九年级数学两圆关系及弧长和扇形面积培优教程

九年级数学两圆关系及弧长和扇形面积培优教程考点·方法·破译理解掌握圆与圆的五种位置关系，会根据距离与半径的数量关系，确定圆与圆的位置关系，能根据圆与圆的位置关系，探究相应半径与距离的数量关系；会计算弧长与扇形面积以及圆锥、圆柱的侧面积和全面积，并会借助分割与转化的思想巧求阴影部分的面积。经典·考题·赏析【经典·考题·赏析】【例1】（滨州）已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）0＜d＜1B.d＞5C.0＜d＜1或d＞5D.0≤d＜1或d＞5【解法指导】两圆的五种位置关系中无公共点的有外离和内含两种，圆心距分别为大于半径之和、小于半径之差，则本题应选D【变式题组】1.（台州）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内含2.（泸州）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距7cm，则两圆的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切3.（益阳）已知⊙O1与⊙O2半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（）4.（赤峰）若两圆的直径分别是2㎝和10㎝，圆心距为8㎝，则这两个圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离【例2】（赤峰）如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1=1，⊙O2的半径r2=2，⊙O3的半径r3=3，则△O1O2O3是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【解法指导】根据外切两圆圆心距与两圆半径关系：d=R+r，得O1O2=3，O2O3=5，O1O3=4，它们满足勾股定理，所以△O1O2O3是直角三角形。本题选B.【变式题组】5.（锦州）如图所示，点A、B在直线MN上，⊙A、⊙B的半径均为1㎝，⊙A以每秒2㎝的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t之间的关系式为r=1+t（t≥0），当点A出发后秒两圆相切。6.（庆阳）如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB=【例3】（彬州）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A.4πcm2B.6πcm2C.9πcm2D.12πcm2【解法指导】解圆锥的问题关键点：圆锥的侧面积就是展开扇形的面积，故要计算圆的面积的三分之一。解：S=π×62×eq\f(1,3)，本题应选D【变式题组】7.（哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）A.36πB.48πC.72πD.144π8.（泉州）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长等于9.（仙桃）现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径为10㎝的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）A.9°B.18°C.63°D.72°【例4】（1）（襄樊）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2,分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）（2）（新疆）如图（2），已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B、C两点在扇形AEF的eq\o(⌒,EF)上，求eq\o(⌒,BC)的长度及扇形ABC的面积【解法指导】（1）本题考察直角三角形、扇形面积、由图可知阴影部分的面积=半圆AC的面积+半圆BC的面积-Rt△ABC的面积，所以S阴影=eq\f(1,2)π·22+eq\f(1,2)π·12—eq\f(1,2)×2×4=eq\f(5,2)π－4，故填eq\f(5,2)π－4（2）本题要用补形法解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形且边长为1.5，∴AB=BC=1.5,∴AB=BC=1.5，又∵B、C两点在扇形AEF的eq\o(⌒,EF)上，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，eq\o(⌒,BC)的长=eq\f(60π·1.5,180)=eq\f(π,2)（cm），S扇形ABC=eq\f(1,2)Lr=eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·1.5=eq\f(3,8)π（cm2）【变式题组】10.（遂宁）如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A.4π-8B.8π-16C.16π-16D.16π-3211.（来宾）如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB、CD过圆心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（）A.4πB.2πC.πD.0.5π12.（河池）如图，PA,PB切⊙O于A,B两点，若∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为【例5】（威海）如图，点A,B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A,⊙B的半径均为1厘米，⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）（1）试写出点A,B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？【解法指导】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d=11-2t；当t＞5.5时，函数表达式d=2t=11（2）两圆相切可分为如下四种情况；①当两圆第一次外切，由题意，可得11-2t=1+1+t，t=3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11-2t=1+t-1，t=eq\f(11,3)；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11=1+t-1，t=11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11=1+t+1，t=13。所以，点A出发后3秒、eq\f(11,3)秒、11秒、13秒两圆相切。【变式题组】13.（宁波）如图，⊙A、⊙B的圆心在直线l上，两圆的半径都为1㎝，开始时圆心距AB=4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为秒.14.（绍兴）如图，⊙A,⊙B的半径分别为1cm，2cm，圆心距AB为5cm，如果⊙A由图示位置沿直线AB向右平移3cm，则此时该圆与⊙B的位置关系是【例3】（吉林）已知：B,C是线段AD上的两点，且AB=CD，分别以AB，BC，CD，AD为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形，此图的对称轴分别交其中两个半圆于M,N交AD于O，若AD=16，AB=2r，回答下列问题:（1）用含r的代数式表示BC=，MN=（2）设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为S阴影，请通过计算填写下表：（3）由此表猜想S与S阴影的大小关系，并证明你的猜想【解法指导】（1）16-4r,16-2r（2）（3）S=S阴影.证明：∵S=π（eq\f(16-2r,2)）2=π（8-r）2=64π-16πr+πr2S阴影=eq\f(1,2)×82π-πr2+eq\f(1,2)π（8-2r）2=64π-16πr+πr2,∴S=S阴影【变式题组】15.（邵阳）如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心、OA1为半径作扇形OA1C1,A1C1与OB1相交于点B2，设正方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA为半径作扇形OA2C2,A2C2与OB1相交于点B3，设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设正方形OAnBnCn与扇形OAnCn之间的阴影部分面积为Sn（1）求S1，S2，S3；（2）写出S2008；（3）试猜想Sn（用含n的代数式表示，n为正整数）演练巩固反馈提高1.（绍兴）如图为某机械装置的截面图，相切的两圆⊙O1、⊙O2均与⊙O的弧AB相切，且O1O2∥l1（l1为水平线），⊙O1、⊙O2的半径均为30mm，弧AB的最低点到l1的距离为30mm，公切线l2与l1间的距离为100mm，则⊙O的半径为（）A.70mmB.80mmC.85mmD.85mm2.（淄博）如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（）A.120°B.约156°C.180°D.约208°3.（十堰）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）A.eq\f(168,5)πB.24πC.eq\f(84,5)πD.12π4.（湖州）已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长是（）5.（荆州）如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6、3，则图中阴影部分的面积是6.（济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A.30cm2B.30πcm2C.60πcm2D.120cm27.（聊城）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a,0），半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是.8.（衢州）相切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是.9.（佛山）已知△ABC的三边分别是a,b,c，两圆的半径，r1=a,r2=b，圆心距d=c，则这两个圆的位置关系是.10.（兰州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB，（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由;（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由;（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积（结果保留π）培优升级奥赛检测1.（齐齐哈尔）已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两个圆的圆心距是2.（锦州）图2-1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1，图2-2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2，图2-3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，……依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn=3.（济南）已知两圆半径分别是3和2，圆心坐标分别是（0,2）和（2，-4），那么两圆的位置关系是（）A.内含B.相交C.相切D.外离4.（大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为5㎝和4㎝，这两个圆的圆心距是。5.（绵阳）如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过点C且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A.eq\f(7—π,36)a2B.eq\f(5-π,36)a2C.eq\f(7,36)a2D.eq\f(5,36)a26.（全国竞赛）已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB、AC分别相交于点D、E。若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心7.（全国联赛）已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为8.（全国联赛）如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为9.（全国联赛）如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则eq\f(BN,NC)=10.（天津）如图①,O1、O2、O3、O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②,O1、O2