2024-2025学年高二年级上册第一次月考数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年高二上第一次月考数学试卷

（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）

姓名：成绩:

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线旧x-3y-2机=0（〃zCR）的倾斜角为（）

A.120°B.60°C.30°D.150°

rTr-7r―—，

2.如图，在四面体。42c中,OA=a,OB=b,OC=c.点/在Q4上，且（W=2A£4,N为BC中点,则MN

1-2T1-2TL]T

A.-a——b+-cB.-wa+'b+'C

232

2T2TIT

D.—a+—b——c

332

3.已知直线/经过点4（0,4）,且与直线2x-y-3=0垂直，则直线/的方程是（）

A.x+2y-8=0B.x+2y+8=0C.2x~y~4=0D.2x~y+4=0

4.在棱长均等的正三棱柱A8C-4121cl中，直线481与3cl所成角的余弦值为（）

5.已知点/（2,0）,3（0,4）,若过尸（-6,-8）的直线/与线段48相交，则实数左的取值范围为（）

A.k^lB.心2C.左22或左D.1W4W2

1

6.如图，在四棱锥尸-N5CD中，底面是矩形，B4_L平面48CD,点£在线段上，P4=4D=/B=1,

当直线国与平面总C所成角的正弦值为时’而=（）

―>Q->-1―>O—>

7.如图，48CD-所G〃是棱长为1的正方体，若尸在正方体内部且满足=+则尸到直线

第1页（共18页）

N8的距离为（)

8.如图，正方体ASCD-NbBiCiDi的棱长为6,点M为C。的中点，点尸为底面//Ci》上的动点，满足

4W的点尸的轨迹长度为（）

A.2a兀B.3V2C.6V3D.3百兀

多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.下列说法正确的是（）

T1T2T

A.若空间中的O,A,B,C满足。。=6。4+（。3,则/,B,C三点共线

T—T->T

B.空间中三个向量a,b,c,若a||b,则a,b,c共面

—>—>—>—>

C.对空间任意一点。和不共线的三点4,B,C,若。P=2。4+20220B—20230C,则尸，A,B,C四点共

面

D.设｛a,b,c｝是空间的一组基，若/n=a+b,n=a-b,贝！J｛zn,n,c｝不能为空间的一组基

（多选）10.下列说法正确的是（）

A.直线xsine+y+2=0（OeR）的倾斜角范围是［0,今］U［和，兀）

B.若直线-科1=0与直线1-町-2=0互相垂直，则。=1

C.过两点（％1，>1）,（X2,»2）的直线方程为（>-歹1）（%2-xi）=（x-xi）

D.经过点（1,1）且在'轴和丁轴上截距都相等的直线方程为2=0

（多选）11.下列说法正确的是（）

第2页（共18页）

9

A.直线x-y-3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是5

B.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-Q不能构成三角形，则实数Q的取值集合为{-1,1}

C.经过点（1,2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为犷口-3=0或x-y+l=0

D.过（xi，yi）,（如yi）两点的直线方程为（厂/）（%2-xi）=（x-xi）（"-yi）

三.填空题（共3小题）

12.已知直线/：mx+y-1=0,直线〃：2x+（加-1）y+2=0,若/〃几，则实数加=.

13.已知空间向量P力，PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°.点G为△N8C的重心，若PG=xPA+

T—T

yPB4-zPC,x,y,zGR,则|PG|=.

14.直线l过点（4,1）且与x轴j轴的正半轴分别交于两点,。为坐标原点，则△NOB面积的最小值为,

当△408面积取最小值时直线/的一般式方程是.

四.解答题（共5小题）

->TTr—TT7

15.设x,昨R，向量。=（x,1,1）,b=（1,y,1）,c=（2,-4,2）,且a_Lb,bIIc,

（1）求，+b\；

TTTTT

（2）求向量Q+b与2Q+b—c夹角.

第3页（共18页）

16.已知△NBC的顶点3(-2,0),边上的高所在的直线方程为x+3y-26=0.

(1)求直线的方程；

(2)若8C边上的中线所在的直线方程为y=3,求直线/C的方程.

17.已知直线/经过点尸(2,1),且与x轴、y轴的正半轴交于N,3两点，。是坐标原点，若满足.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)已知点M(-3,1),。为直线/上一动点，求最小值.

试从①直线/的方向向量为京=(一2,1)；②直线/经过2x+3y-8=0与x-y-4=0的交点；③的面

积是4,这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答,

则按第一个解答计分.

第4页(共18页)

18.如图，/BCD是边长为。的菱形，NBAD=60°,£3_L平面N8CZ),尸。_L平面/BCD,EB=2FD=Wa

(I)求证：EF±AC；

(II)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值.

第5页(共18页)

19.在四棱锥尸-/BCD中，E4J_平面/BCD,△N8C是正三角形，/C与8。的交点出恰好是NC中点，又PA=

48=4,ZCDA=120°.

(1)求证：BDLPC；

(2)设E为PC的中点，点厂在线段48上，若直线斯〃平面F4。，求4F的长;

(3)求二面角N-PC-8的余弦值.

第6页(共18页)

2024-2025学年高二上第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线岳-3厂2〃?=0(TMGR)的倾斜角为()

A.120°B.60°C.30°D.150°

解：直线gx-3y-2m=0(mGR)的斜率为

故倾斜角为30°,

故选：C.

-T—T—TT

2.如图，在四面体。42C中，。A=a,OB=b,OC=c.点M在。4上，且（W=2M4,N为BC中点，则MN

等于（）

:

IT2TIT2T[T]T

A.—a——b+-cB.—++2c

232

I-1tIT2T2TIT

C.-a+-b——cD.-a+-b——c

222332

解：如图，连接ON,

0

TON是5C的中点，：.0N=/OB+.OC

T2T

*：OM=2MA,：.OM=^OA,

-2T2TL

；・MN=ON-OM=5OB+・OC—可OA——可。+]b+2c.

故选：B.

第7页(共18页)

3.已知直线/经过点/（0,4）,且与直线2x-y-3=0垂直，则直线/的方程是（）

A.x+2y-8=0B.x+2jv+8=0C.2x~y~4=0D.2x-y+4=0

解：•・•直线/与直线2%-厂3=0垂直，

.•.直线/的斜率为-最

1

则y-4=-/，

即x+2y-8=0.

故选：A.

4.在棱长均等的正三棱柱A8C-481。中，直线/Bi与3cl所成角的余弦值为（）

V3V211

A.—B.—C.-D.一

2224

解：设正三棱柱的棱长为2,取NC的中点。，出。的中点Oi,

连接。。1,OB,贝OBA^AC,

因为A4i_L平面A8C,OB,/Cu平面ABC,

所以OOi±AC,

所以。。」03OO\LAC,

所以OB,OC,。。1两两垂直，

所以以。为原点，OB,OC,。。1所在的直线分别为x,修z建立空间直角坐标系，如图所示:

则。(0,0,0),A(0,-1,0),B(V3,0,0),Bi(V3,0,2),Ci(0,1,2),

—>—>

所以力Bi=(后1,2),BC1=(-V3,1,2).

设直线/囱与3C1所成角为。，则

ABitBCi—3+1+41

cos0=I--------I=|//|=7,

\ABr\\BCr\V3+1+4-V3+1+44

1

所以直线/为与20所成角的余弦值为I，

第8页（共18页）

故选：D.

5.已知点/(2,0),3(0,4),若过尸(-6,-8)的直线/与线段48相交，则实数左的取值范围为()

A.kWlB.左》2C.k2或kWlD.lWkW2

解：过P(-6,-8)的直线/与线段N2相交，如图所示：

可得kApWkWkpB，

即^拌号即回'2L

1

6.如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48CD是矩形，平面A8CD,点E在线段上，PA=AD=^AB=1,

当直线尸£与平面P8C所成角的正弦值为"时，—=()

5AB

解：因为PA=4。=1,所以48=2,

又底面N8CD是矩形，为，平面N5CD,

以/为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则有/(0,0,0),P(0,0,1),B(2,0,0),C(2,1,0),

—>—>

所以PB=(2,0,-1),PC=(2,1,-1),

设平面P3C的法向量为(x,y,z),

第9页(共18页)

用［七n•PB=2x—z=0

则有Jrt

n-PC=2x+y—z=0

故y=0,令x=l,则z=2,

所以蔡=(1,0,2),

因为点E在线段45上，设4E=Q,则E（Q,0,0）,

―»

故PE=(a,0,-1),

因为直线PE与平面PBC所成角的正弦值为彳,

〜।t-PE・n\a-2\_V5

所以

IcosVPE,n>|=|-7|=2

\PE\-\n\Vl+a-V55'

则有(a-2)2=a2+l,解得a=*,

7.如图，/BCD-所是棱长为1的正方体，若尸在正方体内部且满足=+则尸到直线

AB的距离为（）

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则/(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),

所以/B=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),

「312312

则力P=1(1,0,0)+今(0,1,0)+|(0,0,1)=-

第10页（共18页）

—>

因为4B=(1,0,0),

—>—>

所以小在版上的投影向量的长度为：I""I=£

\AB\

所以点尸到AB的距离小而2一(|)2=

故选：C.

8.如图，正方体45。-4囱。。1的棱长为6,点河为。。的中点，点尸为底面431。》上的动点，满足

的点P的轨迹长度为()

A.2V2TTB.3V2C.6V3D.3百兀

解：以/为顶点，AB,AD,441为坐标轴，距离空间直角坐标系，如图：

正方体的棱长为6,点M为C。的中点M(6,6,3),点尸为底面出囱。。1上的动点，设

—>—>

为：(x,y,6),B(6,0,0),满足可得：AM-BP=0,

可得6x-36+6产18=0,即x+y-3=0,P的轨迹是上底面上的线段.

所以点P的轨迹长度为：3V2.

故选：B.

第11页(共18页)

z

ABx

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

（多选）9.下列说法正确的是（）

A.若空间中的O,A,B,C满足。则/,B,C三点共线

B.空间中三个向量a,b,c,若a||b,则a,b,c共面

—>—>—>—>

C.对空间任意一点。和不共线的三点4,B,C,若。P=2。4+20220B—20230C,则尸，A,B,C四点共

面

D.设｛a,b,c｝是空间的一组基，若/n=a+b,n=a-b,贝！J｛zn,n,c｝不能为空间的一组基

解：对于工，根据向量的线性运算，若空间中的。，A,B,C满足。C=504+《0B,贝!B,C三点共线，

故/正确，

—T7T,,•、、，———4

对于5,因为allb,则a,b共线，则根据共面向量的定义可得，a,b,c共面，故5正确，

—>—>—>—>

对于C,对空间任意一点。和不共线的三点4,B,C,若。P=2。4+202208—2023OC,又2+2022-2023=

1,则C正确，

对于。，因为c与a+b,a-b不共面，所以｛zn,n,c｝能为空间的一组基底，故。错误，

故选：ABC.

（多选）10.下列说法正确的是（）

A.直线xsine+y+2=0（6eR）的倾斜角范围是[0,U[%,兀）

B.若直线/x-,+1=0与直线次-即-2=0互相垂直，贝!jq=l

C.过两点（xi,yi）,（12,y2）的直线方程为（y-yi）（X2-xi）=（x-xi）（y2-yi）

D.经过点（1,1）且在x轴和歹轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

解：对于4,设直线xsine+y+2=0（6eR）的倾斜角a,

则tana=-sin0G[-L1]

故a的取值范围为[0,*]U[竽，兀），故/正确，

对于5,当。=0时，直线“2%-y+l=0与直线X-町-2=0互相垂直，故5错误，

第12页（共18页）

对于C,当时,

V—V?X—%9

过两点/（XI，Jl）,B（X2，夕2）的直线方程为-----=------，即（X-X2）（yi-yi>-（-J2）（xi-X2）=0,

"y\-yixi—%2■

当X1=X2或夕1=夕2时，该方程仍表示直线48,故C正确，

对于D,经过点（1,1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为了+丁-2=0或p=X，故。错误.

故选：AC.

（多选）11.下列说法正确的是（）

_9

A.直线x-y-3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是万

B.若三条直线x+y=0,x->=0,x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a的取值集合为{-1,1}

C.经过点（1,2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或x-y+l=0

D.过（xi,yi）,（X2,y2）两点的直线方程为（y-yi）（X2-xi）=（x-xi）（y2-yi）

1Q

解：选项4,直线/与x,>轴的交点分别为（3,0）,（0,-3）,所以5=2义3乂3=2，即4正确；

选项5,分两种情况：

①三条直线相交于一点，即原点（0,0）,此时3-4=0,所以4=3；

②直线x+即=3-。与x+y=0或x-y=0平行，则一，=1或-1,所以。=-1或1,

所以实数Q的取值集合为{-1,1,3},即5错误；

选项C,当直线经过原点时，其方程为>=2%；

xy12

当直线不经过原点时，设其方程为一+}=1,所以-+-=1,解得。=3,此时直线/的方程为x+y-3=0,

aaaa

综上，直线/的方程为夕=2x或x+y-3=0,即C错误；

y—ViVo—Vl

选项。，由直线的两点式知，----=------，即（y-yi）（%2-xi）=（x-xi）（y2-yi）f即。正确.

%—%2—xi

故选：AD.

三.填空题（共3小题）

12.已知直线/：mx+y-1=0,直线〃：2%+（冽-1）>+2=0,若1〃n,则实数加=2.

解：直线Z：mx+y-1=0,直线n：2x+（m-1）y+2=0,I//n,

,2m—12A』

则一二—^W-解得冽=2.

m1-1

故答案为：2.

—>—>—>—>—>

13.已知空间向量P力，PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°.点G为△48C的重心，若PG=xPA+

TTT5

yPB+zPC,x,y,zGR,则|PG|=区.

解：因为G为△45C的重心，设5C中点为。，

—>?―>-1―>—>

所以4G=（4D=40,

第13页（共18页）

所以PG—PA=^(PB-PA+PC-PA)=jPB+^PC-^PA,

所以PG=掾PA+掾PB+9PC,

所以|PG|2=G)2(P4+PB+PC)2CPA2+PB2+PC2+2PA-PB+2PB-PC+2PA-PC)

11I125

=g(l+4+9+2x1x2x)+2x2x3x^+2x1x3x)=-g-,

tq

所以|PG|=*

故答案为：|.

14.直线l过点（4,1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于/、3两点，0为坐标原点，则△N08面积的最小值为8

当4AOB面积取最小值时直线I的一般式方程是x+S，。=

XV

解：设直线/的方程为：5+3=1,心。,4。,

因为点（4,1）在直线/上,

41

所以£+%j

S^AOB=

41

因为一十7=1,a>0,b>0,

ab

4b+a214ab

所以1=

ab-ab

可得仍N16,当且仅当4b=q,即q=8,6=2时取等号，

所以S“OB=2a^-2x16=8,

即△ZOB的面积的最小值为8；

xv

此时直线/的方程为：-+7=b

oL

即x+4y-8=0.

故答案为：8；x+4y-8=0.

四.解答题(共5小题)

TTTTTTT

15.设x,昨R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a_Lb,bIIc,

,、7t

(1)求|a+b\；

T—TTT

(2)求向量a+b与2a+b—c夹角.

A，口TTTiTT—T

解：(1)x,jGR,向堇Q=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且alb,b||c,

1y1

可得xtv+l=0，~解得x=l,y=-2,

第14页（共18页）

T

贝!|a+b=(2,-1,2),

7—>_____________________

贝U|a+b\=^22+(—l)2+22=3.

一，TTT

(2)因为2a+b—c=(1,4,1),

~,TTTTT

所以(a+b)・(2a+b-c)=2X1+(-1)义4+2义1=0

TTTT-»7T

向量(a+b)与(2a+b-c)夹角为5.

16.已知△NBC的顶点8(-2,0),边上的高所在的直线方程为x+3y-26=0.

(1)求直线N5的方程；

(2)若8C边上的中线所在的直线方程为夕=3,求直线/C的方程.

解：(1)因为N3边上的高所在的直线方程为x+3y-26=0,可得斜率为-热

可得直线的斜率左=3,又因为△/3C的顶点2(-2,0),

所以直线的方程为y=3(x+2),即3x-y+6=0；

所以直线N5的方程为3x-y+6=0.

(2)直线5c边上的中线所在的直线方程为y=3,

由方程组学二：久+6,解得1二1I所以点/(7,3),

设点C(xi，yi),则3c的中点在直线y=3上，所以告也=3,即川=6,

又点C(xi,6)在直线x+3y-26=0上，xi+3X6-26=0,解得xi=8,所以C(8,6),

所以/C的斜率k4c=济=/所以直线AC的方程为y—6=彳(%—8),

即直线AC的方程为x-3j+10=0.

17.已知直线/经过点尸(2,1),且与x轴、/轴的正半轴交于/,3两点，。是坐标原点，若满足.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)已知点M(-3,1),。为直线/上一动点，求四最小值.

试从①直线/的方向向量为1=(—2,1)；②直线/经过2x+3厂8=0与x-y-4=0的交点；③的面

积是4,这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答,

则按第一个解答计分.

(1)解：若选①，由直线/的方向向量为京=(—2,1)得，直线/的斜率为-参

所以直线I的方程为y-l=-1(x-2),

所以直线I的一般式方程为x+2j-4=0.

若选②，直线/经过2x+3y-8=0与x-y-4=0的交点，

第15页(共18页)

联立解得I，y=o，

所以交点坐标为(4,0),

直线I的斜率为二=-3

所以直线/的方程为y—1=—：(%-2),

所以直线/的一般式方程为x+2y-4=0.

若选③，由题意设直线/的方程为y-1=左(x-2)(左＜0),

1

则2(2—%,0),8(0,1-2k),

111

则SA-C=W|1—2kli2—%|=4,解得k=_勺

所以直线I的一般式方程为x+2y-4=0.

(2)解：设点M(-3,1)关于直线/的对称点为AT(a,b),

'a-3_+2x"1-4=Q

由题意得，12b2,解得。=-1,6=5,

iD—1Y

---X----=—1

k2cz+3

所以AT(-1,5),|MQ|+|OQ|的塌小值为|M例=格.

18.如图，/BCD是边长为a的菱形，ZBAD=60°,EB_L平面A8CD,电＞_1平面/8四，EB=2FD=Wa

(I)求证：EFL4C；

(II)求直线C£与平面N39所成角的正弦值.

(I)证明：：£3_L平面48CD,/Cu平面4BC。，

：.EB±AC,

；ABCD是边长为a的菱形，

J.ACLBD,

•：EBCBD=B,EB//FD,

平面EFDB,

：.EFLAC-,

V3

(II)解：建立如图所示的坐标系，则/(~a,0,0),

第16页(共18页)

anV3731l

B(0,一，0),F(0,一条一a),C(一舁a,0,0),E(0,~a,遮a),

22222

TV317—T