2025年高考数学一轮复习：第五章平面向量与复数

第五章

平面向量与复数

第一节平面向量的概念及运算

［学习要求］

1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何

表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数

乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运

算性质及其几何意义.

1必备知识自主梳理

［知识梳理］

知识点一向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大

向量平面向量是自由向量

小叫做向量的长度，（或称模）

零向量长度为0的向量记作0,其方向是任意的

单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为土谭丁

方向相同或相反的非零向量（又叫

平行向量0与任意向量平行或共线

做共线向量）

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

知识点二向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

a+b=b~\~a；

三角形法则

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

3

a(Q+6)+c=a+___Cb

平行四边形法则+c)

求。与6的相反向量

减法—6的和的运算叫做aa-b—a-\-(一b)

。与6的差

三角形法则

|九a|=|/||（7|；

A(fia)=(Xjn)a；

求实数4与向量。的当力＞0时，觞的方向与a的方向

数乘(i+/z)q=2a+〃a；

积的运算相同；当力＜0时，觞的方向

与a的方向相反；当4=0

2(a+b)=Xa~\~Xb

时，Xu=0

知识点三共线向量定理

向量a（aWO）与6共线的充要条件是存在唯一一个实数4,使得b=Ia.

学生用书I第115页

［小题诊断］

1.（多选）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若a,6都为非零向量，则使备+备=0成立的条件是。与6反向共线

D.若Q=b,b=c,则a=c

答案：BCD

解析：零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0,

ab,ab

故B正确；因为丁与7yp都是单位向量，所以只有当了［与7VT是相反向量，即Q与b是反向共

线时才成立，故C正确；由向量相等的定义知D正确.

2.（2024•北京模拟）化简同+近一前等于（）

A.DCB.CD

CADD.CB

答案：A

解析：AB+BC-AD=AC-AD=DC.

3.（2024•四川绵阳模拟）已知/（-2,4）,C（一3,-4）,且而=3刀，则点M的坐标

为—.

答案：（0,20）

解析：由题意得？1=（—2+3,4+4）=（1,8）,所以而=3m=（3,24）.

设/（X,»）,则屈=（x+3,y+4）=（3,24）,

所以｛=之笳解得｛=2°6,

故点"的坐标为（0,20）.

4.已知口/BCD的对角线/C和2。相交于点O,且耐=a,而=6,则沆=,丽=（用

a,b表示）.

答案：b~a—a~b

,关键能力重直探直二

考点一平面向量的有关概念

［例1］下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量a,b,必有|a+b|W|a|+|6|

D.若a,b满足|a|>|b|且〃与b同向，则a>b

［答案］c

［解析］依题意，

对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B,平行向量就是共线向量，故错误；

对于C,若a,6同向共线，|a+b|=|a|+|/）|,

若a,6反向共线，|a+b|<|a|+||,

若a,6不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知|a+b|<|a|+|6|,

综上可知对于任意向量a,b,必有|a+b|W|a|+|6|,故正确；

对于D,两个向量不能比较大小，故错误.

|方法总结|

向量概念的注意点

1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

由跟踪训练

1.下列命题中正确的是（）

A.若a=b,则3a>26

B.BC-BA-DC=AD

C.\a\+\b\=\a+b\^a与b的方向相反

D.若|a|=|b|=|c|,则a=b=c

答案：B

解析：对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错误；

对于B选项，BC-BA-DC=AC+CD=AD,故B正确；

对于C选项，|a|+㈤=|a+b|oa与6的方向相同，故C错误；

对于D选项，若|a|=|b|=|c|,但a,b,c的方向不确定，故D错误.

考点二平面向量的线性运算

⑥角度（一）向量加、减法的几何意义

［例2］在平行四边形ABC。中，祐+石＜+丽等于（）

A.B1B.DX

C.DCD.BC

［答案］A

［解析］画出图形，如图所示，

n___“

.I

AB

AB+CA+JD=（4S+B0）+CA^AD+CA=CA+AD^CD^BA.

⑥角度（二）向量的线性运算

［例3］（2024•河北保定模拟）如图，在平行四边形/BCD中，E是CD的中点，NE和AD相交

于点F.记荏=a,AD^b,则（）

—>21—>21

A.CF=一利一qbB.CF=§a+§b

—>12—>12

C.CF=一铲一qbD.CF=-ja~\~^b

［答案］A

［解析］在平行四边形48CD中，£是。。的中点，

,~DEDF1

因为所以西=而=5，

~11

所以DF=3BF=］BD,

则CF=CO+DR=—AB-\-^DB=-48+式48—AD^——§48—§/£)=一利一?b.

⑥角度（三）根据向量的线性运算求参数

[例4](2024•四川绵阳模拟)如图，在△ABC中，丽=2而，P为C。上一点，且满足而=%

—>1——

AC-\-^AB(加£R),则加的值为.

1

［答案］4

,)1>)))3>

［解析］因为AP=冽4cAD=2DB,即48=利。,

所以i4P=加24。+2718=机24。+424£).

又C,P,。三点共线，

31

所以加+公=1,解得冽=£.

学生用书I第116页

|方法总结|

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2

)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形

的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.三种运算法则的关注点

(1)加法的三角形法则要求"首尾相接"，平行四边形法则要求“起点相同

(2)减法的三角形法则要求"起点相同"且差向量指向“被减向量

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

评跟踪训练

2.(2024•河南驻马店模拟)在A48C中，|通+方|=|前一同|=|同+近|,则AISC是()

A.等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案：A

解析：因为赤+而=万，AC-AB=BC,AB+JC=AC,\AC+~CB\=\AC-AB\=\AB+BC\,

所以|同|=|前|=|前I，所以A48C是等边三角形.

3.(2022•新高考/卷)在AIBC中，点。在边48上，BD=2DA.蜿l=m,CD^n,则丽=

()

A.3机一2〃B.-2m+3〃

C.3加+2〃D.2加+3〃

答案：B

解析：由题意可知，DA=CA—CD=m—n,又BD=2DA,所以=21M=2(冽一〃),所以CB=

CD+DB=n—2(m—〃)=3〃—2m.

4.在ZUBC中，若丽=2丽，CD=^CA+^Bf贝I］丸=.

套口^案Ts；■・-3

解析：法一：由前=2而，知aB,。三点共线，

12

所以§+2=1,从而4=*

法二：由题意知方=8?+而，①

而=丽+丽，②

且24D+2BD=0.①+②义2,得3cZ)=C4+2CB,所以CD=§a4+§CB,所以幺=?

考点三平面向量共线定理的应用

⑥角度(一)向量共线问题

［例5］已知向量。=(-1,2),b=(1,2024),向量%=a+2b,”=2。一舫.若mg,则实数

k—.

［答案］—4

［解析］根据题意可知明6不共线,

若冽|历，则使得加=力7,即〃+2b=/lQ2a-kb）—2Xa—kXb,

则可得QL=.队解得］；二"

⑥角度（二）三点共线问题

［例6］（2024・四川绵阳模拟）已知平面向量a,6不共线，AB=4a+6b,BC=~a+3b,CD=a

+36,贝!I（）

A.A,B,。三点共线

B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线

D.A,C,。三点共线

［答案］D

［解析］对于A,BD=BC+CD=~a+3b+（a+3b）=6b,与荏不共线，A错误；

对于B,AB=4a+6b,BC^~a+3b,则同与丽不共线，B错误；

对于C,BC=-a+3b,CD=a+3b,则近与而不共线，C错误；

对于D,AC=AB+BC=4a+6b+（＜—a+3b'）=3a+9b=3CD,

即就||而，又线段/C与CZ）有公共点C,所以/,C,。三点共线，D正确.

|方法总结|

用向量共线证明三点共线问题的注意点

证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两

向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

由跟踪训练

5.（2024•广东广州模拟）在A42C中，〃是“C边上一点，＞AM=|MC,N是AW上一点.若丽="

AC+mBC,则实数优的值为（）

1111

A.-3B-6C-6D3

答案：D

-->1-->-->-->

解析：由4M=#/C,得出4C=34M,

-->1-->-->-->1-->-->-->=[^+rn^AC—mAB

由ZN=g/C+冽得24N=g/C+机(AC—AB)

=Q+3m

因为N,三点共线，所以©+）（一加）

8,M3ni+1,解得加=§.

6.（2024•山西太原模拟）如图，在A4BC中，。是5。边的中点，万=领，C尸的延长线与交

于点N,则()

—>1—>BAN=^AB

A.aN=RB

-->1--»—>1—>

C.AN=^ABD.AN^AB

答案：B

解析：设方=2前,

则而=痴=扛；（AB+AC）1―>1-->A-->1—>

=AB+-7AC=TAN+AC.

7OOOO7

因为N,P,C三点共线,

所以%+%=1,解得2=5,

-->-->-->1-->

所以A8=5AN,所以aN=jl8.

学生用书I第339页

■课时作业巩固提个

[A组基础保分练]

1.若。为任一非零向量，b的模为1,给出下列各式:

①IaI>I6|；②a||b；③IaI>0；④|6|=±1.

其中正确的是（）

A.①④B.③

C.①②③D.②③

答案：B

解析：|a|的大小不能确定，故①错误；两个非零向量的方向不确定，故②错误；向量的模是一

个非负实数，故④错误，③正确.

2.（2024•河北邯郸模拟）化简方一丽+说所得的结果是（）

A.2ABB.2BA

c.oDJA

答案：c

解析：JA-~PB+AB='PA+AB-~PB=7B-JB=O.

3.下列说法正确的是（）

A.若向量。与6共线，6与c共线，则。与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C.若向量。与6不共线，则。与6都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

答案：C

解析：对于A,6可能是零向量，故A错误；对于B,两个向量可能在同一条直线上，故B错误；

对于C,0与任何向量都是共线向量，故C正确；对于D,平行向量可能在同一条直线上，故D错

、口

沃.

4.设a,6是非零向量，%力=|a||b向是％怙”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：由数量积定义知ab—|a|,|6|cos0—|a|•|6|（。为a,6夹角）,所以cos。=1,

[0°,180°],所以<9=0°,所以包|6;反之，当。|仍时，a,6的夹角6=0°或180°,a-b=±\

a\■\b\.

5.如图，在四边形4BCD中，。为两条对角线的交点，且荏=沆，则必有（）

£>_________C

丁

AB

KAD=CBB.O1=OC

CAC=DBD.D0=0B

答案：D

解析：•.•在四边形48cD中，AB=DC,：.AB^CD,AB\\CD,四边形48co为平行四边形，.•.而

=0B,

6.（2024•广东汕头模拟）如图，D,E分别为/C,2c的中点，设航=a,而=6,厂是的中

点，则而=（）

C

ZD/F\AE

AB

1111

A.]a+卧B.一印+卧

1111

C%Q+aD.-4。+/

答案：C

解析：因为。，£分别为/C,的中点，咒是DE的中点，

—>—>—>1—>1—»1—»1—>

所以AF=AD+OF=2aC+20E=^AC+-^AB,

7.（多选）下列命题是真命题的是（）

A.若N,B,C,。在一条直线上，则同与而是共线向量

B.若/,B,C,。不在一条直线上，则同与而不是共线向量

C.若向量荏与而是共线向量，则4,B,C,。四点必在一条直线上

D.若向量近与左是共线向量，则/,B,C三点必在一条直线上

答案：AD

解析：A项为真命题，A,B,C,。在一条直线上，则向量同，而的方向相同或相反，因此同与

而是共线向量；B项为假命题，A,B,C,。不在一条直线上，则同，丽的方向不确定，不能判

断方与而是否共线；C项为假命题，因为诟，而两个向量所在的直线可能没有公共点，所以/,

B,C,。四点不一定在一条直线上；D项为真命题，因为同，左两个向量所在的直线有公共点

A,且荏与左是共线向量，所以N,B,C三点共线.

8.（多选）下列命题正确的有（）

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.单位向量都相等

C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D.“若/,B,C,。是不共线的四点，且同=比”。"四边形N3C。是平行四边形”

答案：AD

解析：方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；

单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向

量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A,B,C,。是不共线的点，

AB=~DC,即模相等且方向相同，即平行四边形/BCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.

9.设|a|=8,|b|=12,则|a+b\的最大值与最小值分别为.

答案：20,4

解析：当a,6共线同向时，|a~\-b|=|a|+|b|=8+12=20,

当a,6共线反向时，|a+b1=1IaI—I6II—4.

当a,b不共线时，||a|—|6||<|a-\-b|<|a|+|Z?|,即4<|a-\-b\<20,所以最

大值为20,最小值为4.

10.设向量Q,b不平行，向量与一平行，则实数%=.

答案：-4

1

解析：•.•〃，b不平行，•,•q+ybWO,—Q+6W0.

又a+4Ab与一a-\~b平行，

・,・存在实数〃，使q+yb=/z(―。+6),

=1，

根据平面向量基本定理得|々〃.」=—4.

11.已知Q,b是不共线的向量，且荏=九。+4AC=a+X2b^v々ER).若力，B,。三点共线，则

丸1及=.

答案：1

解析：若/,B,。三点共线，则而，通共线，所以存在实数九使得前=4荏，则°+426=/1

(2]Ci+6),整理得(1—24])a+(42—力6=0.

因为a,b不共线，所以l="i,且&=九消去九得见状2=1.

12.在zMBC中，。为△/IBC的重心.若丽=4荏+必尼，求力+2〃的值.

解：如图，连接20并延长2。交NC于点M.

•.•。是A48C的重心，.・.M为NC的中点,

---->2-----»2/I---->1---->\

；.B0=qBM=§(/A+Cj

1—>1—>1—>1—>—»

=——式CAC—AB)

2—>1—>

=一748+孑4c.

----»---->----»21

又・，・2=一〃=§,

21

••・2+2//=—§+2义京=0.

学生用书I第340页

[B组能力提升练]

13.(2024•安徽芜湖模拟)如图，在等腰梯形中，AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上

靠近C的三等分点，点尸为线段3C的中点，则而=()

11—>5—>11—>11—>

B.--^AB-\—^AC

A.—lo+记1O4。

11—>4—»1----»5----»

一而-\~qAC

C.ioyD.-^AB+^AC

答案：A

,---->>»1>1>1>>1(>21>1>2>2>

解析：由题图，得FE="+CE=/C+/O=](AC-AB)+^BA+^CB)=^AC-^AB+-^AB-^AC

1—»11—>5—>

--^AB=--r^AB-\-^AC.

5lolo

14.已知向量a,b不共线，且c=xa+b,d=a+(2x—1)6.若c与d共线，则实数x的值为

()

1

A.lB.—2

1i

C.l或一2D.-1或一2

答案：c

解析：因为c与d共线，则存在《£R,使得d=Ar,即Q+(2X_1)b=kxa-\-kb.

〃Y=1

{k=2x-l,整理可得x(2%—1)=1,即2N—x—l=0,

解得x——2或1.

15.如图所示，已知点G是A43C的重心，过点G作直线分别与N2,NC两边交于M,N两点，设

xAB=AM,yAC=AN,贝的值为()

A

BC

A.3B.4

C.5D.6

答案：A

解析：延长4G交3。于点“（图略），则以为8C的中点，

•；G为AABC的重心,

-'-AG=^AH=^y^2（ZB+4C）=§CABAC）=§（/M+p4N，=£24M+豆ZN.

,:M,G,N三点共线，

1111

.*.3Q-%-1-丁3y=1,'即一x~I-y-=3.

16.（多选）设a,6是不共线的两个平面向量，已知所=a+sina?,其中ad（0,2兀），砺=2a

—b若P,Q,R三点共线，则角a的值可以为（）

答案：CD

解析：因为a,6是不共线的两个平面向量，所以2a—6W0,即砺W0.因为尸，Q,R三点共线，

所以所与武共线，所以存在实数九使所=4减，所以a+sina-6=2%一幼，所以［＜消:解

lol1luvzL,

r•17nlln

仔sina=-5.又（0,2兀）,故1可为■或

17.（多选）下列命题正确的是（）

A.若/,B,C,D四点在同一条直线上，且N8=CD,则屈=而

B.在△yiBC中，若。点满足万?+而+方=0,则。点是AIBC的重心

。若。=（1,1）,把。向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（3,1）

cdeg\

（1^十而丁），则P点的轨迹经过A43C的内心

答案：BD

解析：对于A,如图，

ABDC

A,B,C,。四点满足条件，但而手而,故A错误；

对于B,设8c的中点为。，当51+南+左=0时，能得到（OB+OC）,所以。！=—2

OD,所以。是A42C的重心，故B正确；对于C,向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两

cdeg

个量，故C错误；对于D,根据向量加法的几何意义知，以我行，而不为邻边所得到的平行四边

形是菱形，点P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得尸点在//C3的平分线

所在直线上，故D正确.

18.设。为八42。所在平面内一点，而=一］同+如.若近=2反（RR）,则力=.

答案：一3

解析：为所在平面内一点，AD=~^AB+^AC,：.B,C,。三点共线.

—>>—>>—>>----->1>A——1—>11

又BC=IDC（AeR）,.-.AC-AB=XAC-XAD,即4。=利8+〒4。，则元=一号，解得2=—3.

19.若点C在线段48上，且冬=|,则左=AB,前二AB.

32

合案：5一二

解析：设4C=3左（）>0）»则CB=2k,：.AB=5k,

---->3---->---->2----->

：.AC=^ABfBC=—^AB.

20.（2024•云南丽江模拟）在A48C中，点。在线段NC上，且满足|而|=：|前|,。为线段

8。上任意一点，若实数x,y满足而=x^+询，贝心+；的最小值为_______.

4y

答案：4+2收

解析：由题意知点。满足而=显，故而=x^+y前=工荏+3歹而，由点0,B,。三点共线可

得x+3y=l,x>0,y>0,贝4+：=G+J（x+3y）=4+?+言4+2后当且仅当?=1即x

=A/3'—1，3—J3时等号成立•

学生用书I第117页

第二节平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示

［学习要求］1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分

解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共

线的条件.

工必备知识自主梳理

［知识梳理］

知识点一平面向量基本定理

如果白，小是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量Q,有且只有

一*对实数丸1，22'使4=2工包+打⑦.

其中，不共线的向量｛的，该｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

知识点二向量线性运算的坐标表示

1.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

2.平面向量线性运算的坐标表示

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设（修，jvi），b—（M，为），则

a-\-b=（利+和，

a-b=（和一秘，力一”2），

Aa=（Axi,44i），IaI=J=］+y】.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设4（修，为），3（必，及），贝U

AB=（初一知及一"1），

22

\AB\=_J（x2—x1）+（y2—y1）_.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=（xi，y\）,b=yi）>其中6W0,则all6=Xjjy2一苫2也=0.

［小题诊断］

1.（2024•四川成都模拟）已知向量ei，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，

不能作为基底的是（）

A.{e1,er—e2}B.{e1+e2,e1~3e2）

C.{e1一2气,-3e1+6%}D.{2C］+30，2e1一3气}

答案：C

解析：对于A,假设ei,为一共线，则存在使得（为一名），

因为白，益不共线，所以没有任何一个丸£R能使该等式成立，

即假设不成立，也即白，的一名不共线，则能作为基底；

对于B,假设的+以，—322共线，则存在使得的+。2=2（?1—3功），

即{2算上1无解，所以没有任何一个九GR能使该等式成立，

即假设不成立，也即为+以，勺一3功不共线，则能作为基底；对于C,因为一34+6七=—3（ei—

2七），所以两向量共线，不能作为一组基底；

对于D,假3殳2%+3以，2白一3七共线，则存在2£R,

使得2ei+3e2=2（2勺-3。2）,

即{上式:飞无解，所以没有任何一个26R能使该等式成立，即假设不成立，也即2ei+3e2,2e1一

3e2不共线，则能作为基底.

2.若4=（6,6）,b=（5,7）,c=（2,4）,则下列结论成立的是（）

A.a-c与b共线B.b+c与a共线

C.Q与c共线D.a+b与c共线

答案：C

解析：a-c=(4,2),因为4X7—5X2=18W0,所以Q—c与b不共线;

b+c=(7,11),因为7X6—6X11=—24W0,所以b+c与Q不共线；

b~c=(3,3),因为3X6—6X3=0,所以〃与b—c共线；

a+b=(11,13),因为11X4—2X13=18W0,所以Q+6与。不共线.

3.已知向量〃=(2,3),b=(—L2),若加a+筋与Q—2b共线，贝匕=.

分口7享H.■--2

4.已知O为坐标原点，向量方=(2,3),OB=(4,-1),且而=3而，则|而|

答案：\

,关键能力重点探究。

考点一平面向量基本定理及应用

您角度(一)用基底表示向量

［例1］(2024・湖北黄冈模拟)如图，在梯形/BCD中，4BIICD,48=48,点E在线段C5

上，且CE=2£8.设施=a,AD=b,则荏=()

5115

A.§a+2bB.5〃+能

1331

C.§Q+4b口孕+§6

［答案］D

—»1—»

［解析］在梯形4BCD中，ABWCD,且48=4CD,则DC=”B.

---->1---->

因为点£■在线段C2上，且CE=2EB,则

---->---->---->---->13

BC=BA-\-AD-\-DC=—a+b+,a=b-不z,

.--->>>>1>1（3\31

所以，AE—AB-\-BE—AB-\-^BC—a-\-^\b一4a）=,a+效.

学生用书I第118页

您角度（二）利用基底求参数

［例2］（2024•山东青岛质检）在△/8C中，AN=^NC,若尸是直线3N上的一点，且满足而=加

AB+^AC,则实数m的值为（）

A,-4B,-1

C.lD.4

［答案］B

［解析］根据题意，设丽=〃丽（〃GR）,

则而=屈+而=万+〃丽=同+〃（AN-AB）=同+〃（显一砌=（1-n）AB+^AC.

又AP=mAB+gXC,

（l-n=m,r=2

所以［号，解得｛Qn>

⑥角度（三）利用基本定理确定点

［例3］（多选）设点M是A48C所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若前=显+显，则点M是边8c的中点

B.若前=2同一左，则点M在边3C的延长线上

C.若箱=一前一而，则点〃是A42C的重心

D.若加=x荏+y尼，且x+y=］,则AWC的面积是AABC的面积的|

［答案］ACD

---->1--->1--->1---->1--->1--->1---->---->---->

［解析］对于A,由AM=248+24C,得2aB=必。一/1M,即8M=MC,则点M是边3c的

中点，所以A选项正确；对于B,由莉=2同一而，^^AM-AB^AB-AC,所以前=而，则点

“在边C2的延长线上，所以B选项错误；对于C,设3c边的中点为，由前=一前一说，得

AM=MB-\-MC=2MD,由重心定义可知C选项正确；对于D,由4M=x4B+”4C,且x+y=J,

得2前=2x屈+2y尼，2x+2y=l,设。为A43C所在平面内异于点M的一点，且而=27而，所

以而=2x屈+2y*，2x+2y=l,可知3,C,。三点共线，所以△MBC的面积是A48C的面积的

1

2，所以D选项正确.

|方法总结|

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、

减法或数乘运算，基本方法有两种：

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.

(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

2.三点共线定理：A,B,P三点共线的充要条件是：存在实数九出使方=251+”赤，其中2+

〃=1,。为4B外一点.

内跟踪训练

1.(2024•安徽六安模拟)如图，在A43C中，。为线段2C的中点，点、E,尸分别是线段上靠

近D,/的三等分点，则前=()

--»1>1»>

A.—BE—qCFB.—/E—CF

-->—>4»—»

C.-BE-CFD,-gBE-CF

答案：C

解析：JE=~BD+~DE=~BD-^AD,则荻5="|丽一|旗①；

—>>>>2>-->3>3—>

CF=CD+DF=CD~^AD,则4D=]C。一,CF②；

①十②两式相加，|AD=-|CF-|BE,即而=一血一而.

2.如图，在平行四边形中，NC与8。相交于点。，丽=3反.若而=4族+必而（九

〃GR）,则如（）

DC

E

A^---------

1

A.—2B.—2

1

C，2D.2

答案：B

解析：因为在平行四边形48cD中，/C与2。相交于点O,可得。为AD的中点，

-->-->-->1-->1-->]-->]--»

由EB=3DE,可得K为。。的中点，所以AEuiaO+EADu裨O+EBC,

可得而=2荏一说，

又由4。=九4E+〃BC,所以4=2,〃=一1,所以「=-2.

3.已知向量万5,方不共线，向量无=x瓦?+y话，则下列命题正确的是()

A.若x+y为定值，则/,B,C三点共线

8.若工=y，则点C在/4OB的平分线所在直线上

C.若点C为&4OB的重心，则x+y=l

D.若/,B,C三点共线，则x+y=l

答案：D

解析：向量51,相不共线，向量方=x51+M万，则当x+y=l时，OC=xOA+(1-x)OB,即

Jc=xBA,A,B,C三点共线，x+y为其他定值时，A,B,C三点不共线，命题A错误，命题D

正确；若了=%由方=》就+了而，得瓦=x(O1+OS),则点C在以方，而为邻边的平行四

-->-->-->2

边形的对角线上，命题B错误；若点、C为AAOB的重心,由。C=x。4+yOB,得x+y=§,命题C

错误.

考点二平面向量的坐标运算

⑥角度(一)点与向量的坐标表示

[例4](2024•内蒙古赤峰模拟)如图，在四边形/BCD中，ZDAB=120°,ZDAC=30°,AB=

1,/C=3,AD=2,AC^xAB+yAD,贝ljx+y=()

3,

AD

A.2点B.2

C.3D.6

［答案］A

［解析］以Z为坐标原点，以4D为x轴，过点/作4。的垂线为歹轴，建立平面直角坐标系,

则4（0,0）,5（-1,y）,C（孚，

D（2,0）,

故前=（孚,|）,荏=（4或而=（2,0）,

故x+y—2^.

学生用书I第119页

|方法总结|

1.向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑

坐标运算.

2.解题过程中，常利用"向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解.

⑥角度（二）向量线性运算与共线的坐标表示

［例5］(2024•山东威海模拟)平面内给定三个向量。=(3,2),b=(-1,2),c=(4,

1).

(1)若(a+Ar)||(2Z?—6?),求实数左；

(2)若d满足(d—c)II(〃+b),且|d-c\=事,求d的坐标.

［解］(1)2b—a—2(—1,2)—(3,2)=(—5,2),

a~\~kc=(3,2)~\~k(4,1)=(4左+3,左+2).

由(〃+左c)||(2b—。)得一5(左+2)=2(4左+3),

16

.次=一行.

(2)设d=(x,y),c=(x,y)—(4,1)=(X—4,y—1),

且"一。=加(a+b)=m(2,4)=(2m,4m),

-'-2m=x-4,4m=y—1,

又|d-c|=*=|m|，4+16,.,.m=±|,

1

.,・当加=2时，d—(5,3),

1

当m=12时，d=(3,-1).

|方法总结|

1.一般地，在求与一个已知向量。共线的向量时，可设所求向量为加"ER

、然后结合其他条件列出

关于a的方程，求出4的值后代入而即可得到所求的向量.

2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若。=(孙