2024年中考数学重难点押题预测《几何最值问题综合》含答案解析

几何最值问题综合、、、、题型一1.①异侧型→②同侧型→2.①同侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)(往靠近对方的方向)同侧型异侧型②异侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)【1(2023•泸州)如图，EF是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线ACPE+APPF取得最小值时，PC27的值是ꢀꢀ．1找出点E关于AC的对称点E'，FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时P的位C置的值即可．【E关于AC的对称点E'，FE'交AC于点P'，PE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF≥E'F，故当PE+PF取得最小值时P位于点P'处APC∴当PE+PF取得最小值时的值的值即可．PC∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上过点F作FG⊥AB交AC于点G，则∠GFA=90°，AE'=AE，∵四边形ABCD是正方形∴∠DAB=∠B=90°∠CAB=∠ACB=45°，∴FG∥BC∥AD∠AGF=∠ACB=45°，∴GF=AF，∵EF是正方形ABCD的边AB的三等分点∴AE'=AE=EF=FB，132AEGFCAEAFAEGF12122∴GC=AC，===，∴AG=AC，=，31132∴AP'=AG=×AC=AC，3392979∴P'C=AC-AP'=AC-AC=AC，2979ACACC27∴==，27故答案为．2(2023•德州)ABCD中，∠A=90°AD∥BCAB=3BC=4E在ABAE=1．FG为边ADFG=1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为4ꢀꢀ．2先确定FG和ECCGFECG+EFCG到C'FE关于AD对称点E'E'C'交AD于点G'到CG+EFG与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．∵∠A=90°AD∥BC，∴∠B=90°，∵AB=3BC=4AE=1，∴BE=AB-AE=3-1=2，在Rt△EBC中，EC=BE∵FG=1，+BC2=2+42=25，∴四边形CGFE的周长=CG+FG+EF+EC=CG+EF+1+25，∴四边形CGFECG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'BA到E'AE'=AE=1E'FE'C'E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F=EF，∵AD∥BC，∴C'F=CGCC'=FG=1，∴CG+EF=C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG=C'G'，∵E'B=AB+AE'=3+1=4BC'=BC-CC'=4-1=3，E'C'=EB+2=4+32=5，∵AG'∥BC'，EABEB534∴=，=，154解得C'G'=154即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．15故答案为：．43(2023•绥化)如图，△ABC是边长为6E为高BD上的动点．连接CECE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AFEFDF△CDF周长的最小值是ꢀ3+33ꢀ．3△BCE≌△ACF∠CAF=∠CBE=30°F在△ABC∠CAF=30°的射线AFDF+CF的最小值便可求得本题结果．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=6∠ABC=∠BCA=60°，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF，∵CE=CF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，1212∴∠CBE=∠ABC=30°CD=AC=3，过C点作CG⊥AFAF的延长线于点GCG到HGH=CGAHDHDH与AG交于点ICIFH，12则∠ACG=60°CG=GH=AC=3，∴CH=AC=6，∴△ACH为等边三角形，∴DH=CD•tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI=HICF=FH，∴CI+DI=HI+DI=DH=33，CF+DF=HF+DF≥DH，∴当F与IDFH三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=33，∴△CDF的周长的最小值为3+33．故答案为：3+33．4(2024•衡南县模拟)y=-2x+4分别与x轴，y轴交于ABP(10)直线AB上取一点My轴上取一点NMNMPNPMN+MP+NP的最小值是()42558552855A.3B.1++C.10作点P关于y轴的对称点EP关于AB的对称点FENEMEFFMFPFP交AB于CF作FD⊥x轴于DEN=NPFM=MPFP⊥ABOE=OPFC=PCMN+MP+NP=MN+FM+EN据得MN+FM+EN≥EFMN+MP+NP≥EF此MN+MP+NP的最小值为线段EFA(20)B(04)OA=2OB=4P(10)得OP=1OE=OP=1PA=OA-OP=1AB=25△PAC∽△BAO得PC：255455OB=PAABPC=PF=证△PFD∽△BAO得FDOA=PDOB=PF：45818ABFD=PD=ED=OE+OP+PD=Rt△EFD中由勾股定理求出EF55即可得MN+MP+NP的最小值．P关于y轴的对称点EP关于AB的对称点FENEMEFFMFPFP交AB于CF作FD⊥x轴于D则EN=NPFM=MPFP⊥ABOE=OPFC=PC，∴MN+MP+NP=MN+FM+EN，MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y=-2x+4x=0时，y=4x=0时，x=2，∴点A(20)B(04)，∴OA=2OB=4，又∵点P(10)，∴OP=1，∴OE=OP=1PA=OA-OP=2-1=1，在Rt△OAB中，OA=2OB=4，由勾股定理得：AB=+OB2=25，∵FP⊥ABFD⊥x轴，∠BOA=90°，∴∠PCA=∠BOA=∠PDF=90°，又∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PCOB=PAAB∠APC=∠ABO，即PC4=1:25，255∴PC=，5255∴FC=PC=，455∴PF=FC+PC=，∵∠APC=∠ABO∠BOA=∠PDF=90°，∵△PFD∽△BAO，∴FDOA=PDOB=PFAB，45即FD2=PD4=:25，5485∴FD=PD=，585185∴ED=OE+OP+PD=1+1+=，．184在Rt△EFD中，ED=FD=，552855由勾股定理得：EF=ED+FD2=故选：C．5(2023•龙马潭区二模)y=-x-3x+4与轴交于，两点点在点的左侧xAB(AB)y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为-3E为yF在以点A为圆心，2为半DE+EF的最小值ꢀ65-2ꢀ．先求出点A(-40)D(-34)D关于y轴对称的点TT(34)接AE交与轴于M，交⊙A于NT作TH⊥x轴于H接AFE与点MF与点N重合时，DE+EF为最TNRt△ATH中由勾股定理求出TATNy=-x-3x+4y=0时，-x-3x+4=0，解得：x=-4x=1，12∴点A的坐标为(-40)，对于y=-x-3x+4x=-3时，，y=4∴点D的坐标为(-34)，作点D关于y轴对称的点T点T(34)，连接AE交与轴于M⊙A于N点T作TH⊥x轴于HAF，当点E与点MF与点N重合时，DE+EFTN的长．理由如下：当点E与点MF与点N不重合时，6根据轴对称的性质可知：DE=TE，∴DE+EF=TE+EF，TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴当点E与点MF与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T(34)A(-40)，∴OH=3TH=4OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7TH=4，由勾股定理得：TA=AH+TH2=65，∴TN=TA-AN=65-2．即DE+EF为最小值为65-2．故答案为：65-2．6(2024•碑林区校级一模)(1)Rt△ABC中，∠ABC=90°AB=6BC=8D是边AC的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABCPQ是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值；(2)ABCDAB=2003米，BC=400在边DC的中点EA10米为半径的圆弧上选一处点PBC上选一处点QQ10米为半径的半圆的三等分点的MN处开两个南门．线段PMNEPM+NE最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．(1)作点D关于BC的对称点D′接D′QAPD′作D′E⊥AB交AB的延长线于EQD=QD′DK=D′KAPQD′在同一条直线上时，PQ+QD=AD′-APDK∥AB，可得△CDK∽△CABDK=3CK=4(2)连接MQNQ点Q作QK⊥MN于KA关于直线MN的对称点A′E向左平移10米得到点E′E′作E′L∥ABA′作A′L⊥E′L于LA′MA′E′E′MQ在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为53PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)E′L与GH的交点为TQ作QK⊥MN于KE′L∥AA′得△E′MT∽△A′MGBQ的值．7(1)D关于BC的对称点D′接D′QAPD′作D′E⊥AB交AB的延长线于E，则QD=QD′DK=D′K，∴PQ+QD=PQ+QD′=AQ-AP+QD′，当APQD′在同一条直线上时，PQ+QD=AD′-AP取得最小值，∵∠ABC=90°AB=6BC=8，∴AC=AB+BC2=6+82=10，∵点D是边AC的中点，1∴CD=AC=5，2∵DK∥AB，∴△CDK∽△CAB，DKABCKBCCDACDK6CK8510∴====，∴DK=3CK=4，∴D′K=3BK=4，∵∠E=∠EBK=∠BKD′=90°，∴四边形BED′K是矩形，∴D′E=BK=4BE=D′K=3，∴AE=AB+BE=6+3=9，∴AD′=AE+E2=9+42=97，∵AP=2，∴PQ+QD的最小值=97-2；(2)MQNQQ作QK⊥MN于KA关于直线MN的对称点A′E向左平移10米得到点E′E′作E′L∥ABA′作A′L⊥E′L于L接A′MA′E′E′M，∵MN是半圆Q10，∴△QMNMN∥BCMN=10，∵QK⊥MNQM=10米，∴QK=53米，∴随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为53的直线上运动，∵EE′∥MN且EE′=MN=10米，∴四边形EE′MN是平行四边形，∴NE=ME′，∴PM+NE=PM+ME′≥AM-AP+ME′=AM+ME′-10，∵E是CD的中点，12∴DE=CD=1003，∴E′L=AA′-DE=2(AB-QK)-DE=2×(2003-53)-1003=2903(米)，A′L=BC-E′E=400-10=390(米)，在Rt△A′E′L中，A′E′=+E2=390+29032=201011，∴PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)米；此时△MNQ在如图③的△M′N′Q位置，8设E′L与GH的交点为TQ作QK⊥MN于K，′∵∠CBG=∠BGK=∠GKQ=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，MTMGETG∴=，∵MT=390-MGE′T=EH=1003-53=953(米)A′G=AG=2003-53=1953(米)GT=390米，390-MG9531953∴=，MG760529∴MG=(米)，760529775029∴GK=GM+MK=+5=(米)，7750∴BQ=GK=米，297750∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为米．297(2023•卧龙区二模)综合与实践问题提出(1)l上找一点PP到两个定点A和BPA+PB的和最小()；思维转换(2)E是直线ll的距离为4MN是直线l上的动线段，MN=6MENEME+NEMNE在平行于直线lME+NE的最小值；拓展应用(3)ABCD中，AD=2AB=25BDEF分别是边BCADBE=AFEF作EM⊥BDFN⊥BDMNAMAN△AMN周长的最小值．9(1)作点A(2)将MN看作定点，E(1)作法可解；(3)由相似得出MN(2)作法求出AM+AN(1)P为所求．A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点PAP=A′P，∴AP+BP=A′P+BP，∵两点之间线段最短，∴A′P+BPPA+PB的和最小．(2)E作直线l∥l点N关于l的对称点N′MN′l于点P，111则PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵点E到直线l的距离为4，∵NN′=8，∵MN=6，∴MN′=6+82=10，∴PM+PN=10ME+NE的最小值为10．(3)A作l∥BDAH⊥BD于点HM关于l的对称点M′M′N，由(2)得M′N为AM+AN的最小值，10∵AB=5AD=25，∴BD=∴AH=5+252=5，5×25=2，5∴MM′=4，设ME=x，由△ABD∽△BME得，BM=2xBE=5x，∴AF=5x，∴DF=25-5x，由△DNF∽△ABD得，DN=4-2x，∴MN=5-2x-(4-2x)=1，∵l∥BDMM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N=4+12=17，∴△AMN周长的最小值为17+1．动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：1定义法--圆(或圆弧)2定边对直角--(或圆弧)3．定边对定角--(或圆弧)8(2023•黑龙江)Rt△ACB中，∠BAC=30°CB=2E是斜边ABRt△ABC绕点ARt△AFDCB旋转后的对应点分别是点DFCFEFCE的过程中，△CEF面积的最大值是ꢀ4+3ꢀ．线段CEF到CE距离最大时，△CEF∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC=30°E是AB的中点，1112∴AB=2BC=4CE=AE=AB=2AC=AB•cos30°=23，∴∠ECA=∠BAC=30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，1∴AG=AC=3，2∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF=AB=4，∴点F到CE的距离最大值为4+3，12∴S=CE⋅4+3=4+3，故答案为：4+3．9(2023•永寿县二模)ABCD中，AB=4M是ADP是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为ꢀ4-22ꢀ．AM作⊙O与CD相切于点P'P运动到点P'处时，∠AP'MAM的中点为NOP'DNRt△MON股定理求出ONDP'CP的长．AM作⊙O与CD相切于点P'PM与⊙O交于点Q接AP′MP′OMOP′，AQ，则∠AP'M=∠AQM>∠APM∠OP′D=90°，∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大，作ON⊥AD于点N，12则MN=AN=AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∴四边形OP'DN是矩形，∵AB=4M是AD的中点，∴AM=DM=2MN=1，∴OM=OP'=DN=DM+MN=3，在Rt△MON中，ON=OM-MN2=3-12=22，∴DP'=ON=22，∴CP'=DC-DP'=4-22，∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4-22．故答案为：4-22．1210(2023•营口一模)ABC和等边三角形ADENM分别为BCDE的中点，AB=6AD=4△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为ꢀ53ꢀ．M是在以AMAANAMAMAAN与圆交于点M′MAN三点共线时，MN理分别算出AMANMN的最大值M′N=AN+AM′=AN+AM．ANAMAMAAN与圆交于点M′∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AMA为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′MAN三点共线时，MNM′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点NM分别为BCDE的中点，AB=6AD=4，∴AN⊥BCAM⊥DEBN=3DM=2，在Rt△ABNAN=AB-BN2=33，在Rt△ADMAM=AD-DM2=23根据旋转的性质得，AM′=AM=23，∴M′N=AN+AM′=53MN的最大值为53．故答案为：53．，11(2023•定远县校级一模)4的⊙O中，CDAB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点DF所经过的路径长23π3为ꢀꢀ．由∠AFC=90°点F在以ACE与BF与GE与DF与AE从点B出发顺时针运动到点DF所经过的路径长为AGAG∵CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的圆上运动，以AC为直径画半圆AC接OA，13当点E与BF与G重合，当点E与DF与A重合，∴点E从点B出发顺时针运动到点DF所经过的路径长为AG的长，∵点G为OD的中点，1212∴OG=OD=OA=2，∵OG⊥AB，∴∠AOG=60°AG=23，∵OA=OC，∴∠ACG=30°，∴AC=2AG=43，∴AG所在圆的半径为2360°，60π×2323π3∴AG的长为=，18023π3故答案为：．12(2024•兰州模拟)综合与实践△ABC中，AB=AC∠BAC=90°D为平面内一点(点ABD三点不共线)AE为△ABD的中线．(1)如图1AE至点MME=AEDM．始终存在以下两个结①DM=AC∠MDA+∠DAB=180°；(2)如图2AD绕点A顺时针旋转90°得到AFCF．小斌同学沿着小林同学的思考进12一步探究后发现：AE=CF(3)如图3(2)D在以点A为圆心，AD为半径的圆上运动(AD>AB)AE与直线CF相交于点GBGD的运动过程中BG存在最大值．若AB=4BG的最大值．(1)利用SAS证明△ABE≌△MDEAB=DMAB=ACDM=AC等三角形性质可得∠BAE=∠DME∠MDA+∠DAB=180°；(2)延长AE至点MME=AE接DM．利用SAS证得△ACF≌△DMACF=AM1212AE=AMAE=CF；14(3)延长DA至MAM=ADAM交CF于N接BM交CF于KAC中点P接GP△ACF≌△ABM(SAS)AE∥BMAG∥BM1212GP=AC=AB=2G在以P为圆心，2为半径的⊙PBP并延长交⊙P于G′，可得BG′的长为BG(1)∵AE为△ABD的中线，∴BE=DE，BE=DE在△ABE和△MDE中，∠AEB=∠MED，∴△ABE≌△MDE(SAS)，∴AB=DM，AE=ME∵AB=AC，∴DM=AC；②由①知△ABE≌△MDE，∴∠BAE=∠DME，∴AB∥DM，∴∠MDA+∠DAB=180°；(2)AE至点MME=AEDM．由旋转得：AF=AD∠DAF=90°，∵∠BAC=90°∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF=360°，∴∠BAD+∠CAF=180°，由(1)②得：∠MDA+∠DAB=180°DM=AB=AC，∴∠CAF=∠MDA，AF=AD在△ACF和△DMA中，∠CAF=∠MDA，AC=DM∴△ACF≌△DMA(SAS)，∴CF=AM，1∵AE=AM，21∴AE=CF；2(3)如图3DA至MAM=ADAM交CF于NBM交CF于KAC中点PGP，由旋转得：AF=AD∠DAF=90°，∴AF=AM∠MAF=180°-90°=90°，∵∠BAC=90°，∴∠MAF+∠CAM=∠BAC+∠CAM，即∠CAF=∠BAM，AC=AB在△ACF和△ABM中，∠CAF=∠BAM，AF=AM∴△ACF≌△ABM(SAS)，∴∠AFC=∠AMB∠AFN=∠KMN，15∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵EA分别是DBDM的中点，∴AE是△BDM的中位线，∴AE∥BMAG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵点P是AC的中点，1212∴GP=AC=AB=2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在Rt△ABP中，BP=AB+AP2=4+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．13(2022•沈阳(1)如图1△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°C在OA上D在BO的延ADBCAD与BC的数量关系是AD=BC；(2)如图21中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°)(1)问的结论是否仍然成立？(3)如图3AB=8C是线段AB外一动点，AC=33BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CDADAD的最大值是ꢀ8+36ꢀ；②若以BC为斜边作Rt△BCD(BCD三点按顺时针排列)∠CDB=90°AD∠CBD=∠DAB=30°AD的值．(1)证明△AOD≌△BOC(SAS)16(2)利用旋转性质可证得∠BOC=∠AOD△AOD≌△BOC(SAS)(3)①过点A作AT⊥ABAT=ABBTADDTBD△ABC∽△TBDDT=36D的运动轨迹是以T为圆心，36D在AT的延长线上时，AD为8+36；②如图4AB上方作∠ABT=30°A作AT⊥BT于点T接ADBDDTT作TH⊥323292AD于点H△BAC∽△BTDDT=AC=×33=DHAHAD5AB下方作∠ABE=30°A作AE⊥BE于点EDE△BAC∽△BTD92出DE=AD．(1)AD=BC．理由如下：如图1∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OBOD=OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD=BC，故答案为：AD=BC；(2)AD=BC仍然成立.2∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD=90°+α，即∠BOC=∠AOD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD=BC；(3)①过点A作AT⊥ABAT=AB接BTADDTBD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT=2ABBD=2BC∠ABT=∠CBD=45°，BTABBDBC∴==2∠ABC=∠TBD，∴△ABC∽△TBD，DTACBTAB∴==2，∴DT=2AC=2×33=36，∵AT=AB=8DT=36，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，36为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD8+36，故答案为：8+36；②如图4AB上方作∠ABT=30°点A作AT⊥BT于点TADBDDTT作TH⊥17AD于点H，BTABBDBC32∵==cos30°=∠ABC=∠TBD=30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，DTACBDBC332∴==，392∴DT=AC=×33=，22在Rt△ABT中，AT=AB•sin∠ABT=8sin30°=4，∵∠BAT=90°-30°=60°，∴∠TAH=∠BAT-∠DAB=60°-30°=30°，∵TH⊥AD，∴TH=AT•sin∠TAH=4sin30°=2AH=AT•cos∠TAH=4cos30°=23，652在Rt△DTH中，DH===，652∴AD=AH+DH=23+；如图5AB上方作∠ABE=30°A作AE⊥BE于点EDE，BEABBDBC32则==cos30°=，∵∠EBD=∠ABC=∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，DEACBEAB332∴==，392∴DE=AC=×33=，2212∵∠BAE=90°-30°=60°AE=AB•sin30°=8×=4，∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90°，∴AD=综上所述，AD的值为23+172==；652172或．14(2023•金平区三模)ABCD中，AB=6BC=15232E为BCBE=F为ABEFEF绕着点E顺时针旋转45°到EGFG和CGCG的32最小值为ꢀ+32ꢀ．18BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ETDE交CG于J．首先证明∠ETG=90°G的在射线TGCG⊥TG时，CG的值最小．BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ETDE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6∠B=∠BCD=90°，∵∠BET=∠FEG=45°，∴∠BEF=∠TEG，∵EB=ETEF=EG，∴△EBF≌△ETG(SAS)，∴∠B=∠ETG=90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，15232∵BC=BE=CD=6，∴CE=CD=6，∴∠CED=∠BET=45°，∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，∴四边形ETGJ是矩形，32∴DE∥GTGJ=TE=BE=，∴CJ⊥DE，∴JE=JD，1∴CJ=DE=32，232∴CG=CJ+GJ=+32，32∴CG的最小值为+32，32故答案为：+32．15(2023•苍溪县一模)AB为⊙OC在AB的延长线上，AB=4BC=2P是⊙OCPCP为斜边在PC的上方作Rt△PCD∠DCP=60°ODOD长的最大值为ꢀ23+1ꢀ．19△COE∠CEO=90°∠ECO=60°CO=2CEOE=23∠OCP=∠ECDOPEDCPCD12△COP∽△CED出==2ED=OP=1(定长)E是定点，DED在半径为1的⊙E△COE∠CEO=90°∠ECO=60°CO=2CEOE=23∠OCP=∠ECD，∵∠CDP=90°∠DCP=60°，∴CP=2CD，COCECPCD∴==2，∴△COP∽△CED，OPEDCPCD∴==2，1即ED=OP=1(定长)，2∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE=23+1，∴OD的最大值为23+1，故答案为23+1．16(2023•海淀区校级三模)在平面直角坐标系xOyW和点PW上存在两个点MN满足PM=3PN且∠MPN=90°P是图形W的关联点．已知点A(-230)B(02)．(1)在点P(-3-1)P(-33)P(-23-2)中，P12ꢀ是线段AB的关联点；123(2)⊙T是以点T(t0)为圆心，r为半径的圆．①当t=0AB上任一点均为⊙Or的取值范围；②记线段AB与线段AO组成折线Gt≥4G的关联点都是⊙Tr的最小值．(1)(2)①根据题意推得三角形PMN为含30O到点P的最大距3+123-123+123-12离为rr⊙O的所有关联点在以O为圆心，r和r为半径r的取值范围；②结合①(1)∵∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，∴满足MN=PM+PN2，根据勾股定理可得：，，，，；；，20A=2，，，∵∴，，是线段AB的关联点；∵∴是线段AB的关联点；∵PA=7PBP+PB≠AB2，3333∴∠BAO=30°A⊥OA，∴∠AB=90°+30°=120°，∴对于线段AB上的任意两点MN，当时，∠NM>90°∠MPN∴不是线段AB的关联点；故答案为：PP．12(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，∴MN=PM+PN=4PN2，即MN=2PN，即三角形PMN为含30则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．在圆O上取点MNM和N221以点PM在半径为r的⊙ONMN=2PN∠PNM=60°，则点MPP的轨迹为圆R当MON三点共线，PRN三点共线时，∠PNM=60°，3212∴OR=rRN=r，3+123-12则点O到点P的最大距离为rr，当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，3+123-12则⊙R扫过的区域为r和rr为半径围成的圆，3+123-12即⊙O的所有关联点在以O为圆心，3+1r和r为半径的两个圆构成的圆环中，∴当线段AB与半径为r交于点A时，r23+12则r=23，解得r=6-23，3-12当线段AB与半径为r的圆相切时，rO作OH⊥AB22则，即，解得，则，解得∴，②当关联点在线段AB当关联点在线段AOO和点B上的范围如图阴影部分：23T的所有关联点所在范围为圆环，的必须经过点G1，∵∠GBA=30°∠G=90°∠OBA=60°∠O=90°，∴四边形AOBG为矩形，∴，则，即，解得r=42(负值舍去)；综上，r的最小值为42．17(2024•昆山市一模)如图1y=-5x+5与x轴，y轴分别交于AC两y=x+bx+c经过、轴的另一交点为．ACxB(1)求抛物线解析式；35(2)若点M为xM运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；(3)如图2B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于EF两点(F在E右侧)P点是⊙B接PAPA为腰作等腰Rt△PAD∠PAD=90°(PAD三点为逆时针顺序)FD．求FD长度的取值范围．24(1)将点A(10)C(05)代入y=x+bx+c(2)设M(mm-6m+5)AB=4SABC=10S=6=×4×(-m+6m-5)，12即可求M(2-3)或M(4-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'AB'PBB'D△ADB'≌△APB(SAS)D在以B'为圆心，2B'(1-4)F(70)B'F=213以DF的最大值为61+2DF的最小值为61-2213-2≤DF≤213+2．(1)令x=0y=5，∴C(05)，令y=0x=1，∴A(10)，将点A(10)C(05)代入y=x+bx+c，得，∴，∴y=x-6x+5；(2)设M(mm-6m+5)，令y=0x-6x+5=0解得x=5或x=1，∴B(50)，，∴AB=4，12∴S=×4×5=10，35∵△ABM的面积等于△ABC面积的，12∴S=6=×4×(-m+6m-5)，解得m=2或m=4，∴M(2-3)或M(4-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'AB'PBB'D，∵∠B'AD+∠BAD=90°∠PAB+∠BAD=90°，∴∠B'AD=∠PAB，25∵AB=AB'PA=AD，∴△ADB'≌△APB(SAS)，∴BP=B'D，∵PB=2，∴B'D=2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B(50)A(10)，∴B'(1-4)，∵BF=2，∴F(70)，∴B'F=213，∴DF的最大值为213+2DF的最小值为213-2，∴213-2≤DF≤213+2．最短等18(2023•锦州)Rt△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30°AC=412AC和AB上分别截取ADAEAD=AE．②分别以点D和点EDE的长为半径作∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AFCP，12则CP+AP的最小值是ꢀ23ꢀ．AF26AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC=90°∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，12∴∠CAF=∠BAF=∠CAB=30°，过点C作CN⊥AB于NAF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°，1∴PN=AP，212∴CP+AP=CP+PN=CN，CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN=60°AC=4，CNAC∴sin60°=，32∴CN=sin60°×AC=4×=23，12∴CP+AP=CP+PN=CN=23，故答案为：23．19(2023•德阳)ABC-ABC中，AB=23AA=2M为1111ACB沿三棱柱ABC-ABC的表面爬行到M1111ꢀ19ꢀ．利用平面展开图可总结为3BM的长即可．1ABC-ABC的侧面BBCC和侧面CCAA沿CC11111111接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△ABC是等边三角形，1111212∴CM=AC=×23=3，∴BM=CM+BC=33，在Rt△MBB1BM=BM+BB2=31，如图2ABC和侧面BBAA沿ABMBM作MF⊥AB于点F，11111交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE=60°，273232∴ME=AM•sin60°=3×=，32AE=AM•cos60°=，3272∴MF=ME+EF=+2=，332BF=AB-AF=，1111在Rt△MFB1BM=MF+BF2=19，如图3BMAC于点NBM⊥ACBN⊥AC，1111111在Rt△ANB中，∠NAB=