2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十四平面的基本事实与推论含解析新人教B版必修第四册

PAGE十四平面的基本领实与推论(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列说法不正确的是 ()A.梯形的四个顶点共面B.三条平行直线共面C.有三个公共点的两个平面重合D.三条直线两两相交,可以确定3个平面【解析】选BCD.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以A是正确的;三条平行直线不肯定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以B不正确;有三个公共点的两个平面不肯定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以C不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以D不正确.2.已知点A,直线a,平面α,以下命题表达正确的个数是 ()①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.①错,如图:②a∈α符号不对;③错,如图:④A⊂α符号书写不对.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,假如P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么在正方体中过点P,Q,R的截面图形是 ()A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形【解析】选D.如图,延长PQ分别交CB,CD的延长线于点M,N,连接MR,交BB1于点E,交CC1的延长线于点H,连接NH,分别交D1D,D1C1于点F,G,则六边形QPERGF为截面图形.4.(2024·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.已知m,n,l两两相交,可以推出m,n,l在同一个平面,反之,已知m,n,l在一个平面,可以推出m,n,l两两相交,或者m∥n,l与m,n相交等多种状况,故“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.5.如图所示,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 ()A.点A B.点BC.点C,但不过点D D.点C和点D【解析】选D.由已知,得点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.二、填空题(每小题4分,共8分)6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M__________l.

【解析】因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.答案:∈【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试依据图形填空:(1)平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=________;

(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;

(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=__________;

(4)平面A1B1C1D1,平面B1C1CB,平面ABB1A1的公共点为__________.

答案:(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17.空间三条直线,假如其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是________.

【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).答案:1或2或3三、解答题(共22分)8.(10分)如图所示,已知E,F与G分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱AB,B1C1与DA的中点,试过E,F,G三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面.【解析】作法:(1)连接GE并延长交CB的延长线于M,交CD的延长线于N,连接MF,交棱B1B于点H,连接HE;(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连接FR,FR交D1C1于Q;(3)连接QN交D1D于点K,连接KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.9.(12分)如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,假如EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.【证明】因为EF∩GH=P,所以P∈EF且P∈GH.又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,所以P∈平面ABD∩平面CBD,因为平面ABD∩平面CBD=BD,所以P∈BD,所以点P在直线BD上.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是 ()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合【解析】选ABD.选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错.2.空间中有A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一个平面内,B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点 ()A.共面 B.不肯定共面C.不共面 D.以上都不对【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不肯定共面;若B,C,D不共线,则这五个点肯定共面.3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.4.有下列四种叙述:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点必共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确叙述的序号是 ()A.②③④ B.②③ C.①②③ D.①③【解析】选B.因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;因为空间任何三点不共线但四点可以共面,所以④错.【补偿训练】经过空间随意三点作平面 ()A.只有一个 B.可作两个C.可作多数个 D.只有一个或有多数个【解析】选D.若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出多数个平面.二、填空题(每小题4分,共16分)5.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定__________个平面.

【解析】假如这四点在同一平面内,那么确定一个平面;假如这四点不共面,则随意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.答案:1或46.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是__________.

①C1,M,O三点共线;②C1,M,O,C四点共面;③C1,O,A,M四点共面;④D1,D,O,M四点共面.【解析】连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,因为A1C∩平面C1BD=M.所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以①②③均正确,④不正确.答案:①②③7.有下列命题:①空间三点确定一个平面;②有3个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④等腰三角形是平面图形;⑤垂直于同始终线的两条直线平行;⑥一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.其中正确命题的序号是__________.

【解析】由平面的基本领实1知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①错,②中当三个公共点共线时,两平面可以不重合,③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑤错.因为在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑥错.答案:④8.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是__________.

①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以①错;a∩β=P时,②错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α,又因为a∥b,所以由a与b确定唯一平面γ,但γ经过直线a与点P,所以γ与α重合,所以b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.答案:③④三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1B,D的平面交于点P,求证:点A1,P,O在同始终线上.【证明】如图,连接AC,A1C1,因为O是BD的中点,所以O是AC的中点,即O∈AC,又因为AC⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1.因为P∈AC1,又因为AC1⊂平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,所以A1,P,O都在平面ACC1A1内.又因为A1,P,O都在平面A1BD内,所以A1,P,O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,即A1,P,O三点共线.10.(12分)已知三个平面两两相交,有三条交线,求证:若这三条交线不平行,则它们交于一点.【解题指南】证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点,再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点,平面几何中证多线共点的思维方法仍旧适用,只是在思索中应考虑空间图形的特点.【解析】已知:如图,设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.且a,b,c不平行.求证:a,b,c三线交于一点.证明:因为α∩β=c,α∩γ=b,所以b⊂α,c⊂α.因为b,c不相互平行,所以b,c交于一点.设b∩c=P,因为P∈c,c⊂β,所以P∈β.同理,P∈γ.因为β∩γ=a,所以P∈a.故a,b,c交于一点P.11.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图所示:(1)求证:D,B,E,F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.【解析】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点