2024-2025学年某中学高三数学上学期9月联考试卷（附答案解析）

2024-2025学年绵阳中学高三数学上学期9月联考试卷

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定

位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上

的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

已知集合&={田丁=3%—LXWN},B={X|X2-4X-5K0},则AD3=

1.()

A[-1,5]B.{2,5}C.{-1,2,5}D.[0,5]

2.复数z满足4z+3=（3+i）z,贝匹的虚部是（)

33.C.2i2

A——B.—1D.

22-2I

3.若〃=(，,1),1=(3,/+2),且2_LB，贝！)1=()

A.1B.-1C.-2D.—1或一2

31+sin26

4.已知sin——cos—=j,6>e(O,7i),则-+--c-o--s-6--=--(-)

22cos2。-sin2。

26323117

A.——B.-----C.—D.-----

355428

S,1

5.两圆锥母线长均为3,体积分别为K，%,侧面展开图面积分别记为5,$2,且U=侧面展开图

V

圆心角耳,，2满足4+a=2兀，则/■=()

A.272B.叵C.710D.

104

6.命题=XzX在XG(-2,2]上为减函数，命题

'7(^+4)ln(x+2)-6z-l,-2<x<-l'」

1

Z7V*A

q;g（x）=-....在（L+8）为增函数，则命题P是命题4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.已知函数/■（x）=sinx+lnx,将y=/（尤）的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{无“},

/、f（2n-l）n

对于正整数〃，甲：-1）口<乙：<xn-^~为单调递增数列，则（）

A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误

8.已知定义在R上的函数〃%）在区间［0可上单调递减，且满足“2+x）+/（%）=2/（—1）,函数

y=/(x—1)的对称中心为(2,0),贝|()(注：ln3al.099,ln2a0.693)

A./(2024)=0B./(0.5)+/(1.6)>0

D./(2sinl)>/Mn!

C/(1.5)>/(log248)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14,现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进

行某项兴趣调查.已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人

做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（）

A.从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人

B.随机变量X〜37,

C.随机变量X的数学期望为一

7

D.若事件A="抽取的3人都感兴趣”，则P（A）=2

X

10.已知f(x)=J+则()

xe

A./（ln2）=/（ln4）B.在（0,1）上单调递增

C.于7?eR,使/'（加）=2D.eR,使/（n）=—2

11.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出的.如图是抽象的城市路网，

其中线段|4用是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”

2

而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用d（A§）表示，又称“曼哈顿距离”，即

d（A,B）=\AC\+\CB\,因此“曼哈顿两点间距离公式”：若4（久1，%）,<8（>2，%），则

d（A5）=上一%|+1%-X|•在平面直角坐标系xOy中，我们把到两定点耳（―c,0）,g（c,0）（c>0）的

“曼哈顿距离”之和为常数2a（a>c）的点的轨迹叫“新椭圆”.设“新椭圆”上任意一点设为「（久,办则（）

A.已知点A（3,3）,3（6,7）,则d（A,B）=5

B.“新椭圆”关于x轴，y轴，原点对称

c.X最大值为a

22

D.“新椭圆”围成的面积为巴士

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.己知椭圆。：:+二=1（。〉6〉0）的左、右焦点为耳、耳，右顶点为民A为。上一动点（不与左、

ab

右顶点重合），设△加；鸟的周长为办忸闾=〃，若?=4,则。的离心率为.

13.若曲线/'（力=也与曲线8（司=加（0>0）有公共点，且在公共点处有公切线，则实数”

14.若（0+1）=x+yeN*）,贝1Jx?—2/=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在某象棋比赛中，若选手甲和选手乙进入了最终的象棋决赛，经赛前数据统计发现在每局象棋比赛

中甲和乙获胜的概率分别为工和工，且决赛赛制为7局4胜制，求：

33

（1）前3局中乙恰有2局获胜的概率；

（2）比赛结束时两位选手共进行了5局比赛的概率.

16.记VABC的内角的对边分别为c,且〃cosC-J8asinC—Z?+c=0.

（1）求A；

3

⑵若匕=2,S“BC=乎，"为边上中点，求AM的长.

17.如图，三棱柱A3C—4月。1中，AB=2,且VA3C与△A34均为等腰直角三角形，

C

（1）若AABC为等边三角形，证明：平面A415，平面ABC；

TT

（2）若二面角A-AB-C的平面角为孑，求二面角4-AC-3的平面角的余弦值•

18.已知双曲线E:=-4=1（。〉0］〉0）的左、右焦点分别为K，E，E的一条渐近线方程为

ab

y=®,过用且与x轴垂直的直线与后交于A、3两点，且△ABK的周长为16.

（1）求E的方程；

（2）过歹2作直线/与E交于。、。两点，若恒=3艮万，求直线CD的斜率.

19.已知函数/(%)=1送(%)=之二.

(1)当1之0时，证明：f(x)>g(x)-,

(2)现定义：〃+1阶阶乘数列｛4｝满足。,用=("+1)(1+%).若4=1,证明:

lna“<(H+l)ln(«+l)—n+1.

4

【答案】

1.C

【解析】

【分析】解一元二次不等式可求得5={x|-1WXW5},再结合集合A的特征即可计算得出结果.

【详解】解不等式4x—5<0可得3={x|—14x45},

又4={>|>=3%—1,XGN}可得只有当x=0,l,2时，V的取值分别为一1,2,5在集合3中，

所以Ac8={—1,2,5}.

故选：C

2.D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简化简可得z=±更，即可得共轨复数，由虚部定义即可求解.

2

/、/、33（-l-i）-3-3i

【详解】由4z+3=（3+i）z,得3=（3+i—4）z,故2=）进而可

''''-1+1（—1+1）（—1—1）2

得W=上①，即三的虚部是3，

22

故选：D

3.D

【解析】

【分析】根据向量数量积坐标运算公式计算垂直数量积为0求参.

【详解】因为所以方B=3/+产+2=0,

所以（+1）（+2）=0,即/=_1或,=—2.

故选：D.

4.A

【解析】

【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cos。，进而得sin。，从而结合二倍

角正弦公式即可计算求解.

【详解】因为sin"——cos4—=-,6>e（0,7i）,

225v7

7.ne^Y.⑻3c小、

所CC以I［sin，--cos"2—IIsin，—+cos~耳J=《,9e（0,兀），

ae（ee、33

所以sin2----cos2—=-cos—+—=—cos6=一兀），即cos6=——，

22122）5v75

5

4

所以由6>w(0,兀)得sin6=

5

1+sin26l+2sin6cos。

所以+cos6+cos6=

cos2^-sin2^cos26^-sin2^

故选：A.

5.B

【解析】

9JTF

【分析】利用圆锥侧面积公式S=7i»推得厂=1，再由侧面展开图的圆心角公式a=—「推得/=3r,

由此得到两圆锥高分别为2立与6，从而求得两圆锥体积的比值.

【详解】依题意，不妨设甲圆锥的底面半径为厂，高为h,乙圆锥底面半径为R,高为H,

贝ij'=3兀r，S2=3兀7?,

IS[13兀rr1

由丁一彳得——=一=一，

S,23兀RR2

故火=2厂，因为侧面展开图的圆心角之和为2兀，

所以271r+2TIR=6兀，

故厂=1，所以/?=J/2—1=2^/2>H=J/2_尺2=y/5'

所以K-_26_M

所"一,一乖一丁

3

故选：B.

6.A

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到-5Wa<T,分离常数后，由g(x)的单调性得到

a<4结合集合的包含关系得到P是4的充分不必要条件.

【详解】〃龙)要在xe(—2,2］上单调递减，

工2

2

则a+4<0,解得一

-a-l>l-2a-7

6

ax+4a(%—1)+4+〃4+〃

q：g(x)==a+空巴在(l,+8)为增函数，则4+a<0,

x-1x-1X-1

解得a<—4,

因为-5Wa<T是a<T的真子集，故命题P是命题4的充分不必要条件.

故选：A

7.B

【解析】

【分析】将函数的极值点转化为两个函数图像的交点的横坐标，由图象判断命题甲，结合函数图像利用

极限思想判断命题乙.

【详解】

函数/(x)=sinx+lnx的定义域为(0,+。),

导函数/'(x)=cosx+L(x>0),令/''(x)=0,得cosx=-L,

X九

所以函数八％)的极值点为函数>=85%">0)与函数y=」(x>0)的图象的交点的横坐标,

在同一平面直角坐标系中，分别画出函数y=cosx(x>0)与函数y=-‘(x>0)的图象，

X

如图所示，由图可知，在区间(("T)兀，亚)("eN*)内，

函数函数y=cosx(x>0)与函数y=-，(x>0)的图象，

有且仅有1个交点，且—<%<

所以命题甲正确；

因为x.+i>x”〉0,函数y=-』(x>0)为增函数，

X

由图像可知，随着〃的增大，用与(2"—1)"越来越接近,距离越来越小,

2

兀

所以数列《七卜为递减数列,命题乙错误.

2

7

故选：B.

【点睛】方法点睛：根据条件将/(x)=sinx+lnx的极值点转化成函数_f(x)=cosx+』(x>0)的“异

x

号”零点，先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再结合

命题甲、乙，利用数形结合的方法求解.

8.C

【解析】

【分析】利用/(2+x)+/(x)=2/(—1)求出函数的周期为4,利用y=/(x—1)的对称中心为(2,0)求

出〃龙)的对称中心为(1,0),结合/(2+X)+/(x)=2/(—1)求出/(r)=/(%),然后利用周期性，

对称性和单调性逐项判断即可.

【详解】/(2+x)+/(x)=2/(-l),故/(4+x)+〃2+x)=2/(-1),

所以/(x)=/(x+4),

函数y=/(%—1)的对称中心为(2,0),

函数y=/(%—1)往左平移I个单位得到函数y=/(%),

故函数y=/(x)的对称中心为(1,0),

•.•/(2+x)+/(x)=2/(-l),令x=-1得,/(1)+/(-1)=2/(-1),

故/(-1)=/。)=。BP/(2+x)+/(x)=0,

且外”的对称中心为。,0)，故"2+x)+/(-x)=0,

故y(—x)=/(x),即〃尤)的对称轴为x=o.

对于A,/(x)在区间［0,1］上单调递减，故/(0)>/(1)=0,

且/(x)=/(x+4),

所以/(2024)=/(0)>0,故A错误；

对于B,/(x)在区间［0,1］上单调递减，对称中心为(1,0),

故f(0.5)+/(1.5)=0,且了⑴在区间［1,2］上单调递减，

则”1.5)>“1.6),

.-./(0.5)+/(1.6)<0,故B错误；

8

对于c,5<log248<6,.\1<log248-4=log23<2,

FM21n31.099

且1吗3=而>1.5,结合了（%）在区间［1,2］上单调递减,

0.693

故〃log248)=〃log248—4)=〃log23)<〃L5),故C正确;

对于D,lng=_ln3a_1.099,故"In；］=〃_ln3)°〃_1.099)=/(1.099),

且2sin三<2sinl<2sin—,A/2<2sinl<6,即1<1.099<2sinl<2,

43

结合在区间［1,2］上单调递减，故〃2sinl）</［ln；）,故D错误.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过赋值法求出函数的周期性和对称性，然后结合函数的单调性求

解即可.

9.ACD

【解析】

【分析】结合分层抽样性质求出各社团所需抽取人数判断A,求随机变量X的分布列，判断BD,由期

望公式求X的期望，判断C.

【详解】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取苍-Z人，则

%_y_z_7

14-21-14-14+21+14?

所以％=2,y=3,z=2,

所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，A正确；

随机变量X的取值有1,2,3,

d1C2cl4c3C°

p(X=l)=y=Lp(x=2)=*=±p(x=3)=y2

l/C；7l/C7l/C7

所以随机变量X的分布列为

X123

j_42

P

777

所以B错误；

14215

由期望公式可得随机变量X的数学期望E（X）=1X5+2X,+3X,=3,C正确;

2

因为P（A）=P（X=3）=5,所以D正确.

故选：ACD.

9

10.AD

【解析】

【分析】对于A,代入化简即可；对于B,利用导数研究函数的单调性即可；对于C,D利用基本不等

式求解即可，要注意等号是否能取到.

_川十“„eln2In22In2

【详解】对于A,/(ln2)=-----b-j-7=-----1-----,

八'ln2eln2ln22

，/ieln4ln4421n22ln2

/伽4)=.+声=----------1----------——+——,/./(ln2)=/(ln4)，故A正确.

21n24ln22

xx

P,r_Pr

对于B,/(x)的定义域为(0,1),(x)=—芸一+7

九I\

令g(x)=e*-x,XG(0,-H»),则/(%)=1-1>0在(0,+动上恒成立,

所以g(%)在(0,+“)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=l即以一芯>0,

.•/⑺<0.・./⑺在(0,1)单调递减，故B错误；

xX/、

对于C,当％<0时，/(%)=—e+—<0,此时不存在加wR,使/(机)=2；

xe

e*x_

当%>0时，y(x)=—+4>2,—,—=，,

xex

由B知，］>X，等号取不到，故不存在加eR,使/(加)=2,故C错误;

xX/、

对于D,当黑>0时，=eF—>0,此时不存在〃£R,使/⑺二一2；

xe

+

当龙<0时，/W=7fKT总“2旧言—2,

令g(x)=e"+x,XG(^O,0),贝！Ig，(x)=e*+1>0在(一oo,。)上，恒成立,

所以g⑴在(f,0)上单调递增，因为g(0)=l>0,g(-l)=e-1-l<0,

v

所以e(-1,0),使得g(%o)=e~+毛=0,即e°=-x0,

10

所以存在〃eR，使/(〃)=一2,故D正确.

故答案为：AD.

11.BC

【解析】

【分析】根据曼哈顿两点间距离公式，可判定A错误；根据“新椭圆”定义，求得其方程，画出“新椭圆”

的图象，结合图象，可判定B、C正确；根据“新椭圆”的图象，结合三角形和矩形的面积公式，可判定D

错误.

【详解】对于A中，因为A(3,3),3(6,7),可得d(A5)=|6—3|+|7—3|=7,所以A不正确；

对于B中，设“新椭圆”上任意一点为尸(x,y),

根据''新椭圆"的定义，可得k+d+H+卜—C|+N=2«,即k+d+卜—c|+2H=2。，

当x<-c,y<0时，可得一%一丁=。；当x<-c,y>0时，可得—x+y=a；

当-c<x<c,y<0时，可得c—y=a；当-c<x<c,y>0时，可得c+y=a；

当x>c,y<0时，可得大一丁=。；当x>c,y>0时，可得无+y=a,

当尤=c时，可得y=±(a-c)；当工=-<:时，可得y=±(a-c)；

当y=0时，可得％=±a,

作出“新椭圆”图象，如图所示，

可得“新椭圆”关于左轴，V轴，原点对称，所以B正确；

对于C中，由“新椭圆”的图象，可得了的最大值为。，所以C正确;

对于D中，设“新椭圆”的图象，围成的六边形为A3CDEF,

c+y=a

联立方程组〈，解得x=c,y=。—c,所以A(—c,a—c),则E(—c,c—a),

-x+y=a

根据“新椭圆”的对称性，可得:

11

“新椭圆”围成的面积为S=2S.AEF+SaABDE=2x^x\AE\-\MF\+\AB\-\AE\

—2x—x(2a—2c),(tz—c)+2c,(2a—2c)-2(t?2—c2),所以D错误.

故选：BC.

1

12.-

3

【解析】

【分析】根据已知条件列方程，求得。与〃的关系式，从而求得双曲线的离心率.

la+lc-m

31

【详解】依题意，<a-c-n,则nI。=一〃,c=一〃，

22

m=4n

c1

所以离心率e=—=不

a3

13.—

3e

【解析】

【分析】设曲线/(力=则与曲线8⑴二加色〉。)的公共点为(％,%)，由题意可以得到

/(：o)-g'o)列出关于a,%的方程并进行求解即可.

[fM=gM

【详解】由/'(x)=U竺的定义域为(o,+“)，

X

工竺与曲线g(%)=双25>0)的公共点为(3,%),(x>0),

因此设曲线/'(%)=0

即上^Q_=①，

贝1」/(%)=8(不),

%

又r(x)=Tg'(x)=2ax,且两曲线在公共点有公切线,

X

1-lnxn八

则/'(%)=g'(』),即——=2axQ@,

12

①②联立消去a得21nx°=1—1慢，解得i,

]_

lnxIne31

Z7----n----------

代入①可得.(1V3e，

I)

故答案为：—

3e

14.-1

【解析】

【分析】首先利用二项式定理求(0+1)”的展开式，从而确定x,后y的值，再利用二项式定理求

(、巧-1)”的展开式，并把展开式用羽、历y表示，最后求出炉―2产的值.

【详解】由(0+=C)(0『+J(④广+4(后厂…+C器(冈+C北(0)°

=x+y[2y®,

则x=C)(3『+《9(④©北(④)。，0〉=c)(0/+C；9(3『…+C副血卜

X(A/2-1)"=C；9(V2)"(-1)°+C；9(V2)98(-1)'+C；9(应)”(-1)2…

+C副何(一10+醴(0)(-1)"

=C；9(V2)98(-1)1+C；9(_以…+喘(夜)。(_球9

+C；9(V2)"(-1)°+《9(A/2)97(-1)2...+C^11

=—X+y[2y②,

①义②得(0+l『x(亚—1/=(x+岳卜卜X+0),

即1=—丁+2/，因此2/=—1,

故答案为：-1

13

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察(应+1J9的展开式，发现展开式中一部分是整数，一

部分是含血的整数倍，从而确定的值，考查了二项式定理的应用，利用二项式定理求展开式，

是一道综合性比较强的题.

15.(1)前3局中乙恰有2局获胜的概率为2.

9

Q

(2)比赛结束时两位选手共进行了5局比赛的概率为一.

27

【解析】

【分析】(1)根据独立事件概率乘法公式求前3局中乙恰有2局获胜的概率；

(2)根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率即可.

【小问1详解】

设事件甲第i局比赛获胜为4,，=L2,3,4,5,6,7,

则尸(4)=|,P(A)=j-

事件前3局中乙恰有2局获胜可表示为4AA+4AA+4AA，

又于(A44+A4A++尸，

所以

42A+74A)=P(A)P(4)P(W)+PW)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(A),

所以+A4A+A4A),

所以前3局中乙恰有2局获胜的概率为2.

9

【小问2详解】

设事件比赛结束时两位选手共进行了5局比赛为B,

事件前4局甲胜3局且第5局甲胜为C,

事件前4局乙胜3局且第5局乙胜为D,

则5=。+。，且事件互为互斥事件，

3

^LUP(B)=P(C)+P(D)=C>f|L|x|+C^jxWx1=A,

\JJJJJ\JJJ乙/

Q

所以比赛结束时两位选手共进行了5局比赛的概率为—.

27

16.(1)—(2)立

32

【解析】

【分析】(1)由acosC—J3〃sinC—Z?+c=0，利用正弦定理，再化简可得百sinA+cosA=l，可

14

得sin(A+g]=:，求得4=2；

I6；23

(2)由6=2,A=@,Swc=巫,可得c=3,在VA5C中，由余弦定理解得a=J历，得

BM=叵,由余弦定理求得cos8=±叵，在AABM中，由余弦定理即可求得AM=立.

2192

小问1详解】

因为acosC-百asinC-Z?+c=0，

由正弦定理得sinAcosC-J^sinAsinC-sinB+sinC=0，

在VABC中，sinB=sin(A+C),

贝UsinAcosC-gsinAsinC-sinAcosC-cosAsinC+sinC=0，

得—A/3sinAsinC—cosAsinC+sinC=0,

因为0£(0,兀),sinCVO,

所以A^sinA+cosA=1，即2sinfA+=1,sinfA+—J=—,

「4(c\兀「兀7兀、…'7i5兀〜一.2兀

又AG(O,TI),则A+豆J,则A+q=y,所以A=§.

【小问2详解】

2兀

因为匕=2,A=——,

3

.P17.43^3

田3ARC=—besinA------，

△ADC22

所以工x2xcx^=更，解得c=3,

222

在VA5C中，由余弦定理得

a=/+/_2bccosA=4+9-2x2x3x19,

则。=加，又M为BC边上的中点，所以《叵

2

在VA5C中，由余弦定理得

15

a2+c2-b219+9—44M

则cosB=

2ac2xMx3-19'

在△?1碗中，由余弦定理得

,,,19J194M7

AM2=AB2+BM2-2ABBMcosB=9+--2x3xy—x^—=-

42194

所以

2

17.(1)见解析(2)巫

7

【解析】

【分析】(1)设AB的中点为E，证明CE,平面然后利用线面垂直证明面面垂直即可;

(2)作出二面角A-四-C的平面角，然后利用线面关系作出二面角4-AC-3的平面角，然后利用

余弦定理求余弦值即可.

【小问1详解】

设A3的中点为E，连接CE，AE,如图所示,

JT

因为VA5C与△A%均为等腰直角三角形，ZACB=ZAA.B=-,

故BC=ABcos45°="CE1AB,且以=345=14石=；筋=1，

因为AABC为等边三角形，故夜，

故AC?=。£2+4石2,即CE，AE,

且AB，AEu平面441B，4EcAB=E,

故CE，平面MB,且CEu平面ABC,

故平面AA13,平面ABC.

【小问2详解】

16

由（1）知，CE1AB,A3,且平面A415c平面ABC=AB,

TT

故NCE4即二面角A-AB-C的平面角，即NCE4=1,

故ACEA为等边三角形，则CA=CE=1,

因为CE1AB,4E，AB,cCE=E，且CE,AEu平面C4E,

所以AB，平面CAXE,M，故44±平面CAXE,

且ACu平面CAE，故A41AC,则Be=耳+廿=后

设AC和用C中点分别为M,N,连接

C

则MNHA.B,,MN=；=1,故"N，A。,

又因为3。=43=夜，故®a。，

且MNu平面A耳C,BMu平面\BC,

故NBMN即二面角4-AC-B的平面角,

且3Af=jBC2-CAf2

因为34=9=及=3。,故3N，B|C,

则BN=y/BC2-CN2=JBC2-RB]Ci24

73

,…，BM"+MN"-BN"1+4277

所以cosNBMN=-----------------------=2~~产上=-----

2BMMNV77

2x——xl

2

故面角B.-A.C-B的平面角的余弦值为次.

7

17

18.（1）E:X2-^=1（2）而■或—步?

【解析】

序A2

【分析】（1）将％。代入曲线石得y=±幺，故得|A用=忸用=幺，从而结合双曲线定义以及题

aa

意得，解出。即可得解.

4b

—+447=16

.a

（2）由题意得直线/的斜率存在且不为0,设/：元=冲+2（根，0）,接着与曲线E联立方程结合韦达

定理求得%+上和%%，由比=3£万得%=-3%,与韦达定理结合即可求出加2,进而即可得直线

的斜率.

【小问1详解】

2272

将无=一。代入E：=］（〃>0/〉0）,得y=±,

aba

所以|A周=忸耳|=2,所以3闾=忸词=乙+2口,

a

所以由题得《

4/

—+4。=16

La

所以双曲线E的方程为E:必—汇=1.

3

【小问2详解】

由（1）知耳（2,0）,显然当直线/的斜率不存在或/的斜率为0时，恒=3”不成立,

故直线/的斜率存在，且不为0,设/:x=%y+2（mw0）,。（石,％）,£>（x,,y2）,

18

x=my