2023年北京市初三二模数学试题汇编：二次函数的图象和性质

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编二次函数的图象和性质一、解答题1．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)若，试说明：；(3)点，在该抛物线上，若，，中只有一个为负数，求α的取值范围．2．（2023·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点．(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)过该抛物线与轴的交点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，，是图形上的点，设．①当时，求的值；②若，求的取值范围．3．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若，当时，求y的取值范围；(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．4．（2023·北京平谷·统考二模）已知抛物线，若点，，在抛物线上．(1)该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）；(2)若当时，，则的值为______；(3)若对于时，都有，求的取值范围．5．（2023·北京大兴·统考二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求抛物线的对称轴；(2)已知点，点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围．6．（2023·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．(1)求出该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(2)当时，对于任意的正数，若点在该抛物线上，则_________（填“>”“<”或“=”）；(3)已知点．若该抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．7．（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，．(1)当时，比较，的大小关系，并说明理由；(2)若存在，，满足，求m的取值范围．8．（2023·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的点．(1)当时，求抛物线对称轴，并直接写出与大小关系；(2)若对于任意的，都有，求的取值范围．9．（2023·北京房山·统考二模）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．(1)若抛物线经过点，求a和n的值；(2)若抛物线上存在两点和，．①判断抛物线的开口方向，并说明理由；②若，求a的取值范围．

参考答案1．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）直接把代入抛物线解析式中求解即可；（2）先求出，再由，即可得到；（3）先求出，然后分类讨论a的取值范围，根据，，中只有一个为负数进行求解即可．【详解】（1）解：把代入中得：；（2）解：由（1）得，∵，∴，∴；（3）解：∵点，在该抛物线上，∴；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点一定满足对应函数的函数解析式是解题的关键．2．(1)顶点为，(2)①；②【分析】（1）将点代入中，得出，进而将解析式化为顶点式，即可求解；（2）①根据解析式得出抛物线与轴交点为，当时，进而求得，即可求解；②与轴交于点，抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得，在对称轴的左侧，，关于对称，分，，分别求得，，根据题意解不等式即可求解．【详解】（1）解：将点代入中，得解得：∴抛物线解析式为∴对称轴为直线，顶点为，（2）①当时，，当时，，∴抛物线与轴交点为，∵，是图形上的点，即∴，∴；②，当时，，∴与轴交于点，∴抛物线在轴右侧的部分关于直线翻折可得∵对称轴为直线∴在对称轴的左侧，∴，∵，关于对称∴当，即时，即∴∵∴，当，即时，，∴，∵，∴，解得：∴

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．(1)直线(2)(3)【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）根据，比距离对称轴远，分别求得时的函数值即可求解；（3）根据题意得出为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，分当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上，∵，比距离对称轴远，∴时，的最小值为，当时，，∴当时，求y的取值范围为；（3）解：∵，，对称轴为直线，∴为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，当在对称轴的左侧时，∴当在对称轴的右侧时，∴，不合题意，舍去∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；（2）把代入，得，求解即可；（3）分类讨论：当时，当时，当时，当时，分别求解即可．【详解】（1）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线．（2）解：当时，，∴，把代入，得，解得：．（3）解：当时，∵，∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵，，，∴，即点P和点M在对称轴右侧，∴，不符合题意；当时，∵，又∵，，，∴，∴点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近，∴，不符合题意；当时，∵，，，，若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离，∴，∵，∴；当时，∵，，，，若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，∴，∵，∴，综上，或．【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键．5．(1)(2)【分析】（1）将点代入，得到，即可求得抛物线的对称轴；（2）根据抛物线对称性可得点B关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的性质可得，即可求得．【详解】（1）解：将点代入得：整理得：∴对称轴为：∴抛物线的对称轴为直线．（2）解：∵∴点B关于对称轴的对称点坐标为，∵∴抛物线开口向上，∵点，在抛物线上，且∴，∵∴解得．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的对称性求值，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．6．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得出：，再计算当时，的值即可得出答案；（2）根据，抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称轴越远，函数值越大，分别算出点和点距离对称轴的距离即可比较的大小；（3）由可以得出，再分、，进行讨论即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴，当时，，∴抛物线的顶点坐标是；（2）∵，∴抛物线开口向上，∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，点距离对称轴的距离为：，点距离对称轴的距离为:，∵，∴，∴距离对称轴比距离对称轴更远，∴，故填：；（3）∵，∴，当时，∵抛物线的对称轴是直线，且该抛物线与线段恰有一个公共点，故顶点为，把代入得：，∴；当时，∵当时，，∴抛物线过，∵抛物线的对称轴是直线，∴抛物线过，∴抛物线与的交点一个在轴的左侧，一个在的右侧，∵该抛物线与线段恰有一个公共点，∴当时，，∴，∴；综上所述：或．【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线综合，抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键．7．(1)，理由见解析(2)【分析】（1）当时，，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据，的大小判断与对称轴的距离，结合，即可得出答案；（2）根据题意可知满足，即与关于对称轴对称，当时，则的最小值要比时的对称点0小，的最大值要比时的对称点3大，解不等式组即可．【详解】（1）；理由：∵，∴抛物线的对称轴是直线当时，∵，，对称轴是直线∴比离对称轴近∵，抛物线开口向下∴（2）∵∴与关于对称轴对称∵∴即解得【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找的取值范围．8．(1)抛物线的对称轴为，(2)或【分析】（1）当时，抛物线，抛物线过点，，根据对称轴公式即可得到对称轴，再根据点比点离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，即可得到与大小关系；（2）分三种情况：①当时；②当时；③当时，，分别讨论即可得到答案．【详解】（1）解：当时，抛物线，抛物线过点，，抛物线的对称轴为，点比点离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，；（2）解：①当时，，，恒成立，，，，；②当时，，，恒不成立，舍去；③当时，，，，恒成立，，，，，，综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．9．(1)，(2)①开口向上，理由见解析；②【分析】（1）把代入，求得，从而得抛物线解析式为，再根据抛物线的对称轴为直线，即可求得．（2）①根据当，又对称轴为，得是抛物线的顶点，再根据，且，所以点B在顶点A的上方，即可得出抛物线开口向上；②设，根据所以或，将抛物线平移，使其顶点落在坐标原点，根据平移a的值不变，平移后抛物线表达式为，此时，则或，将或代入得，即可得出．【详解】（1