写出答案，不写过程，

但要求作出辅助线）

方法迁移

如图3,—MC是等边三角形，点。是3c上一点，连接AD,以AD为一边作等边VADE,连接班，则

808E8C之间有怎样的数量关系？（直接写出答案）

图3

拓展创新

如图4,ABC是等边三角形，点M是A3上一点，点。是BC上一点，连接M。，以为一边作等边

_MDE,连接班，猜想NEBD的度数并说明理由.

图4

【答案】问题初探：3E=CD理由见解析

类比再探：NEBD=90°,图形见解析

方法迁移：BD+BE=BC

拓展创新：ZEBD=120°,理由见解析

【分析】问题初探：证明得到3E=CD；

类比再探：过点M作简〃AC交BC于点/，推出=/BMF=NBFM=45。,证明

一MDF'MEB,得到/MBE=/MFD=45。，tg®ZEBD=ZEBM+ZMBF,即可得解；

方法迁移：证明，C4DgA4£（&4S）,得到DC=3E,即可得至I」8。=8。+防；

拓展创新：过点M作MG〃AC交8c于点G,得到△BMG是等边三角形，再证明.3ME■均GMD,得到

ZMBE=ZMGB=60°,tgigZEBD=ZMBE+ZMBG,即可得解.

【详解】解：问题初探：BE=CD

理由如下：

ZBAC=ZDAE=90°f

：.ZBAE=ZCADf

VAD=AE,AB=AC,

：.BAE=CAD,

：.BE=CD.

类比再探：NEBD=90。,

理由如下：过点M作MF〃AC交5c于点R则：ZBMN=ZA=90°f

在MABC中，AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°f

:・NBMF=/BFM=45。,

:・BM=MF,

同（1）可得：MDF=„MEB,

：.ZMBE=ZMFD=45°,

：.ZEBD=ZEBM+ZMBF=450+45°=90°,

故答案为：90°；

方法迁移：BD+BE=