2024-2025学年广东省深圳市某中学九年级上学期开学考试数学试卷（含详解）

深圳市东湖中学2024〜2025学年第一学期

初三年级（数学）学科暑假作业检测

（考试时间：90分钟试卷分值：100分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的.）

1.用数轴上点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

2.下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（）

A.6,8,10B.0.3,0.4,C1.5C.J5,A/12,A/13D.1,,2，A/3

3.若。>b,则下列不等式成立的是（）

。+3"+3o

Aci—5<Z?—5B.—2a<—2bc.———D.a2>b-

22

4.下列从左到右的变形为因式分解的是（）

A.xy2（x-l）=x2y2-xy2B.（a+3）（Q—3）=a?—9

C.2023a2—2023=2023（a+l）（a-l）D.x2,+x—5=（x—2）（x+3）+1

5.如图，直线4〃。，点。、A分别4、4J二，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、4于点。、E；分别

以。、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点B作射线AF交4于点艮若4c4=120。，则N1的

2

度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

6.如图，在平行四边形A5CD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移。个单位长度得到线段跖，若

四边形ECD歹为菱形时，则a值为（）

BEC

AFD

A.1B.2C.3D.4

7.如图，一次函数yi=x+b与一次函数”=履+4的图象交于点尸（1［，3）,则关于x的不等式x+b>fcv+4的解

集是（）

C.尤>/D.x<l

8.如图，将Rt/XABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtADE,点B的对应点。恰好落在2c边上，若

AB=2,ZB=60°,则CO的长为（）

A1B.73C.2D.2A/2

9.下列命题是真命题的是（）.

A.有两条边相等的两个直角三角形全等B.等腰三角形的角平分线、中线和高重合

C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D.一个正多边形的内角和为720。，则这个正多边形

的一个外角等于60。

10.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=1,动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速

度沿AB,CD向终点8,。运动，过点E,歹作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为G,则AG的最大值为

A.0B•寸C.2D.1

二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）.

X

11.若分式——有意义，则无满足条件是.

X+1

12.若。是方程龙2—2%—3=0的一个根，则代数式2a2—4a+1的值为.

13.关于x的分式方程上二+7—=3有增根，则机=.

x-22—x

14.如图，VA3C中，ZBAC=108°,尸河和QN分别是和AC的垂直平分线，则ZPAQ=

15.如图，在VA3C中，AB=AC,ZBAC=9Q°,。为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接并

延长，在3D延长线上取一点E,使AE=A3=AC,连接CE.过点A作A尸，5石于点F，AF的延长线与EC

的延长线交于点“，已知A3=6,CH=3,则EH=.

E

三、解答题（本题共7小题，共55分）

2x+l〉-9①

16.解不等式组,3x+l并把它的解集表示在数轴上.

-------l>x（2）

I2

-3-2-1012345

<yI1、尤2_7Y

17.先化简：——1k-----,然后从0,1,2,3中选一个合适的x的值代入求值.

kx-2）x--4x+4

18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，VA3C的顶点均在格点上，在建立平面直

角坐标系后，点C的坐标为（一2,-1）.

（1）将VA3C向上平移6个单位得到△AB©,画出△A4C；

(2)以(0,—1)为对称中心，画出VA3C关于该点对称的△A与C2；

(3)经探究发现，△A4G和△A与C2成中心对称，则对称中心坐标为.(注意:请先用铅笔，然后

再用签字笔描)

19.为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔(单位：盒)与画板(单位：个)两种写生

工具数量若干.已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2

元.

(1)请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？

(2)根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少

购买画板多少个？

20.如图，在平行四边形A6CD中，对角线AC,BD交于点0,AE±BD，CFLBD,垂足分别为E，

F,连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECE为平行四边形；

(2)若BD=8,/AB£>=30°,求四边形AECE的面积.

21.定义：对任意一个两位数〃，如果。满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为

“慧泉数”.将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数

的和与n的商记为/(a).

例如：a=12,对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33,和与H的

商为33+11=3,所以/(12)=3.

根据以上定义，回答下列问题：

(1)填空：下列两位数：40,51,66中，“慧泉数”为；

(2)计算：

0/(13)；②/(10a+b)；

(3)如果一个“慧泉数”机的十位数字是x,个位数字是x-4,另一个“慧泉数”〃的十位数字是x—5,个位

数字是2,且满足—/(〃)<8,求x.

22.【初步感知】

(1)如图1,已知VA3C为等边三角形，点。为边3c上一动点(点。不与点3,点C重合).以为边向右

侧作等边VADE，连接CE.求证：△ABD02XACE；

AEE

CD

图2图3

【类比探究】

(2)如图2,若点。在边3C的延长线上,随着动点。的运动位置不同，线段EC,AC,CD之间的数量关系为

,请证明你的结论.

【拓展应用】

(3)如图3,在等边VABC中，AB=5,点尸是边AC上一定点且AP=2,若点。为射线3C上动点，以

。产为边向右侧作等边一连接CE,BE.请问：PE+5E是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没

有，请说明理由.

深圳市东湖中学2024〜2025学年第一学期

初三年级（数学）学科暑假作业检测

（考试时间：90分钟试卷分值：100分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的.）

1.用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.到原点距离最近的点，即

绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断.

【详解】解：•+3|=3,=|2|=2,|3卜3,1<2<3,

与原点距离最近的是1,

故选：B.

2.下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（）

A.6,8,10B.0.3,0.4,0.5C.小,氏■，屈D.1,也,6

【答案】C

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判

定即可.如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可.

详解】解：A、62+82=102.

,此三角形是直角三角形，不符合题意；

B、0.32+0.42=0.52,

...此三角形是直角三角形，不符合题意；

C、（新）2+（疝）2/（而「，

此三角形不是直角三角形，符合题意；

D、V+诋2=（而2,

・・.此三角形是直角三角形，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大

边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

3.若。>6,则下列不等式成立的是()

A.a-5<b-5B.-2a<-2bC."+33D/>/

22

【答案】B

【解析】

【分析】总的来说，用不等号(<,>,>,W,#)连接的式子叫做不等式.根据不等式的定义即可判定A错误，其余选型根

据不等式的性质判定即可.

【详解】A:a>b,则a-5>b-5,故A错误；

B:a>b,-a<-b,则-2a<-2b,B选项正确.

C：a>b,a+3>b+3,则巴2>色,则C选项错误.

22

D：若0>a>b时，a2cb2,则D选项错误.

故选B

【点睛】本题主要考查不等式的定义及性质.熟练掌握不等式的性质才能避免出错.

4.下列从左到右的变形为因式分解的是()

A.xy2(x-l)=x2_y2-xy~B.(a+3)(tz-3)-a2-9

C.2023a?—2023=2023(a+1)(a—1)D.x2+x-5=(x-2)(x+3)+1

【答案】C

【解析】

【分析】根据因式分解的定义进行判断即可.

【详解】解：孙2(x—1)=f,2—孙2是整式乘法运算，

(«+3)(。—3)=I—9是整式乘法运算，

f+x-5=(x-2)(x+3)+l右边不是整式的积的形式，不是因式分解，

2023/-2023=2023(。+1)(。一1)从左到右的变形为因式分解，故符合要求；

故选：C.

【点睛】本题考查了因式分解.解题的关键在于熟练掌握：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫

多项式的因式分解.

5.如图，直线［〃心点C、A分别4、4上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、4于点。、E；分别

以。、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点B；作射线AF交《于点艮若N5C4=120°,则N1的

度数为(

A.20°B.25°C.30°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图可知■平分/C4E,根据平行线的性质，求出/C4E的度数，即可得解.

【详解】解：〃4，ZBC4=120°,

/.NCAE=180°-ZBCA=60°,

由作图可知：窃平分NC4E,

Zl=-ZC4E=30°,

2

故选C.

【点睛】本题考查平行线的性质，基本作图一作角平分线.解题的关键是根据作图方法，得到AF平分NC4E.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段A3水平向右平移。个单位长度得到线段所，若

四边形ECDF为菱形时，则a的值为（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据平行四边形的性质得到CD=AB=4,然后根据菱形的性质得到EC=CD=4,然后求解即

可.

【详解】：四边形ABCD是平行四边形，

/.CD=AB=4,

:四边形EC"为菱形，

EC=CD=4,

•/BC=6,

：.BE=BC-CE=2,

・・・〃=2.

故选：B.

【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

7.如图，一次函数yi=x+b与一次函数R=AX+4的图象交于点P(1,3),则关于x的不等式x+b>fcr+4的解

A.x>-2B.x>0C.x>lD.x<l

【答案】C

【解析】

【详解】解：当x>l时，x+b>kx+4,

即不等式x+b>fcr+4的解集为x>l.

故选C.

8.如图，将RtZkABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt.ADE,点B的对应点。恰好落在BC边上，若

AB=2,ZB=60°,则CO的长为（）

A.1B.73C.2D.20

【答案】C

【解析】

【分析】利用含30度直角三角形三边的关系得到BC=2AB=4,再根据旋转的性质得则可判断△42。

为等边三角形，所以80=48=2,然后计算即可.

【详解】解：：/BAC=90。，ZB=60°,

：.BC=2AB^4,

；RfAABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtLADE,点、B的对应点。恰好落在BC边上，

：.AD=AB,

而NB=60°,

.•.△ABO为等边三角形,

：.BD=AB=2,

：.CD=BC-BD=4-2=2.

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角；旋转前、后的图形全等.

9.下列命题是真命题的是().

A.有两条边相等的两个直角三角形全等B.等腰三角形的角平分线、中线和高重合

C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D,一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形

的一个外角等于60。

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了命题真假的判定，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一，平行四边形的判定，正多边形

的性质，根据上述知识点进行判定即可.

【详解】解：A、有两条边相等的两个直角三角形不一定全等，因为没指明是哪两边相等，故原选项错误，不符合

题意；

B、等腰三角形的顶角平分线、底边中线和底边上的高，三线重合，故原选项错误，不符合题意；

C、一组对边平行，另一组对边平行的四边形是平行四边形，或一组对边相等，另一组对边相等的四边形是平行四

边形，故原选项错误，不符合题意；

D、一个正多边形的内角和为720°,

.1.180°(«-2)=720°,

解得，〃=6,即是正六边形，

360°

这个正多边形的每个外角为^=60。，故原选项正确，符合题意；

故选：D.

10.如图，矩形ABCD中，AB=g，BC=1,动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速

度沿AB，CD向终点8,。运动，过点E,歹作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为G,则AG的最大值为

A.B.C.2D.1

2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜

边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.

连接AC,BD交于点、0,取。4中点“，连接GH,根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而

求出AG的最大值.

【详解】解：连接AC,3D交于点。，取。4中点连接GH,如图所示：

•..四边形A3CD是矩形，

：.ZABC=90°,OA^OC,AB//CD,

r.在RtAABC中，AC=siAB2+BC2=+F=2，

：.OA=OC=-AC=1,

2

•：AB//CD,

:.ZEAO=ZFCO,

在ZVIOE与CO9中，

AE=CF

<ZEAO=ZFCO

OA=OC

△AOE也△COf'(SAS),

:.ZAOE=ZCOF,

：.E,O,E共线，

AG±EF,”是。8中点，

...在RtAAGO中，GH=-AO=-,

22

:.G的轨迹为以H为圆心，!为半径即A。为直径的圆弧.

2

AG的最大值为AO的长，即AG111ax=AO=L

故选：D.

二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）.

X

11.若分式——有意义，则X满足的条件是.

X+1

【答案】XW—1

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案.

【详解】由题意得，X+1W0,

解得XW-1,

故答案为：XW—1.

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键.

12.若。是方程r—2%—3=0的一个根，则代数式2a2—4a+1的值为.

【答案】7

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出〃一20-3=0,推出2。=3,整体代入

计算即可得出答案.

【详解】解：是方程好―2%—3=0的一个根，

•'«a2—2a—3=0,

••ci~-2a=3,

2a2-4。+1=2（〃—2。）+I=2x3+1=7,

故答案：7.

13.关于x的分式方程上二+—=3有增根，则机=.

x—22—x

【答案】-1

【解析】

【分析】等式两边同时乘以公因式（x-2）,化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出用.

解：方程两边同时乘以（％—2）,Mx+m+（-l）=3（x-2）,

m=2x—5,

・・,原方程有增根，

%—2=0,

x=2f

m=2x—5=—l,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根.

14.如图，VA3C中，44C=108°,和QN分别是A3和AC的垂直平分线，则NQAQ=

【答案】36。##36度

【解析】

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键.由

线段垂直平分线的性质知m=依，AQ=CQ,得NB=/PAB,ZC^ZQAC,从而得出答案.

【详解】解：和QN分别是和AC的垂直平分线，

:.PA=PB，AQ=CQ,

:.ZB=ZPAB,NC=NQAC,

ZBAC=108°,

:.ZB+ZC=12°,

:.ZPAB+ZQAC=12°,

ZPAQ=ABAC_(/PAB+ZQAC)

=108°-72°

=36°,

故答案为：36°.

15.如图，在VA3C中，AB=AC,ABAC=9Q°,。为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接并

延长，在3D延长线上取一点E，使AE=A5=AC,连接CE.过点A作A尸XBE于点E,AF的延长线与EC

的延长线交于点X,已知A3=6,CH=3,则EH=.

B

【答案】3s

【解析】

【分析】如图，过点。作CG1AH于G,由等腰直角三角形的性质可得EW=0斯，CH=^2CG，由

“AAS”可证二井的一CG4,可得AF=CG,由勾股定理可得结论.

【详解】解：如图，过点C作。G1AH于G,

'：AB=AE,

:.ZAED=ZABE,

.•.Zfi4E=180°-2ZA£D,

.\ZCAE^ZBAE-ZBAC=90°-2ZAED,

AE=AC,

:.ZACE=ZAEC,

ZCAE+ZACE+ZAEC=1SQ0,

:.ZAEC^45°+ZAED,

ZBEC=ZAEC-ZAED=45°,

：.ZFEH=45°,

AH±BE,

.\ZFHE=ZFEH=45°,

EF=FH,

又-NEFH=90°,

EH=ylEF2+FH2=y[2EF，

ZFHE=45°,CG±FH,

.-.ZGCH=ZFHE=45°,

:.GC=GH,

CH=VCG2+GW2=0CG，

ZBAC=ZCGA=90°,

:.ZBAF+ZCAG=90°,ZCAG+ZACG=90°,

:.ZBAF=ZACG,

又=ZAFB=ZAGC,

AFB^CGA(AAS)

:.AF=CG,

CH=72AF，

在RtAE户中，AE2=AF-+EF2-

..----C/l+----LLri—I\Df

<27V?,7

EH2+CH'=2AB',

VAB=6,CH=3,

；•EH=377；

故答案为：377.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰

当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

三、解答题(本题共7小题，共55分)

2x+l〉-9①

16.解不等式组3x+l…，并把它的解集表示在数轴上.

----------1>%(2)

I2

1111A1111a

-3-2-1012345

【答案】lWx<5；数轴见解析

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；

大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大

取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可.

【详解】解：解不等式①，得x<5,

解不等式②，得x21,

.•.原不等式组的解集为：lWx<5,

将不等式的解集在数轴上表示为

»AII1111A»

-3-2-1012345

<Y।1、尤2_7Y

17.先化简：------1-----------，然后从012,3中选一个合适的光的值代入求值.

(x-2)x-4x+4

、3

【答案】一，当x=l时，原式=3；当x=3时，原式=1

x

【解析】

【分析】根据分式的性质，乘法公式，分式的混合运算进行化简，再根据分式有意义的条件，代入求值即可.

【详解】解：［言—1］x2-2x

x2-4x+4

_।x+1x-2),x(x-2)

x-2j(x-2)2

3x-2

=----------X-----------

x-2x

3

=一,

x

由题意得：x(x—2)#0,

xw0和xw2,

/.从0,1,2,3中选一个合适的％的值有x=1或x=3,

一33

当x=l时，原式=一=3；当x=3时，原式=—=1.

13

【点睛】本题主要考查分式的性质，乘法公式，分式的混合运算，分式有意义的条件，代入求值等知识，掌握以上

知识的综合运用是解题的关键.

18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，VA3C的顶点均在格点上，在建立平面直

角坐标系后，点C的坐标为(-2,-1).

(1)将VA5C向上平移6个单位得到△A4G,画出△A51G；

(2)以(0,—1)为对称中心，画出VA3C关于该点对称的△A与C?；

(3)经探究发现，△A4C］和△出与c2成中心对称，则对称中心坐标为.(注意：请先用铅笔，然后

再用签字笔描）

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）（0,2）

【解析】

【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，中心对称的定义和性质，图形结合思想是

解题的关键.

（1）根据图形平移的性质即可求解；

（2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可，绕旋转中心旋转180°即可；

（3）连接对应点的连线的交点即可求解.

【小问1详解】

解：分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点4、耳、G，再顺次连接4、耳、G，如图.

解：连接44、四为、交于点。，如图.

则。(0,2),即对称中心坐标为(0,2).

19.为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔(单位：盒)与画板(单位：个)两种写生

工具数量若十.已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2

元.

(1)请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？

(2)根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少

购买画板多少个？

【答案】(1)购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元

(2)18个

【解析】

【分析】(1)设购买一盒画笔需要了元，一个画板需要(4-2)元，根据用340元购买画笔与用300元购买画板的

数量相同列出方程，解方程即可；

(2)设购买画板4个，则购买画笔(30-a)个，根据购买这些写生工具的总费用不超过475元列出不等式解不等

式即可.

【小问1详解】

解：设购买一盒画笔需要1元，一个画板需要(％-2)元，

解得：x=17,

经检验，x=17是原方程的解，且符合题意，

则x—2=15,

答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元.

【小问2详解】

解：设购买画板。个，则购买画笔(30-a)个,

根据题意有17(30—a)+15a<475,

解得：a>17.5,

根据题意可知。为整数，

■■a的最小值为18.

答：至少购买画板18个.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程或不等式,

注意最后对分式方程的解进行检验.

20.如图，在平行四边形A3CD中，对角线AC,BD交于点、O,AE±BD，CF±BD,垂足分别为E，

F，连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECE为平行四边形；

(2)若BD=8,ABD=30°,求四边形AECE的面积.

【答案】(1)见解析(2)26

【解析】

【分析】(1)证ABE^rCDF(AAS),得AE=CF,再由AE//CF1,即可得出结论；

(2)由平行四边形的性质得。3=L3。=4,再由含30。角的直角三角形的性质得。4=,。3=2,

22

OE=^OA=1,则AE=^,然后求出SAOE=，3,即可解决问题.

22

【小问1详解】

证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

:.NABE=NCDF,

AE±BD,CFLBD,

:.NAEB=NCFD=9。。,AE//CF,

在，A3E和VCDF中，

ZAEB=NCFD

<ZABE=NCDF,

AB=CD

ABE^^CDF(AAS),

:.AE=CF,

又•.AE//CF,

，四边形AECE为平行四边形；

【小问2详解】

解：四边形ABCD是平行四边形，BD=8,

:.OB=-BD=4,

2

ABLAC,

:.^BAC=90°,

，AB£)=30。，

:.OA=-OB=2,ZAO5=90°-30。=60。，

2

AE±BD,

：.ZAEO=9Q°,

ZOAE=90°-/AOE=30°,

:.OE=-OA=1,

2

2

AE=yjo^-OE=A/22-12=A/3,

；.S=-OE-AE=-xlx^^—，

AOE222

$四边形AECF=4SAOE=4x9=•

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股

定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

21.定义：对任意一个两位数如果。满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为

“慧泉数”.将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数

的和与11的商记为/(«).

例如：a=12,对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33,和与H的

商为33+11=3,所以3(12)=3.

根据以上定义，回答下列问题：

(1)填空：下列两位数：40,51,66中，“慧泉数”为；

(2)计算：

①/(13)；@fdOa+b).

(3)如果一个“慧泉数”机的十位数字是x,个位数字是x-4,另一个“慧泉数”〃的十位数字是％—5,个位

数字是2,且满足/(加)一/(〃)<8,求x.

【答案】(1)51(2)①"13)=4；@f(10a+b)=a+b

(3)x=6或x=8

【解析】

【分析】(1)根据“慧泉数”的定义分析即可；

(2)根据73)的定义求解即可；

(3)根据⑵中②的结论可写出/(〃。与/5)的表达式，代入/(W—/5)<8解不等式，结合“慧泉数”个位

数字与十位数字的特点可得x的值.

【小问1详解】

解：51的个位数字与十位数字不同，且都不为0,51为“慧泉数”.

【小问2详解】

13+31.j...］、(10a+b)+(10b+a)ll(a+0).

解：f(13)=--------=4,f(10na+b)=-----------------------=--------=a+b.

111111

【小问3详解】

解：m,〃均为慧泉数，

0<x<9

0<%-4<9

.■,<0<x-5<9,解得x=6或8或9.

xw尤一4

x—