四川省北京师范大学广安实验学校2025届高三数学上学期模拟考试试题理

PAGEPAGE14四川省北京师范高校广安试验学校2025届高三数学上学期模拟考试试题理一、选择题1．已知复数（为虚数单位），则（）A．2 B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．已知向量，，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．我国古代名著《孙子算经》中有如下好玩的问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问三女何日会面？”．意思是：“一家有三个女儿都已出嫁，大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家会面？”．三人再次在娘家会面，则要隔的天数可以为（）A．90 B．180 C．270 D．3905．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．6．已知等差数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．7．已知，，则（）A． B． C． D．8．已知函数若，且满意，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（）A． B． C． D．310．已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数是最小正周期为的偶函数B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小值为D．函数在区间上单调递增11．若不等式恒成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．12．如图所示，在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．二、填空题13．若函数是定义在上的奇函数，且，则______．14．6个人排成一排，其中甲、乙恰好相邻，且丙与甲和乙都不相邻的概率为______．15．已知数列得到前项和为，，当时，，则______．16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线，与双曲线交于，两点，点为外接圆的圆心，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______．三、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．18．如图所示，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．19．2024年4月9日起，运用青岛地铁钱包支付扫码乘车可享受乘坐地铁阶梯折扣实惠、公交乘车实惠与换乘实惠政策，青岛地铁将在原有微信、支付宝、银联三种支付方式的基础上，新增钱包支付方式，乘车累计实惠最高到7折．依据相关实惠政策，同一乘车码或同一乘坐地铁，一个自然月内，从第一笔消费起先享受单程票价9折实惠；累计消费满100元及以上，每笔消费享受单程票价8折实惠；累计消费满200元及以上，每笔消费享受单程票价7折实惠；累计消费达到300元及以上，复原9折实惠，月底清零，下一自然月重新累计．其中，补交超时费、更新及自助补出站等涉及的金额不参与累计．（1）若甲乘客2024年3月份乘坐地铁上下班的总费用为200元，请估计2024年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用（结果精确到0.01）；（2）乘坐青岛地铁的购票方式一般有三种方式，一是通过自动售票机购票，二是购买专用的乘车卡支付，三是运用青岛地铁钱包支付扫码．现随机调查了100名乘客，得到如下列联表：运用青岛地铁乘车运用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付青年人4010中老年人3020试推断能否有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关？（3）在（2）的条件下，利用分层抽样的方法从青年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中运用青岛地铁乘车的人数为，求分布列和数学期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828220．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，使得，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，且，，，四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．21．已知函数．（1）若曲线在点处的切线过点，求实数的值；（2）若函数仅有两个零点，求实数的取值范围．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线，求的最小值．23．已知，，为正数，证明：（1）；（2）．理科数学参考答案题号123456789101112答案BACBDBCACDAD【答案提示】1．B因为，所以，所以．故选B．2．A由，，所以．故选A．3．C由，则，所以，有，故“”是“”的充要条件．故选C．4．B由可知，要隔的天数为60的正整数倍．故选B．5．D．故选D．6．B设公差为，则，得，有，解得，所以．故选B．7．C由，得，可知，与联立，得，，所以，所以．故选C．8．A由函数的图象（如图所示），可知，由得，所以，所以．故选A．9．C点的坐标为，设点，的坐标分别为，，直线的方程为，联立方程消去后整理为，所以，，，，所以由（当且仅当时取等号），所以，可得的最小值为．故选C．10．D由，可知函数为偶函数，由，可知不是函数的周期；由，可知，函数的图象不关于直线对称；由，可知不是函数的最小值；当时，，此时函数单调递增．故选D．11．A不等式可化为，有，令，则，由函数在上单调递增，得，所以．令，有，令，得，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以，故有．故选A．12．D如图所示，取的中点，连，，过点作直线的垂线，垂足为，设三棱锥外接圆的半径为．由€，，，可得，，有平面，可得，又由，可得平面，故为直线与平面所成的角，可得，，，，在中，，解得：或．①当时，，此时三棱锥为正三棱锥，有，解得；②当时，，此时由，可得，同理可得，此时的中点为三棱锥外接球的球心，得．由上可知三棱锥外接球的半径为．故选D．13．0因为为上的奇函数，所以，又由，可得函数的周期为4，所以．14．6个人排成一排，其中甲、乙恰好相邻，且丙与甲和乙都不相邻的排法数为，所求概率为．15．由，，得，则，所以，．16．把代入双曲线的方程可求得，可知点的坐标为，点的坐标为．由双曲线的对称可知点在轴上，设点的坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为，有①，又有，平方后解得，代入①式得，化简，得，，，，，即，可得，所以．17．解：（1），所以，可得，即．由余弦定理得，又，所以．（2）由．因为，所以，又，所以，所以，得，所以，所以．18．（1）证明：如图1所示，取的中点，连接，．∵，，∴且．∵，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）解：以点为原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，．设平面的一个法向量为，则有解得取，得，∴；设平面的一个法向量为，则有解得取，得，可得．由，，，∴，故平面与平面所成二面角的正弦值为．19．解：（1）2024年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用估计为元．（2）由，故有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关．（3）这10人中运用青岛地铁乘车的人数为8人，运用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付的青年人数为2人，则的取值为1，2，3，所以，，．所以随机变量的分布列为：123故．20．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有．由的面积为，即，所以．因为，所以．在中，，又，所以，所以．故椭圆的标准方程为．（2）证明：设点，，，的坐标分别为，，，，直线的方程为，直线的方程为，联立方程消去后整理为，则同理可得因为，，，互不相等，故有：直线的斜率为，直线的斜率为，则，故直线和直线的斜率互为相反数．21．解：（1）由，，则，可得曲线在点处的切线为，即．又切线过点，所以，解得，故实数的值为．（2）因为．令，则函数与函数具有相同的零点．①当时，，此时函数没有零点；②当时，令，则，令，有，可得函数的增区间为，减区间为．由，可得，所以，此时函数没有零点；③由函数的定义域为，，当时，有，令，可得；，得，所以函数的增区间为，减区间为，若此时函数有两个零点，必有，可得．下面证当时，函数有两个零点；（i）当时，有，可得，，又由②得，可得，则，所以取时，又，且在单调递增，故在有唯一零点；（ii）令，则，令，得，可得函数的增区间为，减区间为，可得，当时，有，得，有，所以取，，又在单调递减，所以在有唯一零点．由（i）（ii）知，当时，函数有且仅有两个零点．故函数有两个零点时，实数的取值范围为．22．解：（1）曲线的参数方程中消去