2022年全国新高考II卷数学试题变式题17-19题-(学生版+解析)

2022年全国新高考II卷数学试题变式题17-19题原题171．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．变式题1基础2．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.（1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列；（2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围.变式题2基础3．已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．变式题3基础4．设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值．变式题4基础5．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．变式题5巩固6．已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.变式题6巩固7．在数列中，已知，()．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．变式题7巩固8．已知数列和满足，，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.变式题8巩固9．已知数列的首项，且满足N*）．(1)求证：数列为等比数列；(2)若＜100，求满足条件的最大正整数n．变式题9提升10．已知数列的前n项和，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．变式题10提升11．已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，求满足不等式成立的所有正整数，组成的有序实数对．变式题11提升12．已知等差数列的公差为，前项和为，且．(1)求数列的通项公式和；(2)若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．变式题12提升13．已知是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)试求所有的正整数m，使得为数列中的项.原题1814．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．变式题1基础15．如图，在中，，，，点D在边BC上，且．(1)求AD；(2)求的面积．变式题2基础16．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB与△ABC的面积；(2)求线段AD的长．变式题3基础17．内角，、、对应的边分别为、、，且，(1)求；(2)若，求的面积．变式题4基础18．在中，内角对应的边分别为，，向量与向量互相垂直.(1)求的面积；(2)若，求的值.变式题5巩固19．在中，，，分别是角，，的对边．若，，．(1)求的长；(2)求的面积．变式题6巩固20．在中，角所对的边分别为平分，交于点，已知，.(1)求的面积；(2)若的中点为，求的长.变式题7巩固21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是线段BC上一点（不包括端点），且AD⊥AC，求△ABD的面积．变式题8巩固22．如图，在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.(1)求的面积；(2)当，求MN的长.变式题9提升23．已知△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且.(1)求边a；(2)当时，求△的面积.变式题10提升24．如图，在四边形中，.(1)求的长；(2)若，求的面积.变式题11提升25．已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，函数图象的一条对称轴的方程为，角C为函数的零点.(1)若，求面积的最大值；(2)若D为BC边上一点，且的面积为8，角B为锐角，，，求AC的长.变式题12提升26．在中，角、、所对的边分别为，，，已知．(1)若，，若为的中点，求线段的长；(2)若，求面积的最大值．原题1927．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.变式题1基础28．某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.年龄（岁）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）[55，60）合计人数681123189580(1)求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率.变式题1基础29．在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示.成绩人数62442208(1)试估计本次质检中数学测试成绩样本的平均数（以各组区间的中点值作为代表）；(2)现按分层抽样的方法从成绩在及之间的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行试卷分析，求这2人的成绩都在之间的概率.变式题3基础30．我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．变式题4基础31．如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出、的数据）和频率分布直方图.(1)求全班人数以及频率分布直方图中的、；(2)估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）.(3)从得分在和中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？变式题5巩固32．某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400.(1)求出直方图中a，b，c的值；(2)估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)若从得分在区间内的学生中抽取2人编号为A，B，从得分在区间内的学生中抽取6人编号为1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，求事件“1，2帮助A”的概率.变式题5巩固33．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；(3)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.变式题7巩固34．某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．(1)求直方图中的值；(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．变式题8提升35．某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、.(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分；(2)从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率；(3)已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率.变式题9提升36．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；(3)已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．变式题10提升37．新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人.(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）；(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率.变式题11提升38．《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．(1)请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值和方差．(2)若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件，，）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．①将y表示为x的函数；②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计且y不少于68万元的概率．变式题12提升39．为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失．请大家完成下面的问题：(1)根据直方图求以下表格中、的值；成绩频数(2)求参赛同学初赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；(3)若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．（写出求解步骤）2022年全国新高考II卷数学试题变式题17-19题原题171．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．变式题1基础2．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.（1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列；（2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围.变式题2基础3．已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．变式题3基础4．设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值．变式题4基础5．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．变式题5巩固6．已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.变式题6巩固7．在数列中，已知，()．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．变式题7巩固8．已知数列和满足，，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.变式题8巩固9．已知数列的首项，且满足N*）．(1)求证：数列为等比数列；(2)若＜100，求满足条件的最大正整数n．变式题9提升10．已知数列的前n项和，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．变式题10提升11．已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，求满足不等式成立的所有正整数，组成的有序实数对．变式题11提升12．已知等差数列的公差为，前项和为，且．(1)求数列的通项公式和；(2)若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．变式题12提升13．已知是公差不为0的等差数列，为其前n项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)试求所有的正整数m，使得为数列中的项.原题1814．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．变式题1基础15．如图，在中，，，，点D在边BC上，且．(1)求AD；(2)求的面积．变式题2基础16．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．(1)求cosB与△ABC的面积；(2)求线段AD的长．变式题3基础17．内角，、、对应的边分别为、、，且，(1)求；(2)若，求的面积．变式题4基础18．在中，内角对应的边分别为，，向量与向量互相垂直.(1)求的面积；(2)若，求的值.变式题5巩固19．在中，，，分别是角，，的对边．若，，．(1)求的长；(2)求的面积．变式题6巩固20．在中，角所对的边分别为平分，交于点，已知，.(1)求的面积；(2)若的中点为，求的长.变式题7巩固21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是线段BC上一点（不包括端点），且AD⊥AC，求△ABD的面积．变式题8巩固22．如图，在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.(1)求的面积；(2)当，求MN的长.变式题9提升23．已知△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且.(1)求边a；(2)当时，求△的面积.变式题10提升24．如图，在四边形中，.(1)求的长；(2)若，求的面积.变式题11提升25．已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，函数图象的一条对称轴的方程为，角C为函数的零点.(1)若，求面积的最大值；(2)若D为BC边上一点，且的面积为8，角B为锐角，，，求AC的长.变式题12提升26．在中，角、、所对的边分别为，，，已知．(1)若，，若为的中点，求线段的长；(2)若，求面积的最大值．原题1927．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.变式题1基础28．某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.年龄（岁）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）[55，60）合计人数681123189580(1)求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率.变式题1基础29．在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示.成绩人数62442208(1)试估计本次质检中数学测试成绩样本的平均数（以各组区间的中点值作为代表）；(2)现按分层抽样的方法从成绩在及之间的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行试卷分析，求这2人的成绩都在之间的概率.变式题3基础30．我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．变式题4基础31．如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出、的数据）和频率分布直方图.(1)求全班人数以及频率分布直方图中的、；(2)估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）.(3)从得分在和中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？变式题5巩固32．某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400.(1)求出直方图中a，b，c的值；(2)估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)若从得分在区间内的学生中抽取2人编号为A，B，从得分在区间内的学生中抽取6人编号为1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，求事件“1，2帮助A”的概率.变式题5巩固33．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；(3)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.变式题7巩固34．某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．(1)求直方图中的值；(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．变式题8提升35．某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、.(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分；(2)从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率；(3)已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率.变式题9提升36．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；(3)已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．变式题10提升37．新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有660人.(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）；(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分在的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在之间的概率.变式题11提升38．《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．(1)请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值和方差．(2)若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件，，）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．①将y表示为x的函数；②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计且y不少于68万元的概率．变式题12提升39．为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失．请大家完成下面的问题：(1)根据直方图求以下表格中、的值；成绩频数(2)求参赛同学初赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；(3)若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率．（写出求解步骤）参考答案：1．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．2．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据数列的递推关系化简，结合等差数列定义即可证明；（2）由和与通项关系求得数列通项公式，分析数列的单调性即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴．∵，所以，是以为首项，以为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，∴．当时，，∵，所以，的通项公式为．∴，，，，，．当时，，即，也就是说，数列从第项起，是递减数列．所以，实数的取值范围是．3．(1),(2)【分析】（1）由与的关系可求得，由等比数列的基本量，可得；（2）根据单调性及不等式的解可求解问题.（1）因为数列的前n项和为，所以当时，；当时，，满足上式，故.所以，从而,化为，又因为数列为正项等比数列且，设公比为，且，又，解得或（舍），从而.（2）不等式转化为，即，记，，当时，，从而单调递减，所以.因此使不等式成立的所有正整数组成的集合为.4．(1)(2)4【分析】（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式.（2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值.（1）解：由题意得：设数列的公比为．由，得，即成等差数列，即，解得，或（舍去）．（2）由，当时，，两式相减得，，对也成立所以设当n为奇数时，可递减数列，所以当n为偶数时，为递增数列，所以所以的最小值为4．5．(1)(2)【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.（1）因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以6．（1）证明见解析；（2）最小值为.【分析】（1）将递推关系式变形为即可证明；（2）先求出数列的通项公式，再分奇偶讨论求，然后解不等式即可.【详解】（1）由得：，即，即有数列是常数数列；（2）由（1）知：即，当为偶数时，，显然无解；当为奇数时，，令，解得：，结合为奇数得：的最小值为所以的最小值为【点睛】方法点睛：一般根据递推关系式要证明数列为什么数列，就根据递推关系式同构成要证明的数列的结构即可.对于含有调节数列的结构在求和时一般要分奇偶讨论.7．（1）证明见解析；（2）10．【分析】（1）由递推式可得，并求出，依据等比数列的定义可证结论；（2）由（1）求出，进而写出，应用裂项相消法求，最后依据题设不等式求的范围，进而确定其最小值.【详解】（1）证明：由，得，从而，∴，又，故数列为等比数列；（2）解：由（1）得，故，∴，，令，则，解得，∵，∴．故使得的整数n的最小值为10；8．（1），；（2）或.【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，即可得出的通项公式，利用裂项求和法可求得的通项公式；（2）利用错位相减法结合分组求和法可求得，根据已知条件可得出关于的二次不等式，结合可得出的取值.【详解】（1）对任意的，，则，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，故，，因为，所以，；（2）设数列的前项和为，则，所以，，上式下式，得，所以，，，则，由可得，整理可得，解得，因为，故或.9．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和可得答案.（1）解：，，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）可知，，，若，则，令，所以在上单调递增，且，所以满足条件的最大正整数．10．（1）证明见解析；（2）n的最大值为4．【分析】（1）根据的关系，讨论、求对应的，再结合题设，即可证是等差数列；（2）由（1）可得，由通项公式，应用裂项相消法求，根据即可求n的最大值．【详解】（1）证明：∵，∴当时，，即，当时，，则，整理得，∵，即．当时，，又∴数列是首项和公差均为1的等差数列．（2）由（1）得，∴．∴∴由，得，故，∴n的最大值为4．11．(1)；(2)正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2).【分析】（1）设等比数列的公比为q，由题得，解方程组即得解；（2）化简得，等价于，由题得m=1，2．解不等式即得解.（1）解：依题意，有，代入，得，解得，所以，设等比数列的公比为q，则，解得或.又单调递减，所以，，于是．（2）解：由（1）知，，所以．则因为，所以又，所以，所以m=1，2．当m=1时，由，解得n=1；当m=2时，由，解得n=1，2．综上，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2)．12．(1)，(2)【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得.（2）利用错位相减求和法求得，由求得实数的取值范围.（1）为等差数列，且，，即，又公差，．，所以，．（2），，，①，②①②得，，，，，且，时，，又，时，，存在，使得对任意，总有成立．，，实数的取值范围为.13．(1)；(2).【分析】（1）先把已知条件用及d表示，然后联立方程求基本量，写出通项公式.（2）由（1）得，根据等差数列通项公式知为整数且m为正整数，进而求出m，并验证是否符合题设.（1）由题设，，可得，所以.（2）由（1）知：，若使为数列中的项，则必须为整数且m为正整数，因此得或，当时，，而是数列的最小项，故不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以.14．(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.15．(1)(2)【分析】（1）先求，然后通过正弦定理即可得结果；（2）通过余弦定理解出三角形，再计算面积即可.（1）由题意得．在中，由正弦定理，得（2）由余弦定理，得，解得．因为，所以，所以．故的面积为．16．(1)；(2)4【分析】（1）利用余弦定理和面积公式，代入求解，（2）在△ABD中利用正弦定理，代入计算．（1）根据题意得：，则∴△ABC的面积（2）∵∠ADC＝60°，则在△ABD中由正弦定理，可得17．(1)(2)【分析】（1）由条件结合正弦定理求出，求出，，再分析求解即可；（2）根据题意求出，所以，再求解面积即可.（1）因为，，，，所以，所以，又所以，，所以（2）因为，所以，又，所以，所以为锐角，所以，所以，所以18．(1)(2)【分析】（1）首先根据向量运算得到，，，再求面积即可.（2）利用余弦定理求解即可.（1）因为，解得，因为，所以，.有因为，所以，所以的面积.（2），所以.19．(1)4(2)【分析】（1）根据，结合两角和的正弦公式化简可得，再根据余弦定理计算即可；（2）利用同角三角函数的关系求得，再利用面积公式求解即可（1）因为，，所以，又，所以，在中，由余弦定理得整理可得，解得或（舍去），即的长为4．（2）因为，，，所以，所以20．(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理结合角平分线求出边c即可计算作答.（2）利用（1）的结论直接计算作答.（1）在中，，，由余弦定理得：，即，，则，在中，，由正弦定理得：，又，则，即有，，所以的面积.（2）由（1）知，，所以.21．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简后再利用正弦定理统一成边的形式，从而可求出的值，（2）在△ABC中由正弦定理结合二倍角公式可求得，则可求得，从而可求出，然后利用三角函数恒等变换公式可求出，则可得，再求出，从而可求出△ABD的面积（1）由及正弦定理得，∴，即，∴，．（2）如图，在△ABC由正弦定理得，即，解得，∵∴，∴，．∵，∴，显然C为锐角，由易求得，又∵，∴，∴．22．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．（1）在中，，则由正弦定理得：，，则因为，则或（不合题意，舍去），则的面积为（2）在中，，，由余弦定理可得则有，所以在直角中，，，则23．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理角化边即可求解；（2）利用余弦定理和三角形面积公式即可求解.（1）由余弦定理可知，，即，整理得，解得，（2）在△中，，，，由余弦定理可得，，∴,∴，∴.24．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式求解的余弦值，利用余弦定理即可求解的长；（2）利用正弦定理求得的长，利用三角形内角和为求解的正弦值，最后利用三角形面积公式即可求解.（1）解：因为，所以由余弦定理得：，所以.（2）由正弦定理得，所以，故，，则为锐角，，所以，所以的面积为.25．(1)(2)【分析】（1）根据函数的解析式，利用辅助角的公式和正弦函数的性质求出常数m的值，根据已知条件求出角C的值，再利用余弦定理、基本不等式及三角形的面积公式即可求解；（2）利用三角形的面积公式求出的值，在中，利用正弦定理即可求解；或在中，利用余弦定理的推论、同角三角函数的基本关系及诱导公式求出的值，在中，根据正弦定理，结合已知条件即可求解.（1）解：由题意，函数，其中.因为为函数图象的一条对称轴，所以，所以，解得，所以，因为，，可得，在中，根据余弦定理得，又因为，所以，当且仅当时取等号，所以的面积.（2）解：因为的面积为，所以，解得，因为，所以，在中，根据余弦定理得，可得，在中，可得，所以，所以，在中，根据正弦定理得，可得，解得.26．(1)；(2).【分析】由余弦定理可得，设长度为x，列出和，即可求得结果；利用余弦定理及基本不等式即可求得，进而利用三角形面积公式即可求得结果.（1）解：，，根据余弦定理可知，，解得，为的中点，则为边的中线，设长度为x，,,，，解得，即线段的长度为．（2）解：由余弦定理可得：，即，当且仅当时取到等号，则．则面积最大值为．27．(1)岁；(2)；(3)．【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．（1）平均年龄

（岁）．（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．28．(1)0.016，；(2).【分析】（1）根据频率分布直方图的定义和性质，求得a的值以及平均年龄；（2）先求出[55，60）的员工中男女员工人数，再列出取出2人的所有的情况，由古典概型可得至少有1名女员工的概率.（1）由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060)×5=1，解得a=0.016.则男员工的平均年龄（2）该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人.由（1）知，男员工年龄在[25,35)的频率为，所以男员工共有（人），女员工共有（人），所以年龄在[55,60）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60）的员工中随机抽取2人，则有，共有10种可能情形，其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为.29．(1)(2)【分析】（1）根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，即可求得本次质检中数学测试成绩样本的平均数；（2）设成绩在的有1人记为，成绩在的有4人记为，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.（1）解：根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的平均数为.（2）解：由题意知，随机抽取的5人中，成绩在的有1人记为，成绩在的有4人记为，从中随机抽取2人有，，，，，，，，，，共有10种可能，其中成绩都在之间有的，，，，，，共有6种可能，所以这2人成绩都在之间的概率.30．(1)(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；（2）根据频率分布直方图，及第百分位数的概念计算即可；（3）计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取人的所有情况，然后求得概率．（1）本次考试成绩的平均数为.（2）因为前3组频率之和为，前4组频率之和为，所以第百分位数在第4组中，设为，则，解得.第百分位数是.（3）第五组与第六组学生总人数为，其中第五组有人，记为、、、，第六组有人，记为、、，从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，其中至少人成绩优秀的情况有种，所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．31．(1)25（人），，；(2)平均数为71.4，中位数约为；(3).【分析】（1）根据茎叶图，结合频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1进行求解即可；（2）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的定义进行求解即可；（3）利用对立事件概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.（1）分数在的频率为，由茎叶图知，分数在之间的频数为，∴全班人数为（人），分数在之间的频数为，则，由解得；（2）平均数为，∵，∴中位数在内，设中位数为，则，解得，∴中位数约为；（3）得分在内的人数为人，记为、、，得分在内的人数为人，记为、，从这人中随机抽取两人的所有基本事件为：、、、、、、、、、，共个，其中所抽取的两人都在的基本事件为：、、共个，则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率为.32．(1)、、(2)中位数约为，平均数为；(3)【分析】（1）首先由的人数求出，再根据等差中项的性质及频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；（2）设中位数为，则，即可得到方程，解得即可，再根据平均数公式计算可得；（3）列出所有可能结果，再找出符合题意的基本事件，最后利用古典概型的概率公式计算可得；（1）解：依题意，又且，解得，；（2）解：因为，设中位数为，则，所以，解得，即中位数约为；平均数为（3）解：从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，所以可能结果为（只列出帮助的学生），，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件，其中满足1，2帮助的有，，，共个，故满足“1，2帮助”的概率33．(1)70.5(2)71.67(3)0.6【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算公式可得；（2）根据频率分布直方图中中位数计算公式可得；（3）先计算每个分组中的人数，再根据分层抽样的方法选出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再计算两组各有一人被抽取的概率.（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数（2）因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两组各有一人被抽取的概率为.34．(1)0.01；(2)中位数是，平均数是；(3).【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答.（2）利用频率分布直方图求中位数、平均数的方法列式计算作答.（3）求出分数在的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答.（1）由频率分布直方图得：.（2）由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62，因此，该校语文成绩的中位数，则，解得，语文成绩的平均数为，所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是.（3）由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，因此抽取的5人中，分数在内