2023-2014年北京十年中考数学《代数综合》含答案解析

2023~2014北京十年中考数学分类汇编一一代数综合

1.(2023•北京)在平面直角坐标系xOy中，M(xi,yi),N(%2,y2)是抛物线y=ax2+6x+c

(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=K

(1)若对于xi=l,X2=2,有yi=y2,求/的值；

(2)若对于1<X2<2,都有川</2，求f的取值范围.

2.(2022•北京)在平面直角坐标系xQy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+6x+c(a

>0)上，设抛物线的对称轴为直线x=K

(1)当c=2,心=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及/的值；

(2)点(xo,m)GoWl)在抛物线上.若根<咒<的求才的取值范围及xo的取值范围.

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3.(2021•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线〉=仆2+区

(40)上.

(1)若〃7=3,〃=15,求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(-1,yi),(2,»)，(4,>3)在该抛物线上.若加〃<0,比较yi,”，y3

的大小，并说明理由.

4.(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，M(xi,yi),N(X2,>2)为抛物线y=ax2+bx+c

(a>0)上任意两点，其中xi<X2.

(1)若抛物线的对称轴为X=l,当XI,X2为何值时，V="=c；

(2)设抛物线的对称轴为x=K若对于X1+X2>3,都有刀<»,求1的取值范围.

第2页(共5页)

5.(2019•北京)在平面直角坐标系xQy中，抛物线》=0^+云-工与y轴交于点N,将点N

a

向右平移2个单位长度，得到点5,点5在抛物线上.

(1)求点B的坐标(用含。的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点P(工，-」)，Q(2,2).若抛物线与线段尸。恰有一个公共点，结合函

2a

数图象，求。的取值范围.

6.(2018•北京)在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点N,B,

抛物线》=仆2+&-3a经过点/,将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段8c恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

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7.（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?-4x+3与x轴交于点/、B（点N

在点3的左侧），与y轴交于点C

（1）求直线2。的表达式；

（2）垂直于y轴的直线/与抛物线交于点尸（xi，yi）,Q（X2,竺），与直线3c交于点N

（X3，”），若X1<X2<X3，结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围.

8.（2016•北京）在平面直角坐标系xQv中，抛物线y=mx2-2%x+"z-1（m>0）与x轴的

交点为/,B.

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当加=1时，求线段N3上整点的个数；

②若抛物线在点48之间的部分与线段48所围成的区域内（包括边界）恰有6个整

点，结合函数的图象，求机的取值范围.

1-

5r

第4页（共5页）

9.(2015•北京)在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y

=x-l交于点/，点/关于直线x=l的对称点为3,抛物线Ci：y=x2+6x+c经过点/,

B.

(1)求点1,B的坐标；

(2)求抛物线G的表达式及顶点坐标；

(3)若抛物线。2：(。70)与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a

的取值范围.

VA

1-

[111IIIII>

~O1X

10.(2014•北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=2%2+如叶〃经过点/(0,-2),B

(3,4).

(1)求抛物线的表达式及对称轴；

(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t,

记抛物线在8之间的部分为图象G(包含/,8两点).若直线CD与图象G有公共

点，结合函数图象，求点。纵坐标/的取值范围.

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2023~2014北京十年中考数学分类汇编代数综合

参考答案与试题解析

1.（2023•北京）在平面直角坐标系xQy中，M（xi,yi\N（工2,>2）是抛物线

（q>0）上任意两点，设抛物线的对称轴为、=九

（1）右对于=X2=2,有yi=JV2,求，的值；

（2）若对于OVxiVl,1Vx2V2,都有yi〈y2,求，的取值范围.

【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，

（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（XI，刈）与（X2,歹2）的中点在对称

轴的右侧，再根据对称性即可解答.

【解答】解：（1）-对于X1=1,X2=2,有yi=V2,

Q+6+C=4Q+26+C,

.•.3q+b=0,

:对称轴为x=-互=2

2a2

2

(2)VO<xi<l,1<X2<2

a>0,

（XI，>1）离对称轴更近，Xl<X2f则（XI，>1）与（X2,>2）的中点在对称轴的右侧,

即反

2

【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键.

2.（2022•北京）在平面直角坐标系xQy中，点（1,机），（3,〃）在抛物线y=ax2+bx+c（a

>0）上，设抛物线的对称轴为直线x=f.

（1）当c=2,加=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及/的值；

（2）点（xo,m）（xoWl）在抛物线上.若m<n<c,求，的取值范围及xo的取值范围.

【分析】（1）将点（1,加），（3,〃）代入抛物线解析式，再根据"2=〃得出b=-4a,再

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求对称轴即可;

（2）再根据加<〃<c,可确定出对称轴的取值范围，进而可确定xo的取值范围.

【解答】解：（1）法一、将点（1,机），（3,n）代入抛物线解析式，

.Jm=a+b+c

ln=9a+3b+c

•加=几，

a+b+c=9a+3b+c,整理得，b=-4a,

...抛物线的对称轴为直线x=-旦=-二至=2；

2a2a

:・t=2,

Vc=2,

・•・抛物线与歹轴交点的坐标为（0,2）.

法二、当冽=〃时，点4（1,m）,B（3,n）的纵坐标相等，

由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为》=工3,

2

:・t=2,

Vc=2,

・•・抛物线与歹轴交点的坐标为（0,2）.

（2）,I

a+b+c<9a+3b+c<c,

解得-

・\3Q<-b<4。,

.•.里丝，即&

2a2a2a2

由题意可知，点（xo，m）与点（1,m）关于x=£对称；

x+1

•.•zl---o---;

2

当/=3时，xo—2；

2

当t—2时，xo—3.

，xo的取值范围2<xo<3.

综上，/的取值范围为：3</<2；xo的取值范围2c冲<3.

2

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解.

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3.(2021•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1,加)和点(3,〃)在抛物线夕=0?+区

(40)上.

(1)若〃7=3,〃=15,求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(-1,yi),(2,»)，(4,>3)在该抛物线上.若加〃<0,比较yi,”，y3

的大小，并说明理由.

【分析】(1)将点(1,3),(3,15)代入解析式求解.

(2)分类讨论b的正负情况，根据mn<G可得对称轴在x=3与直线x=L之间，再根

22

据各点到对称轴的距离判断y值大小.

【解答】解：(1)'.'m=3,n=15,

...点(1,3),(3,15)在抛物线上，

将(1,3),(3,15)代入^=/+取得:

(3=a+b

115=9a+3b，

解得卜=1,

lb=2

.".y=x2+2x=(x+1)2-1,

•••抛物线对称轴为直线x=-1.

(2)y=ax1+bx(a>0),

•••抛物线开口向上且经过原点，

当6=0时，抛物线顶点为原点，x>0时/随x增大而增大，〃>切>0不满足题意，

当6>0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，不满足题意，

抛物线对称轴在〉轴右侧，x=l时机<0,x=3时〃>0,

即抛物线和x轴的2个交点，一个为(0,0),另外一个在1和3之间，

•••抛物线对称轴在直线x=3与直线之间，

22

即工<--L<2,

22a2

点(2,”)与对称轴距离工<2-(--L)<3,

22a2

点(-1，以)与对称轴距离四<-且-(-1)〈立，

22a2

点(4,”)与对称轴距离»<4-(-_?_)<工

22a2

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解法二：：点(1,加)和点(3,«)在抛物线>=办2+云(°>0)上，

・・。+6=加，9Q+3b=〃，

:.(Q+6)(9a+3b)<0,

a+b与3a+b异号，

Vtz>0,

：・3a+b>a+b,

..•Q+bVO,3a+b>0,

V(-1,yi),(2,/),(4,歹3)在该抛物线上，

•»y\ci~b9y2=4a+26,y3=16q+4b,

,・13-歹1=(16a+4b)-Qa-b)=5(3Q+6)>0,

：.y3>yi^

9•yX-yi=(a-b)-(4a+2b)=-3(a+6)>0,

•'•y2<yi<y3-

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根

据数形结合求解.

4.(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，M(xi，yi),N(%2,>2)为抛物线

(q>0)上任意两点，其中X1<X2.

(1)若抛物线的对称轴为x=l,当XI,X2为何值时，yi=y2=c；

(2)设抛物线的对称轴为x=K若对于XI+X2>3,都有/〈”，求/的取值范围.

【分析】(1)根据抛物线的对称性解决问题即可.

(2)由题意点(xi，0),(&,0)连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于3,利用二次

2

函数的性质判断即可.

【解答】解：(1)由题意歹1=歹2=。，

•«xi=0,

:对称轴为直线x=l,

：.M,N关于x=l对称，

••X2~~2,

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・・xi=O,X2=2时，yi=y2=c•

(2)①当时，恒成立.

②当XIVX2<£时，恒不成立.

③当XIV九12>/时，•.,抛物线的对称轴为直线％=，，若对于Xl+X2>3,都有歹1〈歹2,

当Xl+%2=3,且歹1=J2时，对称轴为直线x=3,

2

...满足条件的值为：

2

解法二：*'y\<yi,

ax；+b%i+c<axj+bx2+c,

••ciX2-乂2)<-b(xi-%2),

.*.xi+x2>~—=2Z,

a

当Xl+X2>3时，都有x\+xi>2t,

・・・2W3,

2

，满足条件的值为：

2

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

5.(2019•北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线>="2+加-工与〉轴交于点/,将点/

a

向右平移2个单位长度，得到点8,点8在抛物线上.

(1)求点2的坐标(用含。的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点尸(工，-1),0(2,2).若抛物线与线段P。恰有一个公共点，结合函

2a

数图象，求。的取值范围.

【分析】(1)/(0,-1)向右平移2个单位长度，得到点3(2,-1)；

aa

(2)Z与5关于对称轴x=l对称；

(3)①〃>0时，当x=2时，y=-—<2,当3?=-工时，x=0或x=2,所以函数与

aa

PQ无交点;

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②。<0时，当y=2时，ax2-lax--=2,x=a+Ia+1|或》=a-|a+1|当a-|a+1|

aaaa

W2时，aW--；

2

【解答】解：（1）N（o,-1）

a

点N向右平移2个单位长度，得到点8（2,-1）；

a

（2）/与2关于对称轴x=1对称，

，抛物线对称轴x=l；

(3)由(1)可知N(0,-工)、B(2,-1)、P(A,-A)

aa2a

当a>0时，-A<0,

a

令抛物线上C（工，yc）D（xo，2）

2-

:当X<1时，y随X的增大而减小,

当x>l时，y随x的增大而增大,

vA>0,2>-工，

2a

/.yc<A,xo>2,

a

...抛物线与P。没有交点；

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当a<0时，

:抛物线与PQ有一个公共点，

.•.2点在0点的下方，

-工W2,

a

解得aW-1.

2

综上所述，当时，抛物线与线段尸0恰有一个公共点.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结

合讨论交点是解题的关键.

6.(2018•北京)在平面直角坐标系xOy中，直线广4x+4与x轴，y轴分别交于点4B,

抛物线y=ax2+6x-3a经过点N,将点2向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段8c恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求点2的坐标，根据平移的性质可求点C的

坐标；

(2)根据坐标轴上点的坐标特征可求点/的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；

(3)结合图形，分三种情况：①。>0；②a<0,③抛物线的顶点在线段8C上；进行

讨论即可求解.

【解答】解：(1)与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得y=4,

：.B(0,4),

：点B向右平移5个单位长度，得到点C,

第7页(共15页)

：.C(5,4)；

(2)与x轴交点：令歹=0代入直线y=4x+4得％=-1,

：.A(-1,0),

将点4(-1,0)代入抛物线-3。中得0=4-b-3〃，即6=-2Q,

...抛物线的对称轴-a=-二区=1；

2a2a

(3);抛物线夕=0?+8-3a经过点N(-1,0)且对称轴x=l,

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过/的对称点(3,0),

①0>0时，如图1,

将x=0代入抛物线得y=-3a,

..•抛物线与线段3c恰有一个公共点，

-3。<4,

a>-—,

3

将x=5代入抛物线得y=12a,

A12a^4,

解得a》工；

3

②a<0时，如图2,

将x=0代入抛物线得y=-3a,

..•抛物线与线段3c恰有一个公共点，

-3。>4,

解得a<-1；

3

③当抛物线的顶点在线段2C上时，则顶点为(1,4),如图3,

将点(1,4)代入抛物线得4=a-2a-3a,

解得。=-1.

综上所述，a<-AHJCa--1.

33

第8页(共15页)

r图i

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式,

解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式.本题属于中档题,

难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题.

7.（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/-4x+3与x轴交于点/、B（点、4

在点3的左侧），与y轴交于点C.

（1）求直线8C的表达式；

（2）垂直于y轴的直线/与抛物线交于点P（xi,yi）,Q（X2,”），与直线3C交于点N

（X3,*）,若X1<X2<X3,结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围.

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【分析】（1）利用抛物线解析式求得点夙。的坐标，利用待定系数法求得直线3c的表

达式即可；

（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答.

【解答】解：（1）由>=/-4x+3得至U：y—（x-3）（x-1

所以4（1,0）,B（3,0）,

当％=0时，y=3,所以C（0,3）.

设直线5C的表达式为：y=kx+b（左W0）,

则（b=3,

l3k+b=0

解得，k=]

lb=3

所以直线BC的表达式为y=-x+3；

（2）由y=x2-4x+3得至）y=（x-2）2-1,

所以抛物线y=--4x+3的对称轴是直线x=2,顶点坐标是（2,-1）.

・小="，

•*.X1+X2=4.

令》=-1时，则由y=-x+3得至!Jx=4.

*.*X1<X2<X3，

.*.3<X3<^4,即7Vxi+%2+%3<8.

【点评】本题考查了抛物线与'轴的交点.解答（2）题时，利用了“数形结合”的数学

思想，降低了解题的难度.

8.（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=g：2-2加x+机-1（加>0）与x轴的

交点为/,B.

（1）求抛物线的顶点坐标;

第10页（共15页）

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当加=1时，求线段N3上整点的个数；

②若抛物线在点43之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整

点，结合函数的图象，求正的取值范围.

1

【分析】（1）利用配方法即可解决问题.

（2）①%=1代入抛物线解析式，求出/、8两点坐标即可解决问题.

②根据题意判断出点/的位置，利用待定系数法确定"的范围.

【解答】解：（1）'.'y—mx2-2mx+m-\=m（x-1）2-1,

...抛物线顶点坐标（1，-1）.

（2）=

...抛物线为y=--2x,

令y=0,得x=0或2,不妨设/（0,0）,B（2,0）,

线段上整点的个数为3个.

②如图所示，抛物线在点力,8之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰

有6个整点，

...点/在（-1,0）与（-2,0）之间（包括（-1,0））,

当抛物线经过（-1,0）时，m=—,

4

当抛物线经过点（-2,0）时，777=1,

9

：.m的取值范围为工＜加W工.

94

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【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解

题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

9.(2015•北京)在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y

=x-l交于点点/关于直线x=l的对称点为3,抛物线Ci：y=x2+6x+c经过点

B.

(1)求点4B的坐标；

(2)求抛物线G的表达式及顶点坐标；

(3)若抛物线C2：(。。0)与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a

的取值范围.

VA

1-

IlliI!III>

~1X

【分析】(1)当y=2时，则2=X-1,解得x=3,确定/(3,2),根据45关于x=l

对称，所以5(-1,2).

(2)把(3,2),(-1,2)代入抛物线Ci：y=x2+bx+cM-f2=9+3b+C，求出b,c的值,

I2=l-b+c

即可解答；

(3)画出函数图象，把48代入y=ax2,求出。的值，即可解答.

【解答】解：(1)当y=2时，则2=x-l,

解得：尤=3,

：.A(3,2),