2025年高考数学一轮知识点复习：用样本估计总体-专项训练【含解析】

用样本估计总体-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.已知数据%i，%2,…，%n是某市九（nN3,71CN*）个普通职工的年收入（单位:元）,

若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的

数字特征是（）.

A.平均数B.中位数C.方差D.极差

2.（2024.九省适应性测试）样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）.

A.14B.16

C.18D.20

3.（改编）如图，这是根据某市6月1日至6月10日的最低气温（单位：。0

的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40百分位数是（）.

温度/工

O12345678910日期

A.20.5℃B.21℃C.21.5℃D.22℃

4.甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数统计

如表所示.

甲0102203124

乙2211121101

可，次分别表示甲、乙两组数据的平均数，S/,S：分别表示甲、乙两组数据的方

差，则下列选项正确的是（）.

A.—x2,sf>siB.xr>x2,sf>si

J*Ss

C.<X21>2D.>x2,sf<S2

5.[i]（原创）已知一组数据%1，久2,久3,…，%的平均数为3,方差为点那么另一

组数据6%i+2,6%2+2,6X3+2,-,6&+2的平均数和方差分别为（）.

A.6,B.6,1C.18,1D.20,4

6.（原创）某班有30名男生同学，高一入校体测时，经过计算得到平均身高为

170cm,标准差为s,后来发现录入有错误，甲同学185cm误记为165cm,乙同

学175cm误记为195cm,更正后重新计算标准差则s与s1的大小关系是（）.

A.,s—S]B.s<SiC.s>S]D.不能确定

7.某市政府为了了解居民节约用水的意识，随机调查了100户居民某年的月均

用水量数据（单位：立方米），制成如图所示的频率分布直方图.下列说法正确

的是（）.

八频率/组距

0.5-............r—1

0.4-------------------

0.3..........-I......................

0.2--T~

0.1--------------……-----------------------

O0.511.522.533.544.5用水量

/立方米

A.该组样本数据的极差是4立方米

B.可估计全市居民用户月均用水量的中位数是2.25立方米

C.可估计全市居民用户月均用水量的众数是2立方米

D.可估计全市居民用户中月均用水量超过3立方米的占15%

8.某市入夏的标准是立夏之后，连续五天的日平均气温不低于22吧立夏之后,

测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定该市入夏的是（）.

A.总体均值为25。。中位数为23°CB.总体均值为25。。总体方差大于0

C.总体中位数为23?,众数为25久D.总体均值为25。。总体方差为1

综合提升练

9.（多选题）某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进

行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的是

（）.

自助游比率/%

30

25

老年人20

.20%）

中年人

35%

O老年人中年人青年人年龄段

A.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数多于选择自助游

的青年人人数的一半

B.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的

13.5%

C.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比

选择自助游的青年人多

D.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%

10.（多选题）某校为了了解学生的身体素质，对2023届初三年级所有学生做

一分钟仰卧起坐的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2024届初三

学生人数较2023届初三学生人数上升了10%,2024届初三学生做一分钟仰卧起

坐的个数分布条形图如图2所示，则（）.

60,70)[70,80]

50,60)15%5%

25%

[20,30)

10%

40,50)30,40)

25%20%

频率图1

n

45^

/

z

n

40^

z

z

nz

35^/

/^

zu

3n

0^

z

/

25n

^

/

z

20n

^

z

z

15n/

V^

/u

10n

^

/

z

5n

^

/

z

xO

c个

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]数

图2

A.该校2023届初三年级学生做一分钟仰卧起坐的个数在［30,60）内的学生人数

占70%

B.该校2024届初三学生做一分钟仰卧起坐的个数在［60,80］内的学生人数比

2023届初三学生做一分钟仰卧起坐个数在［60,80］内的学生人数的2.2倍还多

C.该校2024届初三学生做一分钟仰卧起坐的个数和2023届初三学生做一分钟

仰卧起坐个数的中位数均在［50,60）内

D.相比2023届初三学生做一分钟仰卧起坐个数不小于50的人数占比，2024届

初三学生做一分钟仰卧起坐个数不小于50的人数占比增加

11.某班为了了解学生每月购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个

9人的样本统计如表所示：

学生数平均支出/元支出平方的累加值方差

女生4"I*端=53800225

i=l

男生5片1°6就=577。。304

i=l

估计全班学生每月购买零食的平均支出的方差为,（精确到小数点后一

位）

12.（双空题）已知在一次文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成

一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分：

小组A42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45.

小组B:55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47.

小组B的第75百分位数是,从评委打分相似性上看更像专业人士组成的

小组是组.

应用情境练

13.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量%（单位：克）与

药物功效y（单位：药物单位）之间具有关系式y=9%-/.检测这种药品一个批

次的6个样本，得到成分甲的平均值为5克，标准差为招，则估计这批中医药的

药物功效的平均值为•一

14.已知甲、乙两班在我校举行合唱比赛中，7位评委的评分情况如下：

甲:78,78,88,X,80,95,96.

乙：76,80,82,y,91,93,96.

其中甲班成绩的中位数是81,乙班成绩的平均数是86.若正实数a,匕满足a,G,b

成等差数列且80-久，G,80-y成等比数列，则：+：的最小值为

创新拓展练

15.已知一组数据为1，%2，%3,…，%兀的平均数为高方差为s2.若3%1+1,3%2+1,

3久3+1，…，3&+1的平均数比方差大4,则s2—f的最大值为

16.某学校有800名学生，为了了解学生对《民法典》的认识程度，选取了100

名学生进行测试，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求TH的值；

（2）估计抽查的学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）

（3）如果抽查的测试平均分超过万分，那么就表示该学校通过测试，试判断该

校能否通过测试.

用样本估计总体-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.已知数据为1，久2,…，%n是某市n（n23,71eN*）个普通职工的年收入（单位:元）,

若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的

数字特征是（B）.

A.平均数B.中位数C.方差D.极差

［解析］由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一

定不变.故选B.

2.（2024.九省适应性测试）样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（B）.

A.14B.16

C.18D.20

［解析］将这些数据从小到大排列可得10,12,14,14,16,20,24,30,40.故其中位数为

16.故选B.

3.（改编）如图，这是根据某市6月1日至6月10日的最低气温（单位：。0

的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40百分位数是

（C）.

温度/工

O12345678910日期

A.20.5℃B.21℃C.21.5℃D.22℃

［解析］由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大排列为19,20,21,21,

22,22,23,24,24,24,因为共有10个数据，所以10x40%=4,是整数,

则这10天的最低气温的第40百分位数是第4和第5个最低气温的平均数，即

V=21.5(。(2).故选(1

4.甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数统计

如表所示.

甲01022c)3124

乙22111211c)1

立，也分别表示甲、乙两组数据的平均数，s苒,s：分别表示甲、乙两组数据的方

差，则下列选项正确的是(B).

?SS

A.=±2，Si>S2B.xr>%212

C.%1<X2ysl>S2D.吊>元2，sl<S2

0+1+0+2+2+0+3+1+2+4

［解析］由表格数据知，=

101.5,%2

2+2+1+1+1+2+1+14-0+1"c

-----------------=l.Z,

10

・,・＞第2，

••Y=2x[(0—1.5)2x3+(1-1.5)2x2+(2-1.5)2x3+(3-1.5)2+

(4-1.5)2］=1.65,s：=卷x［(2—1.2)2x3+(l-1.2)2x6+(0-1.2)2］=

0.36,

・•・s：>s：,故选B.

5.［i］(原创)已知一组数据久i，g,与，・・•，%的平均数为3,方差为点那么另一

组数据6%i+2,6久2+2,6%3+2,…，6期+2的平均数和方差分别为(D).

A.6,B.6,1C.18,1D.20,4

［解析］由数据为1，%2，%3,…，％?1的平均数为3,方差为2,可得数据6久1+2,6%2+2,

6处+2,…，6期+2的平均数为6x3+2=20,方差为62x；=4.故选D.

6.(原创)某班有30名男生同学，高一入校体测时，经过计算得到平均身高为

170cm,标准差为s,后来发现录入有错误，甲同学185cm误记为165cm,乙同

学175cm误记为195cm，更正后重新计算标准差si，则s与si的大小关系是(C).

A.s=S]B.s<SiC.s>S]D.不能确定

[解析]因为甲同学185cm误记为165cm,乙同学175cm误记为195cm,所以身

高总值不变，故平均身高不变，设除甲、乙以外的其余28人的身高分别为

…，为28，平均数为礼所以S=

总J(165—元)2+(195—君2+%—君2+(久2一君2+…+(g8—元)2,

S1二9J(185—8)2+(175—7)2+(X1—元)2+(%2—元)2+…+(久28—君2,

因为[(165-x)2+(195-元)2]-[(185-%)2+(175-x)2]=[(165-170)2+

(195-170)2]-[(185-170)2+(175-170)2]

=52+252-152-52=400>0,

所以s>s>故选C.

7.某市政府为了了解居民节约用水的意识，随机调查了100户居民某年的月均

用水量数据(单位：立方米)，制成如图所示的频率分布直方图.下列说法正确

的是(D).

八频率/组距

0.5--..........

0.4---------E.

0.3.....-I——一■…一一

0.2--1~■

0.1----------------------------

O0.511.522.533.544.5用水量

/立方米

A.该组样本数据的极差是4立方米

B.可估计全市居民用户月均用水量的中位数是2.25立方米

C.可估计全市居民用户月均用水量的众数是2立方米

D.可估计全市居民用户中月均用水量超过3立方米的占15%

[解析]对于A,由频率分布直方图无法得到这组数据的最大值和最小值，故无法

准确判断这组数据的极差，故A错误；

对于B,因为(0.2+0.3+04)x0.5=0.45,0.45+0.5X0.5=0.7,设中位数为

x,由0.45+0.5x(%—2)=0.5得％=2.1,故B错误；

对于C,众数为卫=2.25,故C错误；

2

对于D,月均用水量超过3立方米的频率为(0.1+0.1+0.1)x0.5=0.15,故D正

确.故选D.

8.某市入夏的标准是立夏之后，连续五天的日平均气温不低于22。(1立夏之后，

测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定该市入夏的是(D).

A.总体均值为25。。中位数为23°CB.总体均值为25。。总体方差大于0

C.总体中位数为23。（:，众数为25眩D.总体均值为25。。总体方差为1

［解析］对于A,总体均值为25。。中位数为23。。可能出现低于22。（2的情况，故

A不正确；

对于B,当总体方差大于0时，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据

的波动大小，故B不正确；

对于C,中位数和众数也不能确定，故C不正确：

对于D,当总体均值为25。。总体方差为1,根据方差公式s2=］（/—制2+

（%2—MT+（第3—元/+（孙一元）2+（%—元产］,因为方差为1,歹=25,所以若

存在有一^气温低于22℃,则方差大于1,或者通过假设汽2=%3=%4=工5=25,

则1=式光1-25）2,打=25-芯或=25+遮（舍去），此时五天最低温度

为25—遮°C,大于22。（：，故D正确.故选D.

综合提升练

9.（多选题）某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进

行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的是

（CD）.

O老年人中年人青年人年龄段

A.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数多于选择自助游

的青年人人数的一半

B.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的

13.5%

C.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比

选择自助游的青年人多

D.估计2022年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%

［解析］设2022年到该地旅游的游客总人数为a,由题意可知游客中老年人、中年

人、青年人的人数分别为0.2a,0.35a,0.45a,其中选择自助游的老年人、中年

人、青年人的人数分别为0.04a,0.0875a,0.135a.

■\

因为0.0875a>0.135ax-=0.0675a,所以A正确；

2022年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为

0.135ax100%=13.5%,所以B正确;

a

因为0.04a+0.0875a=0.1275a<0.135a,所以C不正确;

2022年到该地旅游的游客选择自助游的比率为°°4a+°Q875a+0135a乂10Q%=

a

26.25%,所以D不正确.故选CD.

10.（多选题）某校为了了解学生的身体素质，对2023届初三年级所有学生做

一分钟仰卧起坐的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2024届初三

学生人数较2023届初三学生人数上升了10%,2024届初三学生做一分钟仰卧起

坐的个数分布条形图如图2所示，则（ABD）.

60,70)[70,80]

50,60)15%5%

25%

[20,30)

10%

40,50)30,40)

25%20%

频率图1

45n7

^Z

z

z^也%

40n/

^z

/^

zu

35nz

^/

/^34%

zu

30n

^

z

25^z

z

/x

^

/u

20/

^

15u

n/

z

v^

10zuU%

n/

^z

/^

5zu7%

n/

^z

/^4%

zui%

x

cn个

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]数

图2

A.该校2023届初三年级学生做一分钟仰卧起坐的个数在［30,60）内的学生人数

占70%

B.该校2024届初三学生做一分钟仰卧起坐的个数在［60,80］内的学生人数比

2023届初三学生做一分钟仰卧起坐个数在［60,80］内的学生人数的2.2倍还多

C.该校2024届初三学生做一分钟仰卧起坐的个数和2023届初三学生做一分钟

仰卧起坐个数的中位数均在［50,60）内

D.相比2023届初三学生做一分钟仰卧起坐个数不小于50的人数占比，2024届

初三学生做一分钟仰卧起坐个数不小于50的人数占比增加

［解析］2023届初三年级学生做一分钟仰卧起坐的个数在［30,60）内的学生人数占

比为20%+25%+25%=70%,故A正确；

由于2024届初三学生人数较2023届上升了10%,假设2023届初三学生人数为

a(a>0),

则2023届初三学生做一分钟仰卧起坐的个数在［60,80］内的学生人数为0.2a,

2024届初三学生做一分钟仰卧起坐的个数在［60,80］内的学生人数为aX

(1+10%)x(34%+7%)=0.451a,

则0,451a>0.2ax2.2,故B正确；

2023届初三学生做一分钟仰卧起坐个数的中位数在［40,50)内，

2024届初三学生做一分钟仰卧起坐个数的中位数在［50,60)内，故C错误；

2023届初三学生做一分钟仰卧起坐个数不小于50的人数占25%+15%+5%=

45%,

2024届初三学生做一分钟仰卧起坐个数不小于50的人数占41%+34%+7%=

82%,因为82%>45%,故D正确.故选ABD.

11.某班为了了解学生每月购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个

9人的样本统计如表所示：

学生数平均支出/元支出平方的累加值方差

女生4工=115£*=53800225

i=l

304

7=106—£疗=57700

男生5

1=1

估计全班学生每月购买零食的平均支出的方差为期’.(精确到小数点后一位)

［解析］依题意，设女生每月购买零食的支出的样本为修，平均数为元=115；男生

每月购买零食的支出的样本为力,平均数为歹=106；男女生每月购买零食的支

出的平均数为2,方差为s2.

则，=4x+5y_4X115+5X106110,

99

45

又2g=53800,2W=57700,

i=li=l

191/4*5\1

所以s2=22932*+2W_no2=2x(53800+57700)-

9t=l9Vi=li=l'9

1102~288.9,

所以估计全班学生每月购买零食的平均支出的方差为288.9.

12.(双空题)已知在一次文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成

一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分：

小组A42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45.

小组8:55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47.

小组B的第75百分位数是67,从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组

是A组.

［解析］将小组B的数据进行排序得到36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,又12X

75%=9,

所以B小组的第75百分位数是"吧=67.

1

=—X(42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)工47,

sj=^X［(42-47)2+(45-47)2+•••+(45-47)2］«14.08.

玛=点X(55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)〜56,

sj=^X［(55-56)2+(36-56)2+…+(47-56)2］=139.

sj<sj,故4小组更像专业人士组成的小组.

应用情境练

13.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量久(单位：克)与

药物功效y(单位：药物单位)之间具有关系式y=9%--.检测这种药品一个批

次的6个样本，得到成分甲的平均值为5克，标准差为招，则估计这批中医药的

药物功效的平均值为1Z

［解析］设这6个样本中成分甲的含量分别为％I，%2，%3,…，%6,平均值为元,

222

则(%1—X)+(%2—%)+卜(久6—君之=+%24-----卜%6)—6%=6X

(⑹2=18,

所以好+%2+—H^6—168,

于是以+力+…+=9(%1+%2+•--+%6)-(%1+%2+-+瞪)=102,

则歹="+为+…+以=17.

6

14.已知甲、乙两班在我校举行合唱比赛中，7位评委的评分情况如下：

甲:78,78,88,X,80,95,96.

乙：76,80,82,y,91,93,96.

其中甲班成绩的中位数是81,乙班成绩的平均数是86.