人教版九年级数学上册专项复习：圆周角定理【十大题型】解析版

专题24.4圆周角定理【十大题型】

【人教版】

【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】...................................2

【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】..................................................4

【题型3直径所对的圆周角是90。的运用】......................................................8

【题型4翻折中的圆周角的运用】.............................................................12

【题型5利用圆周角求最值】..................................................................17

【题型6圆周角中的证明】...................................................................21

【题型7圆周角中的多结论问题】.............................................................28

【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.......................................32

【题型9圆周角与量角器的综合运用】..........................................................36

【题型10利用圆周角求取值范围】.............................................................39

【知识点1圆周角定理及其推论】

/4。3是@所对的圆心角，

定理：圆周角的度数等于它所NC是痛所对的圆周角，

对的弧的圆心角度数

)ZC=-ZAOB

的一半2

NC和都是G所对的圆周

圆角

周

角推论1:同弧或等弧所对的圆ZC=ZD

定周角相等

理

A3是O。的直径

CNC是翕湖对的圆周角

B©A

推论2：直径所对的圆周角是ZC=90°

直角，90。的圆周角NC是卷所对的圆周角

所对的弦是直径ZC=90°

A5是的直径

【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】

【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是。。的直径，。。上的两点A,8分别在直径CO的两侧,

且NABC=78°,则/AO。的度数为（）

A.12°B.22°C.24°D.44°

【分析】利用圆周角定理求出NAOC=156。，可得结论.

【解答】解：VZAOC=2ZABC,/ABC=78°,

ZAOC=156°,

：.ZAOD=180°-ZAOC=24°,

故选：C.

【变式1-1］（2022•温州）如图，AB,AC是。。的两条弦，于点。，OELAC于点E,连结。2,

OC.若/。。e=130°,则NBOC的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【分析】根据四边形的内角和等于3600计算可得NA4C=50°,再根据圆周角定理得到/BOC=2N

BAC,进而可以得到答案.

【解答】解：'：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=90°,ZAEO=90°,

ZDOE=130°,

ZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故选：B.

【变式1-2］（2022•蓝山县一模）如图，点A,B,C在。。上，Nl=40°,4c=25°,则（）

1

0

~/C

A.100°B.70°C.55°D.65°

【分析】根据圆周角定理得出NBOC=2N1=80°,根据三角形内角和定理得出N1+N5+NAD3

180°,ZC+ZBOC+ZODC=180°,求出N1+N5=N5OC+NC即可.

【解答】解：设05交AC于。，

VZ1=4O°,

・・・N3OC=2Nl=80°,

VZl+ZB+ZAZ）B=180°,ZC+ZBOC+ZODC=180°,/ADB=NODC,

：.Z1+N3=NBOC+NC,

VZC=25°,

.*.40°+ZB=80°+25°,

・・・N3=65°,

故选：D.

【变式1-3］（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB,CD为。。的两条弦，若NA+NC=120°,AB=2,

CD=4,则。。的半径为（）

A.2岳B.2V7C.*D.*

【分析】连接OB,OA,OC,OD,证明NAO5+NCOO=90°,在。。上点D的右侧取一点E,使得

DE=AB,过点E作ET，CO交CO的延长线于点T,则通=力&,利用勾股定理求解即可.

【解答】解：如图，连接03,04,OC,OD,

•:/BOC=2/CAB,ZAOD=2ZACDfZCAB+ZACD=120°,

AZBOC+ZAOD=24Q°,

AZAOB+ZCOD=120°,

在。0上点。的右侧取一点E,使得DE=AB,过点石作ET,CD交CO的延长线于点T,则通=历,

・•・ZAOB=ZDOE,

：.ZCOE=120°,

：.ZCDE=120°,

AZEDT=60°,

VZ)E=AB=2,

：.DT=1,ET=V3,

，CT=CD+DT=4+1=5,

:,CE=7m+ET?=J52+(V3)2=2V7,

作Ob_LCE,则NCO/=60°,CF=V7,

：.OC=OE=^=—f

V33

2

故选：D.

【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】

【例2】(2022•保亭县二模)如图，为。。的直径，点C、D在圆上，CELA3于点E,若/。=48°,

则/1=()

A.42°B.45°C.48°D.52°

【分析】连接AC,根据圆周角定理得出NA=NO=48°,ZACB=90°,求出NA5C,根据垂直求出

NCEB,再求出N1即可.

【解答】解：连接AC,

由圆周角定理得：ZA=ZD,

・.・/。=48°,

AZA=48°,

TAB是。。的直径，

/.ZACB=90°,

AZABC=90°-ZA=42°,

VCE±AB,

AZBEC=90°,

AZ1=90°-ZABC=48°,

故选：C.

【变式2-1]（2022•南充）如图，A5为。。的直径，弦CO_LA8于点E,OfLLBC于点凡ZBOF=65

则NAOZ）为（）

c

A.70°B.65°C.50°D.45°

【分析】先根据三角形的内角和定理可得/B=25°,由垂径定理得：AC=AD,最后由圆周角定理可得

结论.

【解答】解:'：OFLBC,

:.NBFO=90°,

'：ZBOF^65°,

ZB=90°-65°=25°,

•.,弦CD_LAB,AB为。。的直径，

：.AC=AD,

：.ZAOD=2ZB=50°.

故选：C.

【变式2-2］（2022•十堰二模）如图，在RtzXABC中，ZACB=90°,NA=54°,以BC为直径的。。交

AB于点D.£是。。上一点，且宿=前，连接OE.过点E作交AC的延长线于点E则/

F的度数为（）

【分析】连接O。，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出/OOC=NEOC,根据直角三角形的两锐角互

余得出/B=90°-ZA=36°，根据圆周角定理求出NQOC=2NB=72°，求出/EOC=NOOC=72°,

再根据四边形的内角和等于360°求出即可.

【解答】解：解法一、连接。。，

vcB=CE,

：・/DOC=/EOC,

VZACB=90°,ZA=54°,

：.ZB=90°-ZA=36°,

：.ZDOC=2ZB=72°,

:・/E0C=ND0C=T2°,

OE±EF,

：.ZOEF=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCF=90°,

：.ZF=360°-ZOEF-ZBCF-ZEOC=360°-90°-90°-72°=108°；

解法二、VZACB=90°,ZA=54°,

・・・N3=90°-ZA=36°,

9：DC=CE,

：.ZCOE=2ZB=72°,

VOE±EF,

：.ZOEF=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCF=90°,

.*.ZF=360°-NOEF-NBCF-/EOC=360°-90°-90°-72°=108°；

故选：B.

【变式2-3］（2022•本溪模拟）如图，在。。中，AB=BC,直径CD_LA3于点N,尸是死上一点，则N

BPD的度数是30°.

【分析】连接040B,如图，先根据垂径定理得到庭=而，所以而=元=就，利用圆心角、弧、

弦的关系得至!]/46^=/8。。=/4。8=120°,所以/8。。=60°,然后根据圆周角定理求解.

【解答】解：连接。4、OB,如图，

:CDLAB,

：.AC=BC,

\'AB=BC,

：.AB=BC=AC,

1

/.ZAOC=ZBOC=ZAOB=-x360°=120°,

3

AZBOD=180°-120°=60°,

；・NBPD=L/BOD=30°.

2

故答案为：30°.

【题型3直径所对的圆周角是90°的运用】

【例3】（2022•中山市三模）如图，A8是。。的直径，若AC=2,ZD=60°,则BC长等于（）

A.4B.5C.V3D.2V3

【分析】根据圆周角定理得出/ACB=90°,NCAB=/£）=60°,求出NABC=90°-ZCAB=30°,

根据含30度角的直角三角形的性质求出AB=2AC=4,再根据勾股定理求出BC即可.

【解答】解：・.・A5是。。的直径，

AZACB=90°,

9：ZD=60°,

：.ZCAB=ZD=60°,

/.ZABC=90°-ZCAB=30°,

VAC=2,

：.AB=2AC=4f

：.BC=7AB2-AC2=V42-22=2V3,

故选：D.

【变式3-1］（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的。O经过点C,OD_LAC交。。于点

D,连接3D若N84C=36°,则N0Q8的度数为（）

A.32°B.27°C.24°D.18°

【分析】设AC与0。相交于点及根据直径所对的圆周角是直角可得NAC5=90°,从而求出NA5C=

54°,再根据垂直定义可得NAEO=90°,从而可得ODIIBC,然后利用等腰三角形和平行线的性质可

得平分NABC即可解答.

【解答】解：设AC与。。相交于点

TAB是。。的直径，

AZACB=90°,

VZBAC=36°,

AZABC=90°-ZBAC=54°,

VO£>±AC,

AZAEO=90°,

AZAEO=ZACB=90°,

J.OD//BC,

：・/ODB=/DBC,

;OD=OB,

：.ZODB=ZOBDf

：.ZOBD=ZDBC=-ZABC=27°,

2

AZODB=ZOBD=27°,

故选：B.

A

【变式3-2］（2022•江夏区校级开学）如图，。。的直径A3为8,。为而上的一点，QE_L4C于点E,若

CE=3AE,ZBAC=30°,则。E的长是（）

O_________O

A.£B.V13-2C.V3D.I

【分析】在30°的直角三角形ABC中求出AC=4百，根据CE=3AE得到AE=V3,再分别求出DF、

ME、MP的长度即可得解.

【解答】解：如图，连接连接BC、OD,作交DE的延长线于点EDF、交于点M

YAB为直径，

/.ZACB=90°,

又；NR4c=30°,

：.BC=4,AC=4V3,

\'CE=3AE,

：.AE=V3,

'：DE±AC,NBAC=30°,

：.EM=1,AM=2,

：.OM=OA-AM=4-2=2,

在Rt/XOMF中，

VZOFM=90°,ZOMF=ZAME=90Q-30°=60°,OM=2,

：.MF=\,OF=V3,

VZF=90°,

:.DF=y/OD2-OF2=V42-3=V13,

DE=DF-ME-MF=V13-2.

【变式3-3](2022秋•如皋市校级期中)在。。中，A8为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交

AB于点。，连接CD

(1)如图1,若点。与圆心。重合，AC=2,求。。的半径r；

(2)如图2,若点。与圆心。不重合，/54C=25°,求/OC4的度数.

【分析】(1)过点。作OELAC于E,由垂径定理可知AE=/C=(x2=l,根据翻折后点。与圆心。

重合，可知0E=%,在Rt^AOE中，根据勾股定理可得出r的值；

(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出NAC8,根据直角三角形两锐角互余求出NB,再根据

翻折的性质得到M所对的圆周角，然后根据NACD等于病所对的圆周角减去前所对的圆周角，计算

即可得解.

【解答】解：(1)如图1,过点。作OELAC于E

贝I]AE=-AC=-x2^1,

22

•・,翻折后点D与圆心O重合，

/.OE=-r,

2

在RtZXAOE中，AO1=A^+OE1,

即/=y+（］）2,解得仁竽；

(2)连接BC,

是直径，

AZACB=90°,

VZBAC=25°,

・・・N3=900-ZBAC=90°-25°=65°,

根据翻折的性质，配所对的圆周角为N3,而所对的圆周角为NADC,

AZADC+ZB=180°,

：.ZB=ZCDB^65°,

：.ZDCA=ZCDB-ZA=65°-25°=40°.

【题型4翻折中的圆周角的运用】

【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，A3是。。的直径，是。。的弦，先将就沿8C翻折交A8

于点。，再将皿沿A5翻折交5C于点若密=证,则N5CD的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【分析】证明/CA8=3a,利用三角形内角和定理求出a,可得结论.

【解答】解：设NA2C=a,

则万&,CD,数的度数都为2a,

.•.皿的度数=4a,

•••翻折,

.♦.前的度数=4a,

，:京的度数=2a+4a=6a,

;朝的度数+前的度数=180°,

.\2a+6a=180°,

a=22.5°.

...丽的度数=90°

：.ZBCD=45°.

故选：C.

【变式4-1]（2022秋•萧山区期中）如图，在。。中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于点。，连结若NA4c=25°,则NBOC的度数为（）

A.45°B.55°C.65°D.70°

【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆。尸，根据圆周角定理得出比=比，求出根据

圆周角定理求出/ACB=90°,再求出NABC即可；解法二、过。作。E_LAC于E,延长。E交。。于

F,连接ARCF、BC,根据圆周角定理得出/AC2=90°,根据翻折变换得出/用^=/氏4。=25°,

ZDCA=ZFCA,根据圆内接四边形的性质得出N54F+NBCF=18(T,求出NAC/=40°,求出/ACD

=ZACF=40Q,再根据三角形的外角性质求出即可.

【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆。尸

「NBAC在。。和。P中分别对应弧BC和弧DC,

：.BC^DC(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)，

:.BC=DC,

：.ZBDC=ZDBC,

：A3为。。直径，

ZDBC=90°-/BAC=65°,

：.ZBDC=65°；

解法二、过。作£)E_LAC于E,延长£)«交。。于R连接ARCF、BC,

；AB是。。的直径，

••,将劣弧AC沿弦AC翻折交A8于点。，连结CO,ZBAC=25

：.ZFAC^ZBAC^25°,ZDCA^ZFCA,

•..点A、F、C、B四点共圆,

：.ZBAF+ZBCF=1SO°,

.*.25°+25°+90°+ZACF=180°,

解得：ZACF=40°,

即NACD=NACT=40°,

VZBAC=25°,

AZBDC=ZBAC+ZACD=25°+40°=65°,

故选：C.

【变式4-2](2022秋•研口区期末)如图，A5为。。的一条弦，。为。。上一点，OC//AB.将劣弧A5

沿弦AB翻折，交翻折后的弧A3交AC于点D若。为翻折后弧AB的中点，贝1]乙钻。=()

A.110°B.112.5°C.115°D.117.5°

【分析】如图，连接04,OB,BD.设ND43=x.用工表示出NBOC,/BCD,/DBC,利用三角形内

角和定理，构建方程求解.

【解答】解：如图，连接。4,OB,BD.设NZM3=x.

*：AD=BD,

:.DA=DB,

9：BD=BC,

：.BD=CD,

：./DAB=ZDBA=x,ZBDC=ZBCD=ZDAB-^-ZABD=2x,

・.・OC//AB,

：.ZOCA=ZDAB=x,

•：OA=OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=3x,ZOAD=ZOCA=x,ZOAB=ZOBA=2xf

/OBD=x,

：.ZCBD=4x,

在△8OC中，ZBDC+ZDCB+ZDBC=180°,

.\2x+2x+4x=180°,

；.x=22.5°,

：.ZABC=5x=112.5°,

故选：B.

【变式4-3］（2022秋•丹江口市期中）己知。。的直径A8长为10,弦COLA8,将。。沿CD翻折，翻

折后点8的对应点为点夕，若AB'=6,CB'的长为（）

A.4V5B.2强或4岔C.2V5D.2展或4旧

【分析】分点⑶在线段上，点8在R4延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求Mb的长度.

【解答】解：①如图1中：当点⑶在线段A2上，连接OC.

：.AO=BO=5=OC,BB'=4,

•:B,B'关于CD对称，

:.BE=B，E=2,

：.OE=OB'+EB'=3,

在RtZXOCE中，CE2=OC2-O呼=25-9=16,

在RtAB'CE中，B'C=VER2+EB?=<42+22=2时.

：.B'B=16,AO=BO=OC=5,

'：B,B'关于C£）对称，

：.B'E=BE=8,

；.OE=BE-B0=3,

在RtACEO,CE2=CO2-OE2=25-9=16,

在Rt/XB'CE中，B'C=VFC2+EB'2=V16+82=4V5,

综上所述9C=2遍或4V5,

故选：B.

【题型5利用圆周角求最值】

【例5】（2022•瑶海区三模）如图，A2是。。的直径，AB=8,点M在。。上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中点，尸是直径A8上的一动点，若MN=2,则△PMN周长的最小值为（）

【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于A2的对称点N',连接MN'交AB于P,此时RW+PN最

小，即△PMN周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可.

【解答】解：如图，作点N关于48的对称点N',则点N'在。。上，连接MN'交48于P,此时PM+PN

最小，即PM+PN=W,

•.•点N是翁的中点，ZBAM=20°,

：.MN=触=BN',

：.ZBAN'=10°,

:./MAN'=20°+10°=30°,

:"MON=60°,

:.△MON'是正三角形，

：.OM=ON'=MN'=-AB=4,

2

又,：MN=2,

.,.△PMN周长的最小值为2+4=6,

故选：C.

【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，ZXABC中，ZABC=45°,NACB=75°,AB=4,D是边BC上

的一个动点，以为直径画。O,分别交A3、AC于点£、F,连接EE则线段所长度的最小值为

V6

【分析】如图，由题意当A。，8c时，0O的半径最小，因为/E4P=60°,是定值，所以此时EF的值

最小.

【解答】解：如图，VZABC=45°,ZACB=75°,

.*.BAC=180°-75°-45°=60°,

由题意当AD_LBC时，。。的半径最小，

•：ZEAF=6Q°,是定值,

，此时E尸的值最小,

过。。的中点K作MN_L4D交。。于M、N,连接。N、AN、AM,则△AMN是等边三角形，

在RtZXABZ）中，ZABC=45°,AB=4,

:.AD=BD=2五,

：.OK^KD=―,0N=V2,

2

在RtLONK中，NK=KM=<0N2-OK2=—,

2

:.MN=V6,

AZEAF^ZMAN^60°,

：.EF=MN,

:.EF=MN=瓜,

二£斤的最小值为声,

故答案为：V6.

【变式5-2］（2022秋•大连期末）如图，AB是。。的直径，43=2,点C在。。上，ZC4B=30°,D为

曲的中点，E是直径A8上一动点，则CE+OE最小值为（）

D

OEB

A.1B.V2C.V3D.2

【分析】作点。关于A8的对称点为。'，连接OC,OD,OD',CD',交AB于点E,贝ICE+DE的

最小值就是。'的长度，根据已知易证NC。。'=90°,然后利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】解：作点D关于48的对称点为£>',连接。C,OD,OD',CD',交AB于点E,

：.CE+DE=CE+D'E=CD',

\'ZCAB=30°,

...NCO2=2NC4B=60°,

为我的中点，

：.CD=DB,

"：DB=BD',

：.CD=DB=DB',

：.ZCOD=ZDOB=ZBOD'=30°,

J.ZCOD'=90°,

VAB=2,

AOC=OD'=1,

CD'=70c2+OD'Z=Vl2+l2=V2,

.♦.CE+OE最小值为：V2,

故选:B.

【变式5-3］（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=|,BC=AB2,E为射线8A上一动点,

连接CE交以BE为直径的圆于点”，则线段。“长度的最小值为7.

---4---

【分析】取BC的中点G,连接①/,HG,DG.解直角三角形求出GH,DG,根据DHeOG-GH即可

判断.

【解答】解：取BC的中点G,连接BH,HG,DG.

•••四边形A8CD是矩形，

OQ

：.AB=CD^~,BC=AB2=ZDCG=90°,

24

•；CG=BG=29,

8

：.DG=yJCD24-CG2=J(|)2+(^)2=£，

•:BE是直径，

；・NBHE=NBHC=9U°,

•;BG=GC,

1Q

：.HG=-BC=

28

■:DH及DG-HG,

：.DH>

884

J077的最小值为"

4

故答案为

4

【题型6圆周角中的证明】

【例6】(2022秋•定陶区期末)如图1.在。。中A8=AC,/AC8=70°,点E在劣弧左上运动，连接

EC,BE,交AC于点?

(I)求NE的度数；

(2)当点E运动到使BE,AC时，连接AO并延长，交BE于点、D,交BC于点G,交。。于点依

据题意在备用图中画出图形.并证明：G为。M的中点.

A

备用图

【分析】（1）求出/A=40°,利用圆周角定理解决问题即可;

（2）证明BGLDM,利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可.

【解答】（1）解：如图1中，-：AB^AC,

：.ZABC=ZACB=yO°,

.\ZBAC=180°-2X70°=40°,

•弧叱=弧8。,

：.ZBEC=ZBAC=40°；

（2）证明：依据题意画图如下:

图2

连接CM.

\'AB=AC,

：.AB=AC,

5L'：AM=AM,

：.BM=CM,

：.BM=CM,AMIBC,ZBAM=ZCAM=20°,

：.ZMBC^ZCAM^20°,

"：BE±AC,AMIBC,

：.ZBGD=ZAFD=90°,

；.NBDG=NADF=70°,

"：AB=AB,

：.ZBMA=ZACB^10°,

:./BMA=NBDG=10°,

:.GD=GM,即点G为。M的中点.

【变式6-1](2022春•金山区校级月考)已知为。。的直径，A、8为。O上两点，点C为劣弧A8中

点，连接ZM、BA,AC,且NB=30°.

(1)求证：ZZ>=30°；

(2)F、G分别为线段CD、AC上两点，满足。P=AG,连接AF、OG,取0G中点H,连接C”，请猜

测AP与C8之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)利用圆周角定理证明即可；

(2)结论：AF=2CH.延长。C到T,使得CT=CO,证明△CGTgZX。朋(SAS'),推出AP=GT,再

利用三角形中位线定理证明.

【解答】(1)证明：•.•/ABC=30°,

又；ND=NABC,

；./。=30°；

(2)解：结论：AF=2CH.

理由：延长DC到T,使得CT=CO.

VZAOC=2ZABC=60°,OA=OC,

...△AOC是等边三角形，

AZACO=ZAOC^6Q°,AC=OA=OC,

ACT=OC=OA,ZAOF=ZGCT=120°,

9：OA=AC,DF=AG,

：.OF=CG,

在△CGT和△(?孙中，

CG=OF

乙GCT=乙4。h

CT=OA

：./\CGT^/\OFA(SAS),

：.AF=GT,

•：OH=HG,OC=CT,

：.GT=2CH,

：.AF=2CH.

【变式6-2］（2022•武汉）如图，以AB为直径的。。经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分NA4C和N

ABC,AE的延长线交。。于点。，连接8D

（1）判断△8DE的形状，并证明你的结论；

【分析】（1）由角平分线的定义可知，/BAE=NCAD=/CBD,NABE=NEBC,所以/BED=/DBE,

所以BD=ED,因为A8为直径，所以NAZ）3=90°,所以是等腰直角三角形.

(2)连接OC、CD、OD,。。交BC于点£因为/D8C=/CAO=/8AD=/BCD.所以BD=OC.因

为OB=OC.所以0。垂直平分BC.由是等腰直角三角形，BE=2y/10,可得2。=2强.因为

OB=OD=5.设。尸=3贝UDF=5-t.在RtABOF和RtZXBDF中，52-产=(26)2-(5-?)2,解

出t的值即可.

【解答】解：(1)△2DE为等腰直角三角形.理由如下：

'：AE平分/BAC,BE平分/ABC,

:./BAE=/CAD=/CBD,/ABE=/EBC.

,：ZBED=ZBAE+ZABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,

：./BED=/DBE.

：.BD=ED.

'：AB为直径，

ZA£>B=90o

•••ABDE是等腰直角三角形.

另解：计算/AEB=135。也可以得证.

(2)解：连接OC、CD、OD,0D交BC于点F.

,：ZDBC=ZCAD=ZBAD=ZBCD.

：.BD=DC.

'：OB=OC.

...0。垂直平分8C.

•..△BDE是等腰直角三角形，B£=2V10,

：.BD=2>j5.

"：AB=]O,

：.OB=OD=5.

设。尸=3则。尸=5-f.

在Rt/XBOF和Rt/XBD尸中，52-r=(2西)2-(5-?)2,

解得t=3,

：.BF=4.

：.BC=8.

另解：分别延长AC,8D相交于点G.则△M8G为等腰三角形，先计算AG=10,BG=4乘,AD=4^,

再根据面积相等求得BC.

【变式6-3](2022•南召县四模)阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了

解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.其中论述了阿基米德折弦定理：

从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦.一个圆中一条由两长度不同的

弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.

如图1,和BC是。。的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BOAB.M是弧ABC的中点，则从M

向8C所作垂线之垂足。是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.

小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN=AB,连接MA,MB,

MC,MN.

小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H,连接AM,MB,MC.

任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程.

(2)就图3证明：MC2-MB-=BC'AB.

【分析】(1)截长法：首先证明△MBA丝△MNC(SAS),进而得出再利用等腰三角形的性

质得出8。=而，即可得出答案；

垂线法：证明四△COM(A4S),推出AH=CD,再证明RtZYBAW?四△HMD(HL),

推出可得结论；

(2)由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,整理等式即可证得结论.

【解答】(1)截长法：

证明：如图2,在C8上截取CN=A3,连接MA,MB,MC和MN.

・二M是丽的中点，

：.MA=MC,

在和△MGC中，

BA=NC

△A="，

.MA=MC

：.AMBA^AMGC(SAS),

：.MB=MG,

又・・,MZ)_LBC

:・BD=GD,

：.CD=GC+GD=AB+BD；

垂线法：

证明：如图3,过点〃作又〃，45于点〃，连接M4,MB,MC,

•・・M是雁的中点，

：.AM=CM,

•：MH1AH,MDLBC,

：.ZH=ZCDM=90°,

ZA=ZC,

在和△COM中，

2H="DM

Z.A=Z.C,

AM=CM

：.AAHM^ACDM(A4S),

:.MH=DM,AH=CD,

VZH=ZBDM=90°,BM=BM,

(HL),

:・BH=BD,

CD=AH=AB+BH=AB+BD；

（2）在Rt/XAHM中，AM2=AH2+MH2,

在中，BM2^BH2+MH2,

由（1）可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,

C.MC1-MB^AM2-MB1=AH2+HM2-BH

【题型7圆周角中的多结论问题】

【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在。。中，是。。的直径，AB=10,AC^CD=DB,点£是点。

关于A3的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：

①N8OE=30°；②/DOB=2NCED；③。M_LCE；④CM+OM的最小值是10,上述结论中正确的个数

【分析】①错误，证明NEOB=/3OO=60°即可；

②正确.证明NCE£）=30°,可得结论；

③错误，"是动点，。加不一定垂直CE；

④正确，连接EM,证明推出MC+MD=MC+MEeCE=10,可得结论.

【解答】M：'.'AC=CD=DB,

：.ZAOC=ZCOD=ZDOB=6Q°,

'：E,。关于AB对称，

：.ZEOB=ZBOD=60°,故①错误，

-1

a

VZCED=-2ZCOD=30,

：.ZDOB=2ZCED,故②正确，

是动点，

二。“不一定垂直CE,故③错误，

连接

则ME=MD,

CM+DM=MC+ME^CE=10,故④正确,

【变式7-1]（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、。在0O上，AB=CD,下列结论：①/

AOC=/BOD；②/BOD=2NBAD；®AC^BD；④NCAB=NBDC；⑤NCAO+NCDO=180°.其中

正确的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可.

【解答】解：：42=CD

：.CBD=BCA,

：.AC=BD,

：.ZAOC=ZBOD,故①正确；

•圆周角/BAD和圆心角ZBOD都对着皿，

/.ZBOD=2ZBAD,故②正确；

'：AC=BD,

C.AC^BD,故③正确;

•.,圆周角NC48和ZBDC都对着我,

：.ZCAB=ZBDC,故④正确;

延长。。交。。于M,连接AM,

：。、C、A、M四点共圆，

：.ZCDO+ZCAM=180°（圆内接四边形对角互补），

'：ZCAM>ZCAO,

：.ZCAO+ZCDO<1SO°,故⑤错误；

即正确的个数是4个，

故选：C.

【变式7-2]（2022秋•厦门期末）在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。交BC边于点D要使得。。

与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是3

④.（写出所有正确答案的序号）

①/8AC>60°；②45°<ZABC<6Q°；③B。〉/&®^AB<DE<^-AB.

【分析】结合等腰三角形的性质及圆周角定理对所给条件逐个进行分析判断.

【解答】解：在△ABC中，AB=AC,

①当/BAC>60°时，若NBAC=90°时，此时点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；

②当NABCW45。时，点E与点A重合，不符合题意，

当NABC260°时，点E与点。不关于4D对称，

当45°<ZABC<60°时，点E关于直线的对称点在线段OA上，故②满足条件；

③当时，点E关于直线A。的对称点在线段OA上，故③不满足条件；

④|42<1）后〈当48时，点“关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；

故答案为：②④.

【变式7-3]（2022秋•东台市月考）如图，是。。的直径，C,。是。。上的点，MOC//BD,AD与

BC,0c分别相交于点E,F,则下列结论：®AD±BD；®ZAOC=ZAEC；③CB平分NABD；®AF

=DF；⑤LCEFmNBED.其中一定成立的结论是①③④.（填序号）

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于/AOC是。。的圆心角，/AEC是。。的圆内部的角，

③由平行线得到/OCB=ZDBC,再由同圆的半径相等得到结论判断出/O8C=/DBC；

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤得不到△CEP和△8即中对应相等的边，所以不一定全等.

【解答】解：①是。。的直径，

Z.ZADB=90°,

：.AD±BD,

故①正确；

(2)ZAEC=ZABC+ZA,ZAOC=ZABC+ZC,

根据图形及已知不能推出/C=ZA,

/AOCWZ.AEC,

故②不正确；

③：OC//BD,

：.ZOCB=ZDBC,

\'OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZOBC=ZDBC,

平分/ABD

故③正确；

④是。。的直径，

Z.ZADB=90°,

：.AD±BD,

'：OC//BD,

：.ZAFO=90°,

:点。为圆心，

：.AF=DF,

故④正确；

⑤「△CE尸和△BED中，没有相等的边，

，/\CEF与△BED不全等，

故⑤不正确；

综上可知：其中一定成立的有①③④，

故答案为：①③④.

【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】

【例8】(2022春•杏花岭区校级月考)如图，A,B两点的坐标分别为(-2,0),(3,0),点C在y

A.(0,7)B.(0,2V10)C.(0,6)D.(0,3付

【分析】在x轴的上方作等腰直角△ABF,FB=FA,ZBAF=90°,以尸为圆心，刚为半径作。尸交y

轴于首先证明点C即为点根据尸C=誓，构建方程即可解决问题.

【解答】解：在x轴的上方作等腰直角△42RFB=FA,ZBAF^90°,以P为圆心，物为半径作。尸

点C即为点

VA(-2,0),B(3,0),△ABB是等腰直角三角形,

：.F(-,-),FA^FB=FC=―,设C(0,m),

222

则斗(|-加)]=(争之,

解得m=6或-1（舍弃），

：.C（0,6）,

故选：C.

【变式8-1］（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形4BC。中，若/A8C=112°,贝U/AOC

=124。.

【分析】根据AB=BD=BC得出A、。、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，作圆周角/AEC,根据

圆周角定理得出NE=|zABC=56°,根据圆内接四边形的性质得出/Ar>C+NE=180°,再求出答案即

可.

【解答】解：：AB=B£）=BC,

；.A、D、C在以B为圆心，以A3为半径的圆上，

如图，作圆周角/AEC,

VZABC=112°,

.\Z£=-zABC=56°,

2

四边形ADCE是。6的圆内接四边形,

AZADC+