2024年高考数学试题分类汇编：概率、统计与计数原理

2024年高考数学真题分类汇编六概率、统计与计数原理

一、选择题

1.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

2.下列图中，相关性系数最大的是（）

3.（久-CT的二项展开式中炉的系数为（）

A.15B.6C.-4D.-13

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位:

kg）并整理部分数据如下表所示：

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

频数612182410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）.

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100的的稻田所占比例超过40%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（)

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A-IB-Ic-ID-1

6.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现

从中任选一个盒子，设事件出所选盒中有中国结，事件8所选盒中有记事本，事件C：所选盒中

有笔袋，则（）

A.事件/与事件3互斥B.事件/与事件3相互独立

C.事件“与事件8UC互斥D.事件/与事件3CC相互独立

二、多项选择题

7.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入

的样本均值兄=2.1,样本方差£2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8,0」2）,

假设推动出口后的亩收入y服从正态分布N（元，$2）,则（）（若随机变量Z服从正态分布N（中

o2）,则尸（Z<g+o）-0.8413）

A.PC¥>2）>0.2B.P（Q2）<0.5

C.P（K>2）>0,5D.P（7>2）<0,8

三'填空题

8.在（备+当6的展开式中,常数项为.

9.（X-1）6展开式中X，的系数为.

10.二项式6+乃1。的展开式中，各项系数的最大值是.

11.在（久+l）n的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为.

12.A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为；已

知乙选了4活动，他再选择B活动的概率为.

13.某校举办科学竞技比赛，有4B、C3种题库，/题库有5000道题，3题库有4000道题，C题

库有3000道题.小申已完成所有题，他/题库的正确率是0.92,8题库的正确率是0.86,C题库的正

确率是0.72,现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记

7〃表示前两个球号码的平均数，记〃表示前三个球号码的平均数，则小与"差的绝对值不超过;的概

率是.

15.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙

的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片

中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃

置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概

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率为.

16.设集合4中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元

素个数的最大值_________.

17.在下图的4X4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种

选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

II213140

I2223342

13223343

15243444

18.ai=2,«2—4,。3=8,44=16,任意61,bi,bi,ZMGR,满足｛0+勾|1守＜/44｝=｛瓦+/|1胃＜左4｝,

求有序数列｛bi,bi,加，儿｝有对.

四'解答题

19.水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱.

（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级

果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园

中单果的质量.

20.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得

到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

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(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

附：公;声加唱摇Em2>3,841)0.05.

21.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元

赔偿次数01234

单数800100603010

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望；

(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期

毛利润的数学期望.

22.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队

中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为。分；若至少投中一次，则该队

进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为

第二阶段的得分总和.

某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与

否相互独立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设0<p<q.

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛？

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(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?

23.某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150

件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两

车间产品的估级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率2=0.5.设0为升级改造后抽取的〃件产品的优级品

率.如果p>p+1.65jP『),则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,

能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(VI前句2.247)

《2_n(ad—bc)2

,—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(烂注)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

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24.某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150

件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

CD填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两

车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设。为升级改造后抽取的〃件产品的优级品

率.如果0>p+1.65则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,

能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（6加。12.247）

n(ad—6c)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（相次）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

25.设加为正整数，数列Ql,。2,…，。4加+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项0和勾•（ZVJ）

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后剩余的4%项可被平均分为机组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列0,…，。4“+2是

(Z,J)——可分数列.

(1)写出所有的(/,7),1<Z<J<6,使数列。2,…，。6是G,j)——可分数列；

(2)当论3时，证明：数歹U6，<22,...»a4H1+2是(2,13)----可分数列；

(3)从1,2,…，4加+2中一次任取两个数i和j&<7),记数列a”a2,a4m+2是Ci,j)

可分数列的概率为Pm,证明：Pm二o.

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答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B,C

8.【答案】20

9.【答案】15

10.【答案】5

U.【答案】10

12.【答案】|；1

13.【答案】0.85

14.【答案】,

15.【答案】1

16.【答案】329

17.【答案】24；112

18.【答案】48

19.【答案】(1)解：从136箱中随机挑选两箱水果样本空间。共有C%6=卑辔=9180个样本点，

ZXX

设事件M="恰好一级果和二级果各一箱"则事件M包含的样本点共以02或4=3468个，

由古典概率公式可得P(M)==圣

loU413

(2)解：因为一级果箱数：二级果箱数普T，

所以8箱水果中抽到一级果8x+=6箱，二级果8x=2箱；

综上8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；

(3)解:设一级果平均质量为礼方差为蹬，二级果质量为歹，方差为明，总体样本平均质量为m平

均值，方差为S2,

由已知可得土=303.45,Sj.=603.46,y=240.41,Sy=648.21

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所以血=X303.45+于怨山X240.41=285.44,

lZU-r4o1ZU-T4O

2J20ax(603.46+(303.45-285,44)2]+x[648.21+(240.41-285,44)2]=1427.27.

S=IZU-r1^7t1oLJJ.ZU十4,。黑LJ

预估：果园中单果平均质量为舄%x303.45+引熹亏pX240.41=287.69克.

lUZ-rJ4,J.U/十341

综上168个水果的平均数285.44克；方差1427.17克2,整个果园的单果的平均质量约287.69克

20.【答案】（1）解：由表可知，锻炼时长不少于1小时的人数占比为1791方+28=第

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29000X||=12500;

（2）解：该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

也[苧X139+x191+X179+X43+X28]«0.9-

□oULLLZZLJ

则该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时；

（3）解：由题，列出2x2联表，如表所示:

口2)其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

零假设Ho：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关,

580x(45x308-177x50)2

23,976>3,841-则零假设不成立,

Z95x485x222x358

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.

60+30+10_1

21.【答案】（1）解：由题意可得：随机抽取一单，赔偿不少于2次的频率为

800+100+60+30+10—奇

用频率估计概率，所以“随机抽取一单，赔偿不少于2次”概率为余.

（2）解：（i）设丫为赔付金额，

由题意可知：X=0.4—匕且y可取0,081.6,2.4,3,

则有p(y=0)=瑞=Q(y=0,8)=揣=白

P(Y=1.6)=-JQQQ=so'PW=2.4)=-JOOQ=同，

414Q1

可得E(y)=0xqJ+0.8x-3-\pJ+1.6x-JpT\jJ-+2.4x彳U+3x]UU=0.278,

所以X的数学期望E(X)=0.4-0.278=0.122(万元);

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(ii)由题意可得：保费的变化为0.4义卜96%+0.4工号x1.2=0,4032,

所以估计保单下一保险期毛利润的数学期望0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元).

22.【答案】(1)解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二

阶段也至少投中1次，

记甲在第一阶段至少投中1次的事件为A,乙在第二阶段也至少投中1次的事件为B,

则P(7)=0.63,P(巨)=0.53,故比赛成绩不少于5分的概率「=(1-P⑷)(1-P⑥)=(1-

0.63)(1-0.53)=0.686.

(2)解：(i)若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为=[1-(1-

q)3]“3,

若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P?=U-(1-P)3]q3,

因为0<p<q,所以P十一Pz=q3—(q-pq)3—p3+(p_pqy

=(q—P)(q2+pq+p2)+(p-q)•[(p-pq)2+(q—pq)2+(p-pq)(q-pq)]

—(p—q)(3p2/_3P2q_3Pq2)

=3Pq(p-q)(pq-p-q)=3Pq(p-q)[(l-p)(l-q)-1]>0,

所以P用〉P乙，故甲参加第一阶段比赛；

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(1—p)3+[1—(1—p)3]•(1—q)3,

P(X=5)=[1—(1—p)3]Wq-(l—q)2,

P(X=10)=[1-(1-p)3]­Cjq\l-q),

P(X=15)=[l-(l-p)3]-q3,

则E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3P2+3p)-q,

若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(Y)=15(g3—3q2+3q)-p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3),

因为0<p<q,则p—q<0,p+Q—3<1+1—3<0,

则(P-q)pq(p+q—3)>0,

故应该由甲参加第一阶段比赛.

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23.【答案】(1)解：根据题意可得列联表如下所示:

优级品非优级品总数

甲车间262450

乙车间7030100

总计96541

将上面的数值代入公式计算得：K2联流蓝裂塔=4.6875,

又因为3.841<4,6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间

产品的优级品率存在差异.

(2)解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为患=0.64,

所以用频率估计概率可得0=0.64,

根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,

则p+1.65=0.5+1.65『5喘。司~0.5+1.65x1吃7七°-568,

可知p>p+1.65

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

24.【答案】(1)解：根据题意可得列联表如下所示：

优级品非优级品总数

甲车间262450

乙车间7030100

总计9654150

将上面的数值代入公式计算得:

2_150(26X30—24X70)2_75_

K—一50x100x96x54--

又因为3.841<4,6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间

产品的优级品率存在差异.

(2)解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为患=0.64,

所以用频率估计概率可得。=0.64,

根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,

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则p+1.65JP(；P)=0.5+1.65胪(需.5)仪05+165火情景«0.568>

可知「>p+1.65JP(；P),

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

25.【答案】(1)解：等差数列ai,a2,a6删去两项后，余下4项成等差数列，此时剩下的数列

若想构成数列，必然是公差为d的数列，

即可能的情况为ai,a2,a3,的或a2,as,a-as,或a3,a4,as,ae,

故删去的两项(i,j)可以为(5,6),(1,6),(1,2)

(2)证明：依题意得，数列ai,a2,....a4m+2是(2,13)——可分数列，

即ai,a3,a4,…，aio,an,an,au,a4m+2,易分析连续的四项为等差数列，

即ai4,ai5,……，a4m+2,后共有(4m-12)连续项，此时必然构成等差数列,

即证得ai,a3,a4,…，aio,a”，ai3,au,为等差数列，则数列ai,a2,…，a4m+2是(2,13)----

可分数列，

通过分析可知，可以按照｛的，。4