广东省深圳市罗湖区2025届高三数学上学期期末质量检测试题理含解析

PAGE广东省深圳市罗湖区2025届高三数学上学期期末质量检测试题理（含解析）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填写在答题卡上.2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3.非选择题的答案必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准运用铅笔和涂改液.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将整理为的形式,进而求解即可【详解】由题,,所以,故选:D【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法法则的应用2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式可得,,再由交集的定义求解即可【详解】由题,则,,所以,故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式,考查解指数不等式3.已知平面对量，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对平方处理,进而求解即可【详解】由题,,所以,故选:A【点睛】本题考查向量的模,属于基础题4.为了探讨不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话.下图表示了志愿者完成任务所需的时间分布.以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（）①总体看女性处理多任务平均用时更短；②全部女性处理多任务的实力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】C【解析】【分析】图像为对志愿者完成任务所需的时间分布图表,利用图像依次分析即可【详解】由图,女性处理多任务用时主要集中在2到3分钟,男性处理多任务用时主要集中在3到4分钟,故总体来看女性处理多任务用时更短,故①正确；女性中也有处理多任务用时在5分钟的,并不是全部女性处理多任务实力都要优于男性,故②错误；从图像上来看男性的时间分布更接近正态分布,故③正确；男性、女性处理多任务的用时均为正数,故④错误；综上,①③正确,故选:C【点睛】本题考查统计数据反馈的信息,考查阅读理解实力5.已知为等差数列的前项和，若，，则（）A.6 B.15 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等差数列可得,可解得,,进而求解即可【详解】因为是等差数列,所以,解得,所以,故选:C【点睛】本题考查求等差数列的项,考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用6.中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；假如把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序.且要求宫，羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少种这样的不同音序（）A.120 B.90 C.80 D.60【答案】C【解析】【分析】探讨“角”的位置,分别是“角”在两端,“角”在其次或第四个位置,“角”在第三个位置的状况,进而求解即可【详解】若“角”在两端,则“宫,羽”肯定在“角”的同侧,此时有种；若“角”在其次或第四个位置,则有种；若“角”在第三个位置,则有种,故共有种,故选:C【点睛】本题考查元素有限制的排列问题,考查分类探讨思想7.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.函数，若存在3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将有3个零点问题转化为与有3个交点问题,画出的图像,进而由图像得到的范围【详解】由题,因为是定义域为的奇函数,则图像关于原点对称,若存在3个零点,则与有三个交点,的图像如图所示,当时,在单调递增,在上单调递减,所以当时,,所以,由图,当时与有三个交点,故选:A【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查由函数的零点个数求参数范围,考查数形结合思想8.已知，，（其中是自然对数的底），则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由,则,,再由,即可得到答案【详解】由题,,,,因为,所以,,又,所以,故选:B【点睛】本题考查对数的运算法则的应用,考查对数的比较大小,属于基础题9.执行如图的程序框图，则输出的值为（）A.90 B.384 C.474 D.488【答案】C【解析】【分析】按程序框图要求一步一步运算,直至不满意的状况,此时输出【详解】,不是偶数,则；,是偶数,则；,不是偶数,则；,是偶数,则；,不是偶数,则；,是偶数,则；,此时输出,故,故选:C【点睛】本题考查依据程序框图计算输出结果,考查运算实力10.设函数，已知在有且仅有2个微小值点，下述选项错误的是（）A.的取值范围是 B.在单调递增C.在单调递减 D.在至多有2个极大值点【答案】B【解析】【分析】由在有且仅有2个微小值点可得,即,即可求得范围,且在单调递减,在单调递增,进而推断选项即可【详解】由题,因为在有且仅有2个微小值点,所以,即,因为,所以,故A正确；因为,所以,因为在单调递增,只有当时在单调递增才成立,故B错误；因为在单调递减,所以在上单调递减,故C正确；因为,两端点取不到,且,所以在至多有2个极大值点,故D正确；故选:B【点睛】本题考查余弦型函数的单调性,考查余弦型函数的周期性的应用11.已知双曲线：的左，右焦点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于点，，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,可得,又有,则,则可得一条渐近线方程为,进而求解即可【详解】由题,以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,因为,所以,,设原点为,因为为的中点,所以在中,,所以,所以一条渐近线方程为,即,所以,故选:A【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查数形结合思想12.已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设点是点在底面的射影,先分析可得是底面的垂心,也是外心,则,则当相互垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点为的中点,则,因为点在侧面内的射影是的垂心,所以,,设点是点在底面的射影,则平面,所以肯定在上,因为,,所以,所以是底面的垂心,也是外心,所以,则当相互垂直时体积最大,设球的半径为,则,所以,所以球的体积为故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球体积,考查空间想象实力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则曲线在点处的切线方程是______.【答案】【解析】【分析】先求导,将代入得到,即为曲线在点处的切线方程的斜率,再求得,进而求解即可【详解】由题,,所以,,则在点处的切线方程为,即,故答案为:【点睛】本题考查曲线在一点处的切线方程,考查导函数的几何意义的应用14.某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲探讨所和乙探讨所进行独立探讨，已知甲探讨所独立探讨并解决这个问题的概率为0.6，乙探讨所独立探讨并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为______.【答案】0.88【解析】【分析】先求得这个技术难题最终不能被解决的概率,再由对立事务求解即可【详解】设事务为“这个技术难题最终能被解决”,所以,所以,故答案为:0.88【点睛】本题考查独立事务的概率公式的应用,考查利用对立事务求概率15.已知直线：经过抛物线：的焦点，且与交于、两点，与的准线交于点，若，则______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】将代入直线的方程中即可求得焦点,进而求得；由可知点为线段的中点,进而求解即可【详解】因为直线为,所以当时,,所以焦点,所以,即抛物线为,则准线为,设点,,因为,所以点为线段的中点,所以,解得,因为点在抛物线上,所以,解得或,因为,所以点在第一象限,所以为,所以,故答案为:；【点睛】本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查斜率公式的应用16.如图，平面四边形中的面积是面积的两倍，数列满意，，当时，恒有，则数列的前6项和为______.【答案】1818【解析】【分析】连接、,交于点,作,垂足为,,垂足为,由的面积是面积的两倍可得,则,可设,则,,即,整理可得,则数列是首项为,公比为的等比数列,再利用累加法可得数列的通项公式,进而求解即可【详解】连接、,交于点,作,垂足为,,垂足为,如图所示,所以∽,则,因为的面积是面积的两倍,所以,所以,明显、、三点共线,设,所以,则,,所以,则,当时,,所以数列是首项为,公比为的等比数列,则,所以,…,,由累加法可得,所以,设数列的前项和为,所以所以当时,,故答案为:1818【点睛】本题考查平面对量分解定理的应用,考查累加法求通项公式,考查等比数列的前项和公式的应用,考查运算实力三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题，共60分17.在中，角，，的对应边分别为，，，已知，且.（1）求；（2）若的面积为2，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得,分别探讨和的状况,进而求解即可；（2）由（1）可得,,依据三角形面积公式可得,再利用正弦定理可得,进而求解即可【详解】解：（1）,∴,由余弦定理得,因为,,所以或,①当时,则,,这与“”冲突,∴；②当时,,∴,∴（2）由（1）,,,的面积,所以,由正弦定理,则,,所以,所以,则【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查利用正弦定理解三角形18.如图，在矩形中，，为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使平面平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由,可得,利用平面平面,可得平面,则,由折叠知,进而得证；（2）以的中点为坐标原点,以的方向为轴正方向,过点分别做和的平行线,分别为轴和轴,建立如图所示空间直角坐标系,分别求得平面的法向量和平面的法向量,进而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:由题意,又,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,故,又,且,所以平面（2）以的中点为坐标原点,以的方向为轴正方向,过点分别做和的平行线,分别为轴和轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,设为平面的法向量,则有则,即,可取,设为平面的法向量,则有则,即,可取,所以,则二面角余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算实力19.已知椭圆：，若，离心率为.（1）求的方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题可得,进而求解即可；（2）设直线为,联立直线的方程与椭圆的方程,由韦达定理可得的关系,由以线段为直径的圆过点,则,进而代入求解即可【详解】解:（1）由题意,解得,,所以椭圆的方程（2）设直线的方程设为,设,,联立消去得,则有,,且,解得,又,,所以,,由为直径的圆过点,得,所以,得,所以,则,解得,,又,所以直线的方程为或【点睛】本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算实力20.已知函数，，，是函数的导函数.（1）当时，证明：函数在区间没有零点；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时,,由可得,且,,,即可得时,,即可得到恒成立,进而证明；（2）,则在上恒成立,设,,则,,可得,对求导,由导函数的单调性进而推断的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：若,则,,又,,故,所以,又,,,当时,,所以恒成立,所以当时,函数在区间没有零点.（2）解:,,故在上恒成立,设,,所以,,即,因为,由,得,所以在区间上单调递减,所以；在区间上单调递增,,又,所以,,,故在区间上存在唯一零点区间,由的单调性可知,在区间上,单调递减；在区间上,单调递增,,故【点睛】本题考查函数的零点的分布问题,考查利用导函数探讨函数的单调性,考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算实力21.某房产中介统计了深圳市某高档小区从2024年12月至2024年11月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图，如下图所示，图中月份代码1至12分别对应2024年12月至2024年11月的相应月份.依据散点图选择和两个模型进行拟合，依据数据处理得到两个回来方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：残差平方和0.01485570.0048781总偏差平方和0.069193（1）请利用相关指数推断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2024年5月份购买深圳市福田区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若该小区全部住房的房产证均已满3年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额＝房款＋税费；房屋均价精确到0.01万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过760万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积（精确到1平方米）附注：依据有关规定，二手房交易须要缴纳若干项税费，税费是依据房屋的计税价格进行征收.（计税价格＝房款）征收方式见下表：购买首套房面积（平方米）契税（买方缴纳）的税率参考数据：，，，，，，，，参考公式：相关指数.【答案】（1）模型的拟合效果更好；详见解析（2）（i）答案不唯一，详细见解析（ii）104平方米【解析】【分析】（1）依据表格,将数据代入相关指数的公式中,相关指数越大,拟合效果越好,即可得到结果；（2）（i）由题可得2024年5月份的对应月份代码为18,代入模型中求得二手房均价,进而依据不同的房屋面积对房款和税费求解即可；（ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为平方米,先由金额预估其面积的大致范围,进而求解即可【详解】解：（1）设模型和的相关指数分别是和，则,,因为,所以，所以模型的拟合效果更好（2）2024年5月份的对应月份代码为18,由（1）知,模型的拟合效果更好,利用该模型预料可得,这个小区2024年5月份的在售二手房均价为万元/平方米,（i）设该购房者应支付购房金额为万元,因为税费中买方只需缴纳契税,所以①当时,契税为计税价格的,故,②当时,契税为计税价格的,故,③当时,契税为计税价格的,故,故,所以当时,购房金额为万元；当时,购房金额为万元；当时,购房金额为万元（ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为平方米,由（i）知,当时,应支付的