2025年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（十八大题型）（讲义）（原卷版）

第04讲基本不等式及其应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：基本不等式...........................................................................4

解题方法总结...................................................................................4

题型一：基本不等式及其应用....................................................................5

题型二：直接法求最值..........................................................................7

题型三：常规凑配法求最值......................................................................7

题型四：化为单变量法..........................................................................8

题型五：双换元求最值..........................................................................8

题型六：“1”的代换求最值.......................................................................9

题型七：齐次化求最值..........................................................................9

题型八：利用基本不等式证明不等式.............................................................10

题型九：利用基本不等式解决实际问题...........................................................11

题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值....................................................13

题型十一：三角换元法.........................................................................13

题型十二：多次运用基本不等式.................................................................14

题型十三：待定系数法.........................................................................15

题型十四：多元均值不等式.....................................................................15

题型十五：万能K法...........................................................................16

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题...................................................16

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................................17

题型十八：整体配凑法.........................................................................17

04真题练习•命题洞见...........................................................18

05课本典例•高考素材...........................................................19

06易错分析•答题模板...........................................................20

易错点：忽视基本不等式应用条件...............................................................20

答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定）.................................................20

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)了解基本不等式的

推导过程.高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内

2022年H卷第12题，5分

(2)会用基本不等式解容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利

2021年乙卷第8题，5分

决简单的最值问题.用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的

2020年天津卷第14题，5分

(3)理解基本不等式在问题.

实际问题中的应用.

复习目标：

1、掌握基本不等式的内容.

2,会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题.

3、会用基本不等式解决实际问题.

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:基本不等式

如果°>0力>0,那么向W竺^,当且仅当4=6时，等号成立.其中，巴吆叫作a”的算术平均

22

数，J法叫作a2的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,beR,则片+廿22而，当且仅当a=b时取等号；

基本不等式2：若a,beR+,则巴心》/石（或a+b22疝），当且仅当a=b时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积

为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

解题方法总结

1、几个重要的不等式

2

（1）a>0（aG>0（tz>0）,|«|>0（d;GR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,则但上加（当且仅当“a=3”时取“+'）.

2

特例：6Z>0,6Z+->2；-+->2（。力同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+从士（"+"）一（沟通两和a+b与两平方和/+/的不等关系式）

2

②必《勺主丝（沟通两积乃与两平方和的不等关系式）

2

③mw［一］（沟通两积与两和a+〃的不等关系式）

④重要不等式：

ab

即调和平均值W几何平均值4算数平均值V平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已矢口x,yGR*・

（1）如果x+y=S（定值），则^«亨］=。（当且仅当“x=y，，时取“=，，）.即“和为定值，积有

最大值

（2）如果移=P（定值），贝hr+y22历=2赤（当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最

小值”.

3、常见求最值模型

模型一：ax+->2^b（a>0,b>0），当且仅当x时等号成立.

xVa

模型二：一…J（m+i）2上（…“>0,。0<勺,当且仅当x=a时

mm24mm2m

等号成立.

模型三：———=-1——（G>0,C>0）,当且仅当x时等号成立.

ax+bx+c依+"£lyjac+b

x

模型四：mx-\——--=m（x-b）-\——-——I-mb>2y/mn+mb（jn>0,n>0）»当且仅当x—Z?=时等号成立.

x—bx—bNm

题型洞察

题型一：基本不等式及其应用

【典例1一1】下列不等式证明过程正确的是（）

A.若a,beR,则？+幺=2

ab\ab

B.若x>0,y>0,则1g尤+1gyN2Jigx•1gy

C.若x<0,则x+3N-2、13=-4

XVX

D.若x<0,则2,+2-x>2j2,-2r=2

【典例1-2】（2024•辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图

所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点。为斜边的中点，点。为斜边AB上异于顶点的一个动点,

设=BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

。A

A.4ab(a>0,/?>0)B.―<4ab(a>0,Z?>0)

c.*^1^(。〉。，"。)

D.a2+b2>2\/ab(a>0,>0)

【方法技巧】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验

证.

【变式1-11下列结论正确的是（）

?

A.当尤<2时，x-\—-—>4B.当x22时，x+—的最小值是2a

x—2X

C.当x>0时，«+D.当x>0时，x+-^■的最小值为1

yJxX+1

【变式1-2]（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知x,y都是正数，且》二y,则下列选项不恒成立的是（）

A.号>向B.2+上>2

yx

D.孙+上>2

孙

【变式1-3]给出下面四个推导过程：

①・・・〃，b为正实数，.・.2+±22、口^=2；

ab\ab

②•二％,y为正实数，Igx+Igy>2^gx4gy；

其中正确的推导为（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

题型二：直接法求最值

【典例2-1］若实数X、>满足x+2y=l,则2工+4,的最小值为.

f

【典例2-2］（2024•湖北孝感•模拟预测）4=+

7x

【方法技巧】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

【变式2-1］（2024•上海崇明•二模）已知正实数°、6满足彷=1,则a+46的最小值等于

【变式2-2］（2024•天津南开•一模）已知实数。>01>0,。+。=1,则2"+2匕的最小值为.

题型三：常规凑配法求最值

JK+W+i）的最大值是（）

【典例3-1】函数〃x）〜

4X2+1

7「53

A.2B.D.

444

941R

【典例3-2】（2024•广东•模拟预测）已知。且"=1,贝U—+：+一的最小值为—，此

ab2a+b

时.=___.

【方法技巧】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

【变式3-1］若x>-2,则/（x）=x+」二的最小值为_____.

x+2

4

【变式3-2】函数/（力=3%+2+--（x>0）的最小值为_______.

x+1

3/+3

【变式3-3］（2024•高三•天津河北•期末）已知/>0,则二+r的最小值为

2Z+1

题型四：化为单变量法

【典例4-1］（2024•高三•上海•竞赛）若正实数。,6满足必=2°+》，则。+2方的最小值是.

【典例4-2］（2024•天津河东•一模）若。>0,6>0,必=2,则竺*±宜的最小值为_.

b-+1

【方法技巧】

化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求

解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

【变式4-1］（2024•陕西西安•三模）已知x>0,y>0,xy+2x-y=W,贝ijx+y的最小值为.

【变式4-2］已知实数满足3孙+/=1,y>。，则2x+y的最小值是.

题型五：双换元求最值

【典例5-1】设6为正实数，且a+b=3,则'J+工的最小值为

〃+2b+\

x-2y

【典例5-2】（2024•江苏南京•三模）若实数满足2/+孙一>2=］,则的最大值为.

5x2—2xy+2y2

【方法技巧】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的

分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1、代换变量，统一变量再处理.

2、注意验证取得条件.

【变式5-1］若非零实数。，匕满足96+4"=16,则°I?*的最大值为

3。+2。-4

【变式5-2］（2024•全国•模拟预测）已知尤+y=l（尤>y>0）,则必——好的取值范围是

x-yx+3y

题型六：-1"的代换求最值

121

【典例6-1】已知x>0,y>0,且x+2y=彳，则一+一的最小值为

2xy

1?1

【典例6-2］（2024•内蒙古呼和浩特•一模）己知实数力>2,且--+—=则2。+》的最小

a+1t?-23

值是—.

【方法技巧】

1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过

程中要特别注意等价变形.

1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法.

2、注意验证取得条件.

21

【变式6-1］（2024•全国•模拟预测）已知x>l,>>。，且x+—=2,则---7+y的最小值是.

yx-1

【变式6-2］（2024•河南•三模）在ASC中，角A,B,C的对边分别为a,"c,若a+b+c=2,则

二47+士1的最小值为

a+bc

12

【变式6-3］（2024•陕西咸阳•一模）已知a>0,6>。，且一+—=1,则。+匕的最小值为

a+1b+1

题型七：齐次化求最值

【典例7-1】已知x>0,y>o,S=+号」，则（）

4x+yx+y

A.S的最大值是各B.S的最大值是过1

103

3D.S的最大值是述

c-s的最大值是5

4

【典例7-21已知正实数〃也c满足6+c=l,则8加+°+巫的最小值为_____

bea+\

【方法技巧】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进

行求解.

【变式7-1］（四川省成都市第七中学2024届高三三诊模拟考试文科数学试卷）设a>人>0,若

4+劝2则实数几的最大值为（）

a-b

A.2+2五B.4C.2+0D.272

l-2

【变式7-2］已知％>0,>>。，x3+y3=x-y,则一1x的最小值是（）

y

A.2B.2+73C.75+2D.2夜+2

题型八：利用基本不等式证明不等式

【典例8-1】（2024•全国•模拟预测）已知正实数a,人满足血+亚=2.求证:

ba

⑴〃+尸>〃+b；

/1V

（2）2a+2b>.

【典例8-2】（2024•陕西西安•二模）已知函数/（x）^2x-2|+|%+1|的最小值是根.

⑴求相的值;

(2)若。〉0,Z?>0,且a+Z?=机，证明：Ja+l+db+l〈2①.

【方法技巧】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.

【变式8-1］（2024•高三•陕西西安•期中）已知。>0力>。，且4+63=16.

（1）求的最大值与最小值；

14

(2)证明:7+乒"

【变式8-2］（2024•河南•模拟预测）已。，仇。均为正数，且〃+b+c=4,证明:

⑴/+2+二二;

497

(2)」一+」一+」一J.

a+ca+bb+c8

【变式8-31(1)设〃,瓦。£凡且。+b+c=0,abc=l.证明：ab+bc+ca<0；

(2)已知a,4c为正数，且满足"c=l.证明：-+^+-<a2+b2+c2

abc

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【典例9-1】（2024•广东湛江•二模）当x>0,y>。时，自2N向.这个基本不等式可以推广为当x,

y>0时，2x+yj其中2+〃=1且2>0,〃>0.考虑取等号的条件，进而可得当时,

J_1111Q___1Q

Ax+〃yyx'y".用这个式子估计Jf。可以这样操作：10?*9?土—xlO+—x9=—，则1而土一土3.167.用这

2226

样的方法，可得病的近似值为（）

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

【典例9-2]（2024•云南楚雄•模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制

的标准足球场，其底线宽AB=68m,球门宽EF=7.32m,且球门位于底线AB的中间，在某次比赛过程中,

攻方球员带球在边界线AC上的河点处起脚射门，当NEMF最大时，点M离底线A8的距离约为（）

A.26.32mB.28.15mC.33.80mD.37.66m

【方法技巧】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.

2、注意定义域，验证取得条件.

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.

【变式9-1]（2024•湖南•一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投

入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一

年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

【变式9-2]（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品

的单价分别为机元和“元。甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每

周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为％,外，则（）

A.4=/B.ax<a2C.D.4，%的大小无法确定

【变式9-3]（2024•内蒙古呼和浩特•一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，

其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制

在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平

视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

题型十：与。+公平方和、断有关问题的最值

【典例10-11（多选题）（2024•湖南•模拟预测）已知“>0,6>0,“+6=必，则（）

A.a+b<4B.ab>4

122

C.6f+4Z?<9D.—r+-r>-

a2b23

3

【典例1。-2】（多选题）（2024•高三•海南•期末）已知“>。力>。，且i-而"则

1、9

A.a-^-b>3B.0<ab<—^ab>—

44

22_114_r11

C.(a-l)+(&-l)<|D.1<一+一4一或一+—N44

ab3ab

【方法技巧】

利用基本不等式变形求解

【变式10-11（多选题）若。>0,Z?>0,a+b=8,则下列不等式恒成立的是（）

A.y[ab<4B.6+痣>4

149

C.a2+b2>32D.-+

ab8

【变式10-21（多选题）已知正数满足/+0+9=9,则（）

A.xy<2B.x2+y2>6

C.x+y<2>/3D.x+y>6

题型十一：三角换元法

【典例11-1]（多选题）若X,y满足/+丁+孙=1,则（）.

A..x+y」K2-6----B.x+y>-l

3

22

C.%+y<|D.x1+y2>-

3

【典例11-2】已知非负实数x,、满足2尤2+4孙+2/+尤为2=9,则2&（尤+y）+孙的最大值为.

【变式11-1】已知实数羽》满足/一2孙+2/=1,则/-2y的最大值为

【方法技巧】

出现平方和结构（相"+就2）形式，引入三角函数表示4和人

【变式11-2】已知x,yeR+,满足2尤+y=l,则无+卢方的最小值为（）

D.一—

ABC.1

-7-t3

【变式11-3]（2024届广东省惠州市大亚湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试卷）已知

P（x,y）为函数y=/+；图象上一动点，则/：+：的最大值为

4Jx+y

【变式11・4]（2024•高三•重庆•开学考试）已知实数。/满足/一"+〃=1,则必的最大值为

11

―;1—z的取值范围为一

a+1b+1

题型十二：多次运用基本不等式

【典例12-1】（2024•全国•模拟预测）已知a>0,b>0,且必=32,贝+/?+岳'力的最小值为

【典例12-2】已知正实数x、y、z满足f+y2+z2=i,则巳①的最小值是（）

Z

A.6B.5C.4D.3

【方法技巧】

多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致.

【变式12-1]（2024•天津•一模）已知。>0,b>0,则"+41"/的最小值为.

【变式12-2】对任意的正实数。也c,满足b+c=l,则%©»+生的最小值为____.

bea+1

题型十三：待定系数法

【典例13-11(2024•高三•河北邢台•期末)设a,6eR,若4/+/+2仍=6,则3〃+2从的最小值为

()

A.6B.3GC.2A/6D.4

【典例13・2】已知实数〃，b,。满足6+>2+02=］,则而+bc+2c〃的最大值为

【方法技巧】

出现小十刀2+CZ2结构形式,通常用待定系数法.

mxz+nxy+tyz

【变式13-1】已知x,y,z为正实数，则，孙2"。的最大值为

x+y+z

A.1B.2C.亚D.J2

2

【变式13-2】x,y,z为正整数，求二厂+10厂+2一的最小值为

xy+yz+xz

题型十四：多元均值不等式

【典例14-1］已知孙=l(x>0),则16x+y2的最小值为___.

【典例14-2】函数7•3=81*+49*+4-3'+1的最小值是()

'79"+2.3-"

8|0

A.2\/2B.3C.—D.—

“33

【方法技巧】

%+%+%++。几2",6%%......an,Q],%,%,......，%为正数.

【变式14-1]已知孙z+y+z=12,则Iog4%+log2V+log2z的最大值为

♦1127153

【变式14・2】设正实数工、>满足—+y2+—+—=不，贝!］尸二---丁的最小值为

xy4x4y

题型十五：万能K法

【典例15-1］（2024•安徽•模拟预测）已知正实数机，〃满足2m3+2/+6加〃=27,则m+〃的取值范围

【典例15-21（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知实数尤,丁,满足/+孙+3/=3,则%+》的最大值为

3y/liD6A/1T„#I+1p.yfi+3

---------D.---------C.-----------U.-------------

111133

【方法技巧】

利用一元二次方程有实数根时J＞0.

【变式15-1］若正数。，b,c满足，+廿+02_"一反=1,贝ijc的最大值是.

【变式15-2］已知实数x,y,z满足Y+y2+z2+盯+yz+zx=l,则下列说法错误的是（）

A.孙z的最大值是逅B.x+y+z的最大值是逅

62

C.x的最大值是当D.x+y的最大值是血

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题

112

【典例16-1】已知无＞。＞。，且不+1子若工+2+C疗+5/恒成立,则实数，，的取值范围是

A.(T,7)B.(-2,7)C.(-4,2)D.(-7,2)

【典例16-2］已知尤＞0,y>0,^.x+9y=xy,若不等式aWx+y恒成立，则。的取值范围是（)

A.(-(»,6]B.(YO,16]

C.(-℃,8]D.(-℃,9]

【方法技巧】

BxeM,使得/（x）..a,等价于/（x）1mx.>BxeM,使得/（x）,,a,等价于f（x）^,,a

4x1

【变式16-1】（2024•辽宁•模拟预测）若关于x的不等式一+——24对任意x>2恒成立，则正实数。

ax-2

的取值集合为

【变式16-2］（2024•山西晋中•二模）若对任意x>0,_?+5x2+4xZ办2恒成立，则实数a的取值范围

是.

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题

m+n

【典例17-1】（2024•上海杨浦•一模）已知（1+村"+（1+幻”=旬+4俨+。2r++am+nx（机、〃为正整

数）对任意实数无都成立，若％=12,则%的最小值为.

【典例17-21（2024•四川南充•二模）在，ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边.已知

a=2,2sin8+2sinC=3sinA.则sinA的最大值为

【方法技巧】

基本不等式经常与解三角形、数列、立体几何、解析几何等知识汇合求最值.

【变式17-1］（2024•宁夏银川•二模）已知A（3,0）,8（-3,0）,尸是椭圆1+［=1上的任意一点，则

25lo

|A4|.|P0的最大值为

【变式17-2】（2024•全国•模拟预测）已知正三棱锥P-A5C满足|3AP+AB+A4=3,则该三棱锥侧面

积的最大值为.

题型十八：整体配凑法

【典例18-1】（2024•辽宁葫芦岛•二模）若。>0,6>0,2曲+。+%=3,贝指+2》的最小值是（）

A.—B.1

2

C.2D.逑

2

【典例18-2］（2024•山东潍坊•二模）已知正实数a,6满足4+2"+4/=6,则a+2Z>的最大值为（

A.2A/5B.272C.y/5D.2

【方法技巧】

整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.

34

【变式18-1】（2024•高三•湖北•开学考试）己知正数。/满足a+3b+—+：=18,则a+3b的最大值

ab

是.

24

【变式18-2】（2024•全国•模拟预测）在解决问题“已知正实数无，>满足》+-+3>+-=10,求孙的取值范

xy

围”时，可通过重新组合，利用基本不等式构造关于外的不等式，通过解不等式求范围.具体解答如下:

由10=,f#3（xy）2-llxy+8<0,即

Q

（孙-1）（3孙-8）40,解得孙的取值范围是

请参考上述方法，求解以下问题：

24X

已知正实数"满足x+”y+「。，叫的取值范围是

【变式18-3］已知。力为正实数且贝Ua+b的取值范围为.

3

1.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9"'=10,0=10"'-11,6=8"'-9,则（）

A.a>Q>bB.a>b>QC.b>a>0D.b>0>a

2.（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在sinarcos⑸sin〃cos/,sin/cosa三

个值中，大于3