高中数学 1.3 反证法课时作业 北师大版选修2-2

§3反证法课时目标1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．1．反证法在证明数学命题时，先假定________________成立，在这个前提下，若推出的结果与________________相矛盾，或与________________________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明______________________不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2.反证法的证题步骤(1)________________________；(2)________________________；(3)________________________．一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数6．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“__________________________”．9．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a三、解答题10．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．11.若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6)，求证：a、b、c中至少有一个大于0.能力提升12．求证：不论x，y取何非零实数，等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)总不成立．13．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．反证法是间接证明的方法，对于直接证明有困难的问题非常奏效．答案知识梳理1．命题结论的反面定义、公理、定理命题中的已知条件假定命题结论的反面2.(1)作出否定结论的假设(2)进行推理、导出矛盾(3)否定假设，肯定结论作业设计1．C2.D3.B4.C5．D[恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．]6．B[∵c>d，∴－c<－d，a>b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c>b－d成立时，假设a≤b，∵－c<－d，∴a－c<b－d，与题设矛盾，∴a>b.综上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．]7．a≤b8．函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒小于等于09．a≤－2或a≥－1解析若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有实根，则(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a≤eq\f(1,3).若方程x2＋2ax－2a则4a2＋8a≥0，∴a≤－2或∴当两个方程至少有一个实根时，－1≤a≤eq\f(1,3)或a≤－2或a≥0.即a≤－2或a≥－1.10．证明假设a不是偶数，则a为奇数．设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2因为4(m2＋m)是偶数，所以4m2＋所以a2为奇数，与已知矛盾，所以假设错误，所以原命题成立，即a是偶数．11．证明设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.12．证明假设存在非零实数x，y使得等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋eq\f(y,2))2＋eq\f(3,4)y2＝0.由y≠0，得eq\f(3,4)y2>0.又(x＋eq\f(y,2))2≥0，所以(x＋eq\f(y,2))2＋eq\f(3,4)y2>0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．13．(1)解设公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)证明由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，