九年级数学下册图形的相似和比例线段教师版知识点详细复习资料

图形的相像与比例线段【学习目的】1、能通过生活中的实例相识图形的相像，能通过视察直观地推断两个图形是否相像；2、理解比例线段的概念及有关性质，探究相像图形的性质，知道两相像多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相像比的含义；3、知道两个相像的平面图形之间的关系，会依据相像多边形的特征识别两个多边形是否相像，并会运用性质进展相关的计算，进步推理实力.【要点梳理】要点一、比例线段1．线段的比：假如选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，则就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，假如其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的根本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相像图形在数学上，我们把形态一样的图形称为相像图形(similarfigures).要点诠释：(1)相像图形就是指形态一样，但大小不确定一样的图形；

(2)“全等”是“相像”的一种特别状况，即当“形态一样”且“大小一样”时，两个图形是全等；要点三、相像多边形相像多边形的概念：假如两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相像多边形．要点诠释：（1）相像多边形的定义既是断定方法，又是它的性质．（2）相像多边形对应边的比称为相像比．【典型例题】类型一、比例线段1.下列四组线段中，成比例线段的有()A．3cm、4cm、5cm、6cmB．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cmD．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.2.求证：假如，则.【答案】∵，在等式两边同加上1，

∴，

∴．

【总结】比例有合比性质假如，；分比性质假如，；更比性质假如，.举一反三：1、推断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1)∵，，

∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2)∵，，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2、已知线段a、b、c、d，满意，求证：.【答案】证明：设=k类型二、相像图形3.指出下列各组图中，哪组确定是相像形__________：

(1)两个腰长不等的等腰三角形

(2)两个半径不等的圆

(3)两个面积不等的矩形

(4)两个边长不等的正方形【答案】(2)(4).【解析】(1)等腰三角形的形态不确定一样，因此两个腰长不等的等腰三角形不确定相像；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数一样，对应角相等，但对应边的比不确定相等，所以无法确定它们确定相像；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形态完全一样的图形，是相像形.举一反三：如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并直立起来以后得到的，这两个图形是相像的吗？

【答案】这两个图形是相像的，这两个图形形态是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相像性.类型三、相像多边形4.如图，已知四边形相像于四边形，求四边形的周长.

【答案】∵四边形相像于四边形∴，即∴∴四边形的周长.5.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相像.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

【答案】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相像

当时，S有最大值，最大值为.举一反三：1、已知四边形与四边形相像，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长.【答案】∵四边形与四边形相像，且.

又∵四边形的周长为26

即四边形的四边长为：.2、如图所示的相像四边形中，求未知边x、y的长度与角的大小.

【答案】依据题意，两个四边形是相像形，得

，解得.3、某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相像，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.

【答案】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，

将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，

很明显，所以做不到.

4、等腰梯形与等腰梯形相像，，求出的长及梯形各角的度数.

【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相像【稳固练习一】一．选择题1.在比例尺为1︰1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际间隔为（）

A.3kmB.30kmC.300kmD.3000km2.下列四条线段中，不能成比例的是（）

A.＝2，＝4，＝3，＝6B.＝，＝，＝1，＝C.＝6，＝4，＝10，＝5D.＝，＝2，＝，＝23.下列命题正确的是()

A．全部的等腰三角形都相像B．全部的菱形都相像

C．全部的矩形都相像D．全部的等腰直角三角形都相像4.某学习小组在探讨“改变的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相像图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点()

A．(-2a，-2b)B．(-a，-2b)C．(-2b，-2a)D．(-2a，-b)一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相像的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的与是（）A．19B．17C．24D．216..△ABC与△A1B1C1相像且相像比为，△A1B1C1与△A2B2C2相像且相像比为，则△ABC与△A2B2C2的相像比为()

A．B．C．或D．二.填空题7.两地实际间隔为1500m，图上间隔为5cm，这张图的比例尺为_______.8.若，则________9．断定两个多边形相像的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相像.10.已知则11.两个三角形相像，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.12.如图：梯形ADFE相像于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则三综合题13.已知，求的值.14.如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相像吗？若相像，求出相像比；若不相像，说明理由.

15.市场上供给的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均与原长方形相像，则纸张(矩形)的长与宽应满意什么条件？

【答案与解析】一、选择题

1．【答案】B．【解析】图上间隔︰实际间隔＝比例尺．2．【答案】C．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】D4．【答案】A【解析】由图可知，小鱼与大鱼的相像比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼与大鱼关于原点对称.5．【答案】C【解析】相像三角形对应边的比相等6．【答案】A【解析】相像比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.二、填空题

7.【答案】.1：30000【解析】比例尺=图上间隔︰实际间隔.8.【答案】【解析】由可得，故填.9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：设11.【答案】80°，40°.12.【答案】.【解析】因为梯形ADFE相像于梯形EFCB，所以,即EF=,所以解答题13.【解析】设=k则14.【解析】要探究正方形是否与四边形相像，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形确定相像，若不是正方形，则不相像，因为全部的正方形都是相像的.

设正方形的边长为，由题意可知，

同理

由，可得

同理45°，，四边形是正方形

∴正方形与正方形相像，

即两正方形的相像比是.15.【解析】如图，为了便利分析可先画出草图，依据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.

设矩形的长为，宽为，由相像多边形的特征得

，即纸张的长与宽之比为.【稳固练习二】一．选择题1.在比例尺为1︰1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际间隔为()

A．3kmB．30kmC．300kmD．3000km2.已知线段满意把它改写成比例式，其中错误的是（）A.B.C.D.3.已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相像()A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm4.△ABC与△A1B1C1相像且相像比为，△A1B1C1与△A2B2C2相像且相像比为，则△ABC与△A2B2C2的相像比为()A．B．C．或D．5.下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形.其中确定相像的有（）A.2组B.3组C.4组D.5组6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相像的三角架，只有长30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（）A.一种B.两种C.三种D.四种二.填空题7.小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为30cm，则新地图长为_________cm.8.△ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1与，且△ABC与△A′B′C′相像，则△A′B′C′的第三边长为____________9．如图：梯形ADFE相像于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则10.已知若若:=___.11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.12.用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B是原来∠B的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有.三．综合题13.假如，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相像.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

15.从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相像，求原矩形的长与宽的比.

【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】图上间隔︰实际间隔=1：1000000.2.【答案】B3．【答案】C【解析】设△DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，因为△ABC与△DEF相像，所以有下列几种状况：

当时，解得；

当时，解得；

当时，解得；所以选C.4．【答案】A【解析】相像比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2.5．【答案】A【解析】只有两个正方形与正五边形相像.6．【答案】B二、填空题

7.【答案】40.【解析】提示：两地图形态一样，是相像形，所以它们对应边的比相等8.【答案】【解析】提示：△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC中找出两边、，它们长度之比也为1︰，依据相像三角形对应边的对应关系，求出相像比.9.【答案】.【解析】因为梯形ADFE相像于梯形EFCB