课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题十五坐标系与参数方程试题理

PAGEPAGE23专题十五坐标系与参数方程挖命题【真题典例】【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.极坐标方程能在极坐标中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化探讨曲线的性质2024课标Ⅱ,22,10分极坐标方程与直角坐标方程互化轨迹问题、三角函数求面积最值★★★2024课标Ⅰ,23,10分极坐标方程求参数2024课标Ⅱ,23,10分极坐标方程与直角坐标方程互化三角函数求最值2.参数方程了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与一般方程的互化进一步探讨曲线的性质2024课标Ⅱ,22,10分参数方程与一般方程互化直线的斜率★★★2024课标Ⅰ,23,10分参数方程三角函数求最值分析解读从近5年的高考状况来看,本专题内容始终是高考命题的热点,以解答题的形式出现,分值为10分.主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与一般方程的互化以及参数方程的应用,尤其是利用椭圆、圆的参数方程求最值及利用直线参数方程中参数的几何意义求值是高考考查的重点.解题时,应熟记互化公式和互化方法,奇妙设取参数,充分利用转化与化归思想在解题中的指导作用.破考点【考点集训】考点一极坐标方程1.(2024四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成一般方程;(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线θ=-π3解析(1)曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.直线l的参数方程为x=转化为直角坐标方程为y=x-m.(2)当m=0时,A22,π所以S△AOB=12×2×22sinπ3+2.(2024福建福州四校期末联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+cosα,y=2+sin(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求1|OA|解析(1)由曲线C1的参数方程为x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数)得曲线C1的则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,由于直线C2过原点,且倾斜角为π3,故其极坐标方程为θ=π(2)由ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,θ=π3得ρ2-(23∴1|OA|+1|OB|=考点二参数方程1.(2024四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:x=22(1)求l的一般方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为x=转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程x=22t,y=-1+22t(t为参数)代入x则|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.2.(2024河北衡水中学期末,22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cosθ+2sinθ=0,ρ2=4co(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程;(2)若点Q是椭圆C上的动点,求点Q到直线l的距离的最大值.解析(1)cosθ+2sinθ=0⇒ρcosθ+2ρsinθ=0⇒x+2y=0.ρ2=4cos2θ+4sin2θ⇒ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4⇒x2所以直线l与椭圆C的直角坐标方程分别为x+2y=0,x24+y(2)因为椭圆C:x24+y2=1的参数方程为因此点Q到直线l:x+2y=0的距离d=|2cosθ+2sin所以当θ+π4=kπ+π即θ=kπ+π4(k∈Z)时,d取最大值2炼技法【方法集训】方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(2024河南濮阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=(1)求曲线C的极坐标方程;(2)过原点O的直线l1,l2分别与曲线C交于除原点外的A,B两点,若∠AOB=π3解析(1)曲线C的一般方程为(x-3)2+(y-1)2=4,即x2+y2-23x-2y=0,所以,曲线C的极坐标方程为ρ2-23ρcosθ-2ρsinθ=0,即ρ=4sinθ+(2)不妨设A(ρ1,θ),Bρ2,θ+则ρ1=4sinθ+π3,ρ2△AOB的面积S=12|OA|·|OB|sin=12ρ1ρ2sinπ3=43sinθ=23cos2θ+3≤33.所以,当θ=0时,△AOB的面积取最大值33.方法2参数方程与一般方程的互化方法(2024河北五个一名校其次次联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为x=a+2t(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.解析(1)∵曲线C1的参数方程为x=a+2t∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,∴ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,又ρcosθ=x,ρ2=x2+y2,∴x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,由y2=4x,x=则Δ=(-22)2-4(2-8a)>0,即a>0,∴t依据参数方程中参数的几何意义可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴由|PA|=2|PB|得t1=2t2或t1=-2t2,∴当t1=2t2时,有t解得a=136>0,符合题意;当t1=-2t2时,有解得a=94>0,符合题意.综上所述,a=136或a=过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一极坐标方程1.(2024课标Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满意|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,π3解析本题考查极坐标方程及其应用.(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=12|OA|·ρB=4cosα·sinα-π3=2当α=-π12时,S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+32.(2024课标Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2综上,所求C1的方程为y=-43方法总结极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.(2)巧借两角和差公式,转化成ρsin(θ+α)或ρcos(θ+α)的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ,将y转化为ρsinθ,即可得到极坐标方程.考点二参数方程1.(2024课标Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解析(1)曲线C的直角坐标方程为x24+当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-4(故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.注:因为在教材中,参数方程与一般方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“一般方程”更合适.方法总结以角θ为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系:sin2θ+cos2θ=1将参数方程化为一般方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或点差法进行整体运算求解.2.(2024课标Ⅲ,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为x=cosθ,(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解析本题考查参数方程与一般方程的互化、直线与圆的位置关系.(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=π2时,l与☉O交于两点.当α≠π2时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-2.l与☉O交于两点当且仅当21+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈π(2)l的参数方程为x=设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满意t2-22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又点P的坐标(x,y)易错警示简单忽视直线斜率不存在的情形.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一极坐标方程1.(2024北京,10,5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=.

答案1+22.(2024湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l与曲线C:x=2+cosα答案2ρcosθ+考点二参数方程1.(2024江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+12解析椭圆C的一般方程为x2+y2将直线l的参数方程x=1+12t,1+12t2+32t24=1,即7t所以AB=|t1-t2|=167评析本题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程与一般方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础学问,考查运算求解实力.2.(2024江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+解析直线l的一般方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2当s=2时,dmin=45因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值45C组老师专用题组考点一极坐标方程1.(2024北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.

答案12.(2024天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcosθ-π6答案23.(2024北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcosθ-3ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=.

答案24.(2024广东,14,5分)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-π4=2,点A的极坐标为A2答案55.(2024重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+答案56.(2024广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.

答案(1,1)7.(2024江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinπ6解析本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础学问,考查运算求解实力.因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆,因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6-θ设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=π6连接OB,因为OA为直径,所以∠OBA=π2所以AB=4cosπ6=23因此,直线l被曲线C截得的弦长为23.一题多解把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x-3y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C:(x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d=22=1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2R2-8.(2024课标Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=(1)写出C的一般方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解析本题考查参数方程与一般方程的互化,极坐标方程.(1)消去参数t得l1的一般方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的一般方程l2:y=1k设P(x,y),由题设得y消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的一般方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立ρ2故tanθ=-13,从而cos2θ=910,sin2θ=代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为5.思路分析(1)由参数方程干脆消去参数t、m、k,即得C的一般方程.(2)将C的直角坐标方程化为极坐标方程,与直线l3的参数方程联立,从而求得点M的极径.方法总结极坐标问题既可以化为直角坐标处理,也可以干脆用极坐标求解.但要留意极径、极角的取值范围,避开漏根或增根.9.(2024课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是x=tcos解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+由|AB|=10得cos2α=38,tanα=±15所以l的斜率为153或-15方法总结利用数形结合的思想方法及整体运算的技巧极大地提高了解题效率.评析本题考查直线和圆的极坐标方程;极坐标的几何意义的应用;利用方程的思想方法是求解的关键.10.(2024课标Ⅰ,23,10分,0.825)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2解析(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2,故ρ1-ρ2=2,即|MN|=2由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为12思路分析(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ求解;(2)将直线C3的极坐标方程代入圆C2的极坐标方程,通过解方程求出|MN|的值,再结合圆C2的半径求△C2MN的面积.方法总结直角坐标方程与极坐标方程的互化方法:直角坐标方程极坐标方程11.(2024课标Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcosα,y=(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(23cosα,α).所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα当α=5π6思路分析(1)由互化公式把曲线C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程求得交点的直角坐标;(2)求出C1的极坐标方程,进而得点A,B的极坐标分别为(2sinα,α),(23cosα,α),从而得出|AB|=|2sinα-23cosα|,利用三角函数的相关学问可求其最大值.解题关键将|AB|表示成关于α的函数是解第(2)问的关键.12.(2024江苏,21C,10分)已知圆C的极坐标方程为ρ2+22ρsinθ-解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+22ρ22化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为6.评析本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础学问,考查运算求解实力.13.(2024辽宁,23,10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x由x12+y12=1得x2+y2故C的参数方程为x=cos(2)由x2+y2不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线斜率为k=1即ρ=34sin考点二参数方程1.(2024安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x=A.14B.214C.2D.22答案D2.(2024天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+答案13.(2024湖北,16,5分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为x=t-答案254.(2024湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C答案(3,1)5.(2024湖南,16(2),6分)已知直线l:x=5+(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.解析(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将x=5+32t,y=3+12t代入②,得t6.(2024课标Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα(1)写出C1的一般方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的一般方程为x23+yC2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=|3cosα当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为3思路分析(1)对于C1的参数方程,利用sin2α+cos2α=1消去参数α可得C1的一般方程,对于C2的极坐标方程,由两角和的正弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得C2的直角坐标方程;(2)由C1的参数方程设出P点的直角坐标,利用点到直线的距离公式和三角函数的学问进行求解.方法总结求与曲线上动点有关的最值时,常利用曲线的参数方程表示出曲线上的动点,从而利用三角函数的学问求最值,这样可以极大简化运算过程.评析本题主要考查参数方程、极坐标方程与一般方程的互化关系以及参数方程的应用.考查考生对基础学问和基本技能的应用实力.正确利用曲线的参数方程是求解第(2)问的关键.7.(2024陕西,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=23sinθ,得ρ2=23ρsinθ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t则|PC|=3+12t28.(2024课标Ⅱ,23,10分,0.462)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈0,(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,依据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的一般方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为x=1+cos(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tant=3,t=π3故D的直角坐标为1+cosπ3思路分析(1)先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,再求其参数方程.(2)利用曲线C的参数方程设出点D的直角坐标,由切线的性质求解.9.(2024江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1-2解析将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2所以AB=|t1-t2|=82.10.(2024福建,21(2),7分)已知直线l的参数方程为x=a-(1)求直线l和圆C的一般方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的一般方程为2x-y-2a=0,圆C的一般方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=|-2解得-25≤a≤25.11.(2024课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C:x24+y2(1)写出曲线C的参数方程,直线l的一般方程;(2)过曲线C上随意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为x=2cos直线l的一般方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上随意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=55则|PA|=dsin30°=其中α为锐角,且tanα=43当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为225当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为25思路分析(1)利用三角换元的方法求曲线C的参数方程,消去参数t得直线l的一般方程;(2)利于曲线C的参数方程表示出P的直角坐标,由点到直线的距离公式及解直角三角形建立|PA|关于θ的函数,利用三角函数的学问求最值.【三年模拟】解答题(共80分)1.(2025届广东佛山顺德其次次质检,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1+2cosφ,y=(1)求C与l1的极坐标方程;(2)当-π6<α<π3时,直线l1与C相交于O,A两点.过点O作l1的垂线l2,l解析(1)因为曲线C:x=1+2cos所以曲线C的一般方程为(x-1)2+(y-3)2=4,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-23ρsinθ=0.化简得ρ=2cosθ+23sinθ.因为直线l1:x=所以直线l1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)(漏写ρ∈R不扣分).(2)解法一:设点A的极坐标为(ρA,α),-π6<α<π则ρA=|2cosα+23sinα|=4sinα+点B的极坐标为ρB则ρB=4sinα+π2∴|OA|+|OB|=ρA+ρB=4sinα+π=42sinα+所以当α=π12时,(|OA|+|OB|)max=42解法二:由已知得∠AOB=90°,∴AB为☉C的直径,故有|OA|2+|OB|2=|AB|2=42=16,∴|OA|+即|OA|+|OB|≤28=42,当且仅当|OA|=|OB|=22时,|OA|+|OB|取得最大值42.2.(2025届广西南宁、玉林、贵港摸底考试,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+2cosφ,(1)求曲线C1的一般方程和C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R),点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=42,求α的值.解析(1)由x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ为参数)消去参数φ可得C1的∵ρ=4sinθ,∴ρ2=4ρsinθ,由x=ρcosθ,y=(2)由(1)得曲线C1的方程为(x-2)2+y2=4,其极坐标方程为ρ=4cosθ,由题意设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则|AB|=|ρ1-ρ2|=4|sinα-cosα|=42sinα-π4∴α-π4=π2+kπ(k∈Z).∵0<α<π,∴α=3.(2025届河北衡水中学9月月考,22)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθ(a>0).直线l的参数方程为x=(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程;(2)若点P的极坐标为(2,π),|PM|+|PN|=52,求a的值.解析(1)由ρ=2sinθ+2acosθ(a>0),得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a>0),所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y+2ax(a>0),即(x-a)2+(y-1)2=a2+1(a>0).直线l的一般方程为y=x+2.(2)将直线l的参数方程x=-2+22t,y=22t代入x2+y2=2y+2ax并化简、整理得t2-(32+2a)t+4a+4=0,因为直线l与曲线C交于M,N两点.所以Δ=[-(32+2a)]2-4(4a+4)>0,解得a≠1.由根与系数的关系,得t所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=32+2a=52,解得a=2,此时满意a>0,且a≠1.故a=2.4.(2025届湖北、山东重点中学第一次联考,22)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1、C2的参数方程分别为C1:x=2cosθ,y=(1)求曲线C1、C2的一般方程;(2)已知点P(1,0),若曲线C1与曲线C2交于A、B两点,求|PA|+|PB|的取值范围.解析(1)曲线C1的一般方程为x24+当θ≠π2+kπ,k∈Z时,曲线C2的一般当θ=π2+kπ,k∈Z时,曲线C2的一般方程为x=1.(或曲线C2的一般(2)将C2:x=1+tcosθ,y=tsinθ(t为参数)代入C1:x2设A,B对应的参数分别为t1,t2,t1+t2=-6cosθsin2θ+3,t∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+∵sin2θ∈[0,1],∴|PA|+|PB|∈[3,4].5.(20