江苏省南通市海安市2025届高三年级上册开学数学试题（含答案）

江苏省南通市海安市2025届高三上学期开学数学试题

一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。

1.已知集合4={X|，>2X},5={-2,0,1,3],则4nB=（）

A.{-2,0,3)B.{-2,3}C.{013}D.{3}

2,已知命题pTx>0,3X>1,则->p:()

A.3x>0,3X<1B.Hx<0,3X>1C.Vx>0,3%<1D.Vx>0,3%>1

1p:—屋xp弋—骰在区间（。，+）上（

3.函数y8I

A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增

4.已知函数/（久）=（无一—1,则（）

A.f(x-1)=f(l-x)B.f(x—1)=f(x+1)

C./(I+x)=/(I—x)D.y(i+%)=—y(i—久)

m

5.已知27n=3九=5,则4三=()

B.6C.8D.9

6.设b,ceR,函数/（%）=%+力口+c,贝1J"关于％的不等式%2+b%+C>0的解集为R”是“/（%）>0恒成

立”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分不必要

7.已知直线y=a%+b与曲线y=%+（相切，则2a+b的最大值为（）

A.-B.2C.1D.5

8.若函数/（%）=x\x-a\-1的3个零点由小到大排列成等差数列，则a=（）

A.2B.V5。岁D.

9.下列曲线平移后可得到曲线y=2,的是（）

A.y=2x+3B.y=2x-3C,y=23xD.y=y

10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%,且这个比值越

大，通风效果越好.（）

A.若教室的窗户面积与地面面积之和为200TM2,则窗户面积至少应该为30nl2

B,若窗户面积和地面面积都增加原来的10%,则教室通风效果不变

C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好

第1页，共9页

D.若窗户面积第一次增加了爪％,第二次增加了地面面积两次都增加了叫9％,则教室的通风

效果变差

11.设函数f(x)的定义域关于原点对称，且/(久)不恒为0,下列结论正确的是()

A.若f(x)具有奇偶性，则满足/(x)=p(x)+q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)中恰有一个为常函数，其函数

值为0

B.若/(%)不具有奇偶性，则满足/(X)=p(x)+q(x)奇函数p(x)与偶函数q(x)不存在

C.若/'(久)为奇函数，则满足/'(久)=pO)q(X)的奇函数p(x)与偶函数式久)存在无数对

D.若/'(>)为偶函数，则满足/0)=q(p(x))的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对

二、填空题：本题共3小题，共15分。

12.设函数f(x)的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个人久)=.

13.已知矩形2BCDQ4B>4D)的周长为24,将△ABC沿力C向△4DC折叠，4B折过去后与DC交于点P.设2B

=%,则DP=(用x表示)，当△4DP的面积最大时，x=.

14.已知a为常数，且a>0.定义在R上的函数/'(x)满足f(x+a)<f(%)</(x+3a),且当OWxWa时，/(%

)=ax2—x,贝!ja=.

三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。

15.如图，在三棱柱4BC—41B1C1中，81B1平面ABC,NABC=90。，AB=BC=BB1=1,E,F,G分另!]

是棱48,BC,BBi上的动点，且力E=BF=BiG.

(1)求证：A1F1CiG;

1

(2)若平面EGCi与平面44$$的夹角的余弦值为小求BF.

16.某学习小组研究得到以下两个公式：

①sin(a+0)-sin(a—。)=sin2a—sin2/?;②sin(a+。)-sin(«—0)=cos2j5—cos2a.

(1)请你在①和②中任选一个进行证明；

(2)在△2BC中，已知sinCsin(4—8)=sinBsin(C—4),cosA=pBC-2,求△48C的面积.

第2页，共9页

17.分别过椭圆C:1+q=l的左、右焦点％,尸2作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点P,

Q.

(1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；

(2)求四边形PFIAQ的面积的最大值.

18.已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为|,红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分

别为小小现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中

拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时,

训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件4蓝

方击中红方目标为事件B.求：

⑴概率P⑷,P(B);

(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；

(3)在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率.

19.(1)函数y=2力与y=log2X的图象有怎样的关系?请证明；

(2)是否存在正数C,对任意的X>C,总有2X>/>log2比?若存在，求C的最小值;若不存在，请说明理由；

(3)已知常数a>1,证明：当久足够大时，总有aX>xa>logaX.

第3页，共9页

参考答案

1.5

2.C

3.0

4.C

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

1Q.BCD

11.ACD

12./(答案不唯一)

13.12—6也

14.1

15.证明：(1)以B为坐标原点，｛瓦t两，说｝为正交基底建立如图所示空间直角坐标系,

则&(1,1,0),七(0,1,1),设E(t,0,0)(0<t<1),

则F(O,O,1T),G(0,t,0),

故4j_F=(-1,—1,1—t),C1G=(0,t—1,—1),

所以尸-C^G=—(t—1)—(1—t)=0.

所以不_L至了，所以2/lCiG.

(2)设平面EGCi的法向量五=(x,y,z),

剧何心=。pDf(t-i)y-z=o

则l?i-EG=0'B|J(-tx+ty=0'

令2=1—1,则x=y=L所以£=—1).

又可知，平面44道/的法向量访=(0,0,1).

设平面EGCi与平面A41B#的夹角为0,则cos。=今

T7八I->—.Im-n|\t-1\

乂cos。=cos<m,n>=一—=，

1117nll川《-1)2+2

故出「：：)?+2=(解得t=2或t=|・

第4页，共9页

16.解：(1)因为sin(a+S)sin(a—S)

=(sinacosS+cosasin/?)(sinacos^?—coscrsin/?)

=sin2acos2/?—coscrsin2/?'

若选①

si/acos2s—cos2asin2s

=sin2a(1—sin2/?)—(1—sin2ct)sin2/?=sin2a—sin2j6,

所以sin(a+K)sin(a-0)=sin2a—sin2s.

若选@sin2acos2/?—cos2asin2/?

=(1—cos2cr)cos2/?—cos2a(1—cos2/?)=cos2/?—cos2cr,

所以sin(a+S)sin(a-0)=cos2/?—cos2a.

(2)记△ZBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c.

由C=—(4+B),得sinC=sin(i4+B).

又因为sinCsin(Z—B)=sinBsin(C—A),

所以sin(A+B)sin(/—B)=sin(C+Z)sin(C—A).

由①知，sin2X—sin2B=sin2c—sin2i4,

由正弦定理，得2a2=b2+c2.

又Q=2,所以拉+。2=8,

由余弦定理，得cos/="2_4=g,所以bc=a

Zbc5z

因为“e(0,兀),所以sinA=—cos2i4=

11CQQ

所以△4BC的面积S=4csinX=4x|x|=f.

17.解：(1)根据椭圆C：3+9=l知，FiC-1,0),F2(l,0),上顶点(0,4).

4J

所以当P为c的上顶点时，直线PF1的斜率为避，平行直线Q%的斜率也为避，

第5页，共9页

所以直线Q出的方程为y=8Q-1).

与椭圆+9=1联立方程组并消去y,得5/—8x=0,

4,3

解得久=。或久=|,

因为点Q在x轴上方，

所以x=*y=溶，所以点Q5，¥).

所以直线PQ的斜率为一坐.

(2)设P%与C的另一交点为口。3,乃)(为<0).

因为PFJ/QF2，由椭圆的对称性，知IQBI=IP'FJ

又设直线P%与QF2的距离为由

则四边形PF1F2Q是梯形，面积S=*|P%|+\QF2\)d=^\PF1\+|P'Fi|)d

］

r

=2\PP\d=S/^Pp,p2=S4pFiF?+S/\p,尸1尸2

1.

=2xF/2l(yi-丫3)=yi—丫3

设直线PP'斜率不可能为0,可设其方程为：%=-l+my,

与椭圆C的方程9+(=1联立并消去x,

得(3血2+4)y2—6my—9=0.

则%+%=播”3=而蚩,

所以三角形面积S满足：

s=yr—y3=J(yi+丫3)2-437义3______

_^/(—6m)2—4(3m2+4)x(—9)_〔？Im2+1.

3m2+4\(3m2+4)2

记血2+1=t(t>1),

则S=121(3t；i)2=12；9*+6,

1

因为y=9t+］在［1,+8)上随t的增大而变大，

1

所以当t=l即机=0时，9t+］取得最小值10,

此时S的最大值为12J1H三=3,

当且仅当根=0,即PF1与y轴平行时等号成立，面积最大，

所以，四边形PF1F2Q面积的最大值为3.

第6页，共9页

18.解：(1)记红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件A2,P(&)=P(a2)=|,

红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件Bi，B2,P(BI)=:，P(B2)=p

由独立性，得p(a)=p(&)p(w)=p(4i)[i—p(&)]=弓x(i—》

P(B)=PQ42)P(®=P02)[1-P(Bi)]=|x(l-1)=|.

(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为1,0,-1.

由独立性，知事件a与8独立，

则p(x=1)=p(a豆)=p(a)p(J)=p(x)[i-p(B)]=|x

P(x=-1)=P(4B)=PG4)P(B)=[1-P(4)]P(B)=(l-1)x1=i

P(x=0)=P{AB+AB)=PQ4B)+P(4B)=|X|+(1X(1-

X的概率分布为：

X—101

P

623

所以X的数学期望E(X)=1x4+(—1)x1=J.

DOO

(3)记4轮对抗后训练结束为事件C,记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.

若在1轮对抗中，一方比另一方多击中目标1次为净胜轮，少击中目标1次为净负轮，击中目标次数相等为平

轮，

则事件CD包括两类情况：

第一类是第4轮为净胜轮，前3轮中恰有1轮为净胜轮，其余为平轮；

第二类是第3,4轮为净胜轮，前2轮中恰有1轮为净胜轮，1轮为净负轮；

由独立性，得P(CD)=P(X=1)x6xP(X=1)xp2(x=0)+p2(X=1)x禺xP(X=1)xP(X=-1)

=|xcix|x(1)2+(1)2xclx|xl=(1)^+|)=|x|j,

同理,得。(诙)=*心义3G)2+©2*禺*/六(》2号+台=表、装

所以P(G=P(CD+C》)=P(CD)+P(CD)=3X||+^X||=^X|1・

第7页，共9页

131

所以P(叫=娉=要

3636

答：在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为小

19.解：(1)函数y=2*与y=log2%的图象关于直线y=%对称.

证明：设P(%o,yo)是函数y=2%的图象上任意一点，

则丫0=2配，即％o=log2yo•

又点尸(%o,yo)关于直线y=%的对称点P(yo,%o)，

由％o=log2yo知，点P'(yo,%o)在函数y=log2%的图象上，

由点P的任意性，知丁=2%与y=log2%的图象关于直线y=%对称.

(2)记/(%)=2久一%2,则,(4)=24—42=0,于是cN4.

当c=4时，2久>x2(x>4)<=>xln2>21nx(x>4)=等<野=等(%>4).

I己g(%)=W，则令g'(%)=1]n久=0,得X=e,

所以当第6(0冏时，gf(x)>0,g(%)单调递增;

当久E[e,+8)时，gf(x)<0,g(%)单调递减,

所畔〈哈(久>4)，

所以V%>4,总有2%>X2,

则久>4时，2X>x2>x,

又%>log2%<=>2%>x,

所以V%>4,总有％2>log2x.

综上，存在最小正数C=4,对任意的％>C,总有2,>%2>]og2%.

(3)由(2)知，当aNe时，g(%)单调递减，取。=①

则当％>c时，ax>xa,

当1<a<e时，当工足够大时，总有凝>%a=%lna>alnx<=>—%>Inx.

a

令b=野(0<b

则问题转化为：0<力〈工，当久足够大时，总有取一In%>0.