高考数学一轮复习：三角恒等变换（和差公式、倍角公式）专项练习（学生版+解析）

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）

（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

用和、差角的正弦公式化简、求值

2023年新I卷，第8题,5分三角函数求值

二倍角的余弦公式

2023年新II卷,第7题,5分半角公式、二倍角的余弦公式无

2023年新H卷,第16题,5分由图象确定正（余）弦型函数解析式特殊角的三角函数值

用和、差角的余弦公式化简、求值

2022年新II卷，第6题,5分无

用和、差角的正弦公式化简、求值

正、余弦齐次式的计算

2021年新I卷，第6题,5分二倍角的正弦公式

三角函数求值

逆用和、差角的余弦公式化简、求值数量积的坐标表示

2021年新I卷，第10题,5分

二倍角的余弦公式坐标计算向量的模

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分

【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公

式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考

知识讲解

1.正弦的和差公式

sin(a+/?)=sinacos0+cosasin尸

sin(cr-/?)=sincrcosp-cosasin0

2.余弦的和差公式

cos(tz+f3)=cosacos/7-sincrsin(3

cos(a—p)=cosacosp+sinasinp

3.正切的和差公式

tan(a+Q)=tana+tan尸

1-tanatan/?

tan。-tan，

tan(a—⑶

1+tanatan尸

4.正弦的倍角公式

sin2a=2sincifcosansinacos。='sin2a

2

5.余弦的倍角公式

cos2a=cos2a-sin2a=(cosa+sin々［cosa-sina)

升幕公式：

cos2a=l-2sin2a，cos2。=2cos2cr-1

降嘉公式:

.21-cos2a21+cos2a

sma=------------,cosa=------------

22

6.正切的倍角公式

-2tana

tan2a------------

1-tana

7.半角公式

a/l-cosa

⑴sin2=±\l—2-'

a/1+cosa

(2)cos/=±—2一•

a_—cosasinal—cosn

⑶tan2-i+cosa1+cosasina'

以上称之为半角公式，符号由5所在象限决定.

8.和差化积与积化和差公式

..na+BCL—P

sina+sin0=2sin-------cos-------

22

•.oga-\-P.a—p

sina-smp-2cos-----sin.....-

22

cosa+cos0=2cos0、0cos―—―

22

cosa-cosB-2sin°+'sin———

22

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)

9.推导公式

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

10.辅助角公式

2

y=asmx+bcosxf(a>0)=y=飞a+/sin(x+0),其中tan/=2,(pe(--,—)

a22

考点一、两角和与差的三角函数综合应用

典例引领

1.（福建,高考真题）sin15。cos75。+cos15。sin105。等于（）

73

A.0B.5C.1D.

~T

一一4

2.（江西,IWJ考真题）若tana=3,tan^=y,则tan（a一夕）等于（）

1

A.3B.-3C.—D.

3-3

?）sin〃，则（）

3.（2022•全国•统考高考真题）若sin（a+〃）+cos（a+〃）=20cos|a+

A.tan（6Z-/?）=lB.tan（a+6）=l

C.tun（cz—尸）=-1D.tan（cr+yS）=-l

夕+今卜，贝人皿,+己

4.（2020•全国•统考高考真题）已知sin9+sin|1=（）

A.；B•在

C.-D.

2332

即时检测

1.（2023•全国•高三专题练习）sin70°sin10°+cos10°cos70°=（）

2.（2023•云南昭通•统考模拟预测）tan87°+tan48°-tan87°tan48°的值为（）

A.-IB.1C.叵D.V3

JT

3.（2020•全国•统考高考真题）已知2tan。—tan（9+i）=7,则tan9=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（2023•福建厦门•统考模拟预测）己知5由（/+5皿（£+^）=$.（三一0，则sina=（）

A.0B.土叵C.+—D.土显

722

5.（2004・上海・高考真题）若tana=g,则tan（a+f=.

6.（2023•山东德州・三模）若a,夕为锐角，且&+尸=则（l+tana）（l+tan/?）=.

考点二、倍角公式的综合应用

典例引领

2兀75TL

1.（2021•全国•统考高考真题）cos-----COS——二=()

1212

A.|B.立正D,也

C.

2322

7

2.（2020・江苏,统考高考真题）已知sir（工+a）=-,则sin2a的值是__.

4

sin<9(1+sin2。)

3.（2021•全国•统考高考真题）若tan6=-2,则()

sin0+cos0

6226

A.——B.——C.—D.-

5555

1.1

4.（2023•全国•统考高考真题）已知sin(a-/7)=-,coscrsinpn,则cos(2a+2/?)=()

7117

A.-B.—C.—D.----

9999

cosa…

5.（2021•全国・高考真题）若ae0,—,tan2a=c.,贝1|tana=()

I2)2-sin

姮好D,巫

AR好C.

15533

即时检测

1.（2021•北京•统考高考真题）函数/（%）=cos%-cos2%是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为：D.偶函数，且最大值为:

OO

（•山东泰安・统考模拟预测）已知（'兀)一^^贝”sin2a=()

2.2023sina-\=

、4J3

5151

A.——B.——C.—D.-

9393

3.（2023・湖南•校联考二模）已知sin|^J卜等

则cos4a=()

797977

A.——B.——C.一D.——

818199

4.(2022•浙江•统考高考真题)若3sina-sin尸=+，贝!Jsina=,cos2f3=

TT

5.(2020•浙江•统考高考真题)已知tan6=2,贝！Jcos26=______；tan(0—)=_____

4

考点三、半角公式的综合应用

典例引领

1.（2023•全国•统考高考真题）已知a为锐角，cosa=匕正，贝Usin：

=().

42

A3-也BT+乖c3-君口-1+石

.8844

37兀n

2.（全国•高考真题）已知sin8=——,3兀<8<—,求tan£的值.

52

即时检测

1/□

1.（2023•四川泸州•统考模拟预测）已知cos（〃+e）=3,若。是第二象限角，贝han1=（）

D.交

A.2&B.垃C.-V2

2

1I-tan一a

/、一〜…加40一

2.（2023•江西•校联考模拟预测）若cose=-=,a是第三象限的角，则------2=（）

a

5-1+tan—

2

1

A.2B.1C.-2D.——

2

3.（2023•浙江•校联考二模）数学里有一种证明方法叫做「㈤如初oaftvords,也被称为无字证明，是指仅用

图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数

学证明更为优雅与有条理.如下图，点C为半圆。上一点，CHLAB,垂足为记NCOB=6,则由

tanZBCH=绛可以直接证明的三角函数公式是

CH

0sin。esin。

A.tan—=B.tan—=

21-cos。21+cos。

61-cos。0l+cos0

C.tan—=D.tan—=----------

2sin。2sin。

考点四、辅助角公式的综合应用

典例引领

1.（2022•北京•统考高考真题）若函数/（尤）=Asin尤-gcosx的一个零点为?，则4=:

2.（2021•全国•统考高考真题）函数/（x）=sin3+cos[的最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和夜B.3兀和2C.6兀和逝'D.6兀和2

3.（2020•北京•统考高考真题）若函数〃x）=sin（x+°）+cosx的最大值为2,则常数。的一个取值为

即时检测

1.（2023•全国，统考高考真题）已知实数匕，满足/+,2一4了-2、-4=0,则犬-，的最大值是（）

C.1+3V2

2.（2023・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）若函数/a）=sinx+cos（x+e）的最小值为一班，则常数。的一个

取值为.（写出一个即可）

3.（2023・云南曲靖・曲靖一中校考模拟预测）已知则函数〃x）=（l+sinx）（l+cosx）的最大值

为.

4.（2023•浙江宁波•统考一模）若sinx+gcosx=2,则cos2x=.

考点五、三角恒等变换的综合应用

典例引领

（2023•吉林延边・统考二模）下列化简不正确的是（

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=——B.sin15°sin30°sin75°=—

28

tan480+tan72°

C.cos2150-sin215°=—

21-tan48°tan72°

3.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知。为第二象限角，sin[a+：]=],则

sin""'"%）

30-3#20-2#

105

c2#-20D3#-30

'5'ib

4.（2023•山西朔州・怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知a为锐角，且sina+sin[a+5）+sin[a+1,

贝Itana=.

（即时检测

3则fsin8。+cos53。的近似值为（）

1.（2023•山西吕梁•统考三模）已知

V2cos8°-sin53°

343A/24A/2

A.-B.一C.N

4343

2.（2023・江苏无锡•校联考三模）己知tan£=誉匕，tan（a+#=3吧，若月/。,父，则夕=（

）

1-smacosa\2）

3.（2023•安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）己知sina="aJ[,无],若吧”2=4,则

5）cosp

tan（o+0=（）

167162

A.-----B.----C.—D.—

7873

4.（2023•河北•校联考一模）函数/Q）=sin35cos^-sin^cosS]的最小值为.

【基础过关】

一、单选题

1.（2023・四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设tan卜-"=则tan（a+j等于（）

A.-2B.2C.-4D.4

2.（2023•山东威海•统考二模）已知sin[c-，则cos（

（）

4433

A.-B.——C.-D.--

5555

3.（2023・湖南长沙雕礼中学校考模拟预测）已知tana+tan£=3,sin（«+^）=2sintzsin/?,贝I]tan（（z+/?）=

3,

A.4B.6C.——D.-6

2

4.（2023•辽宁锦州・统考模拟预测）已知直线2尤-y+l=0的倾斜角为a,则*^=（）

1+sma

11i

A.-3B.—C.—D."

392

5.（2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）若cos2a=,则sina+cosa=（）

A1R20rI+2V2n2石

333

6.（2023•河南•襄城高中校联考三模）已知兀＜型,sin2a（l+sin0+（l—cos2a）cos/7=O,则sin（a+:）=

2cosa

（）

A.-2B.-1C.gD.1

7.（2023•黑龙江哈尔滨・哈师大附中校考模拟预测）已知锐角a,夕满足8s"smasin2,,则

cosa+smal-coszp

tan（a-力）的值为（）

A.1B.—C.-1D.-V3

3

8.（2023•河南•襄城高中校联考模拟预测）已知兀＜a＜型，g＜，＜兀，sin2a（l+sin/7）+（l—cos2a）cos尸=0,

22

则tan（a+gj=（）

A.-2B.-1C.；D.1

二、填空题

9.（2023•河北•统考模拟预测）已知tan（a-z]=2,则sin2a-2cos%=.

10.（2023•辽宁•朝阳市第一高级中学校联考三模）若tan（a+,=-2,则cos。+白的值为.

【能力提升】

一、单选题

1.（2023•江苏镇江•江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角a,/3满足tanc=；,sin=cos（«+/?）sintz,

则tan£=(

111

A.—B.—C.-D.2

362

2.（2023・四川宜宾・宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知3生金=20°+胃，则sin[2a+]

3.（2023•四川•模拟预测）设"=gcos6o-*sin6。，6=；：：：｝；。,c=尸广。,则有（）

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

------------=1,则tan[a+g]=（）

4.（2023・贵州遵义,统考三模）已知锐角a满足——

1-tana1+tan<7v8）

A_向16-1

B.-1cD1

2.2

5.（2023•湖北•荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若,cos[a-T）+2cosa=4costz-cos2],贝|a

等于（）

6.（2023•山东•潍坊一中校联考模拟预测）设a=sinQ2,6=Q2cosQl,c=2sinQl,则（）

A.a<b<CB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

/、.什丁八口4mA〜一…、、门.3sin40°+sin80°i

7.（2023・江办无锡•校联考二模）设Q=ln/,b=--------------------,c=e^-19贝」（z）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

二、多选题

8.（2023・海南海口・统考模拟预测）已知锐角。,7满足。+2+7=1，贝U（）

A.tana,可能是方程％27%.4=0的两根

B.若a>0,贝Usin。>sin刀

C2P.2aC

C.cos----sin—<0

22

D.tana+tan/?+tany=tana-tan[3•tany

三、填空题

9.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考二模）若函数〃x）=sin（x+e）+cow的最小值为一2,则常数。的一

个取值为.

10.（2023•云南保山•统考二模）已知角。的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A（T,2）在角

a的终边上，贝Ijsin2a=.

【真题感知】

一、单选题

1.（全国•高考真题）sin20。cos70°+sin10。sin50°的值是（）

1B君D.显

A.-C.

4224

2.（全国•高考真题）sinl5Ocos3(Fsin75。的值等于()

A.昱R班J_1

D.----C.D.-

4884

24则行cos（二

3.（全国•高考真题）若sin2a=—,的值为（)

17a

A.-B.一C.D.±-

5555

4.（安徽•高考真题）函数yusin,x+cos’x的最小正周期为（）

71兀

A.-B.1C.71D.2TI

42

函数y=4sin（3x+：）+3cos[3x+?）的最小正周期是（）

5.（全国•高考真题）

2兀71

A.6兀B.2兀C.D.-

T3

2

6.（湖北•高考真题）已知sin2«=-,aG(0,7i),则sina+cosa=()

A,四V1555

DR.-------C.D.——

3333

7.（2023•全国•统考高考真题）过点（0,-2）与圆V+y“4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（)

A/15D.逅

A.1DR.-----C.

4~4~4

二、多选题

8.(2021•全国•统考高考真题)已知。为坐标原点，点《(cos%sin(z),(cos/?,-sin/?),

^(cos(<z+/?),sin(a+y0)),A(l,0),则()

A.|西=函B.冏=阳

C.OAOP3=O^OI}D.OAOP^OKO^

三、填空题

9.（上海・高考真题）函数＞=sin元cosx的最小正周期为

10.（2004■全国■高考真题）函数y=sin尤-gcosx（尤eR）的最大值为

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）

（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

用和、差角的正弦公式化简、求值

2023年新I卷，第8题,5分三角函数求值

二倍角的余弦公式

2023年新II卷,第7题,5分半角公式、二倍角的余弦公式无

2023年新H卷,第16题,5分由图象确定正（余）弦型函数解析式特殊角的三角函数值

用和、差角的余弦公式化简、求值

2022年新II卷，第6题,5分无

用和、差角的正弦公式化简、求值

正、余弦齐次式的计算

2021年新I卷，第6题,5分二倍角的正弦公式

三角函数求值

逆用和、差角的余弦公式化简、求值数量积的坐标表示

2021年新I卷，第10题,5分

二倍角的余弦公式坐标计算向量的模

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分

【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公

式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考

知识讲解

11.正弦的和差公式

sin(a+/?)=sinacos0+cosasin尸

sin(cr-/?)=sincrcosp-cosasin0

12.余弦的和差公式

cos(tz+f3)=cosacos/7-sincrsin(3

cos(a—p)=cosacosp+sinasinp

13,正切的和差公式

tan(a+Q)=tana+tan尸

1-tanatan/?

tan。-tan，

tan(a—⑶

1+tanatan尸

14.正弦的倍角公式

sin2a=2sincifcosansinacos。='sin2a

2

15,余弦的倍角公式

cos2a=cos2a-sin2a=(cosa+sin々［cosa-sina)

升幕公式：

cos2a=l-2sin2a，cos2。=2cos2cr-1

降嘉公式:

.21-cos2a21+cos2a

sma=------------,cosa=------------

22

16.正切的倍角公式

-2tana

tan2a------------

1-tana

17.半角公式

a/l-cosa

⑴sin2=±—2-'

a/1+cosa

(2)cos/=±—2一•

a_—cosasinal—cosn

⑶tan2-i+cosa1+cosasina'

以上称之为半角公式，符号由5所在象限决定.

18.和差化积与积化和差公式

..na+BCL—P

sina+sin0=2sin-------cos-------

22

•.oga-\-P.a—p

sina-smp-2cos-sin-

22

cosa+cos0=2cos0、0cos―—―

22

cosa-cosB-2sin°+'sin———

22

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)

19.推导公式

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

20.辅助角公式

2

y=asmx+bcosxf(a>0)=y=飞a+/sin(x+0),其中tan/=2,(pe(--,—)

a22

考点一、两角和与差的三角函数综合应用

典例引领

1.（福建,高考真题）sin15。cos75。+cos15。sin105。等于（）

A.0B.!C.1D.—

22

【答案】C

【分析】由题得原式=sinl5Ocos75o+cosl5Osin75。，再利用和角的正弦公式化简计算.

【详解】由题得原式:sinl5°cos750+cosl50sin750=sin（15°+75。）=sin90°=1.

故选C

【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属

于基础题.

一一4

2.（江西•IWJ考真题）若tana=3,tan/?=y,贝！Jtan（Q一6）等于（）

11

A.3B.-3C.一D.

33

【答案】c

【分析】由两角差的正切公式即可求解.

a__

tana-tanBal

【详解】解:tan(cc—/?)=;----------=----=-，

1+tantztan(3]+3义33

X3

故选：C.

3.(2022•全国•统考高考真题)若sin(a+0+cos(a+0=20cos[a+?卜in/,则()

A.tan(6Z-/7)=lB.tan(a+/)=l

C.tan(a-/3)=—1D.tan(a+/?)=-l

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］：直接法

由已知得：sinacos0+cosasin/?+cosacos#一sinasin/?=2（cos。一sina）sin尸，

即：sinacosP-cosasm/3+cosacos#+sinasin力=0,

即：sin(a-/7)+cos(a-4)=0

所以tan（a_/?）=—l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设0=0贝I」sina+cosa=0,取排除A,B；

JT

再取a=0贝!JsinB+cos0=2sir)B，取B="排除D；选C.

[方法三]:三角恒等变换

sin(cr+/?)+cos(a+夕)=42sin(a+4+工)=^2sin](a+工)+4]

44

=^2sin(cr+—)cosB+^2cos(cir+—)sinB=2\/2cos(cr+—)sinB

444

所以及sin(a+2)cos°=cos(cr+—)sin/3

sin(cz+—)cosy0-cos(«+—)sin尸二0即sin(a+一万)=。

sin(6Z-；0+^-)=sin(6Z-y0)cos^+cos(cr-y0)sin^=^-sin(6Z-y0)+^^-cos(6Z-y0)=O

.,.sin(a—y0)=—cos(a-尸)即tan(a—0=-l,

故选：C.

(2020•全国•统考IWJ考真题)已知sin6+sin^+―1=1,6>+-=

【答案】B

【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】由题意可得：sin^+—sin^+^-cos0=l,

22

|j)||3.A/36.

火1J：—sinH-----cos〃=l,——sin6口^+—'costa/=——6，

22223

从而有：sin0cos—+cossin—=乌

63

即sin/+?)=S

故选：B.

【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

即时检测

4^4_____________

1.(2023•全国•高三专题练习)sin700sinl00+cosl00cos70°=

2

【答案】A

【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】sin700sinl00+cosl00cos700=cos(70°-10°)=cos60°=^.

故选：A.

2.(2023•云南昭通・统考模拟预测)tan87°+tan48°-tan87°tan48°的值为()

A.-IB.1C.72D.6

【答案】A

【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.

【详解】870+48°=135°,令cz=87°,"=48°,则tan(&+£)=tan135。=3n戊+tan£=,

1-tanatanp

所以tana+tan£-