2024-2025学年江苏省扬州市某中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市宝应中学高三(上)期初

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

l.sin(1050°)=()

2.已知集合4={%|2才一1>0},B={x\x2+2x-3<0},则408=()

A.(0,3)B.(0,1)C.(-3,+oo)D.(-1,+8)

TT

3.已知函数f(久)=ax-sinx(aeR),则“a=1”是“/(久)在区间(万,+8)上单调递增”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知/(久)=为奇函数，则m+?i=()

A.1B.2C,0D.-1

5.某圆锥母线长为1,其侧面积与轴截面面积的比值为2兀，则该圆锥体积为()

A--邪式pn

A-8RB.8rC--Dn-百

6.已知随机变量f〜N(2Q2),且P(f<1)=P(f>a),贝吐+台(0<久<a)的最小值为()

A.5B.当C样D.y

7.7知角a,0满足tcma=2,2sin^=cos(a+0)s讥a,则tan/?=()

A-|BlC.|D.2

8.已知/(%)及其导函数f'Q)的定义域均为R,记g(%)=/'(%)，5(5.5)=2,若/(%+1)关于％=-1对称,

g(2x+1)是偶函数，则。(-0.5)=()

A.-2B.2C.3D.-3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>0,b>0,a+2b=1,下列结论正确的是()

A.5+W的最小值为9B.a2+%2的最小值为*

C.log2a+log2b的最小值为一3D.2a+4b的最小值为2”

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10.已知函数/(%)=sin2a)xcos(p+cos2a%s讥9(3>0,0Vg<$的部分图象如图所示，贝！J()

B.3=2

TT

C./(%+%)为偶函数

TT1

D.f(久)在区间［0)7］的最小值为-5

11.Sigmoid函数S(x)=舟与是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网

络的激活函数.记s'(%)为Sigmoid函数的导函数，则()

A.S'(%)=S(x)[l-S(x)]B.Sigzno以函数是单调减函数

C.函数S'(x)的最大值是％D.引笺[S(k)+S(-k)]=2025

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-2,l),则cos(jr+a)=

13.已知正实数a,b满足ab—b+2=0,则5+3b的最小值是.

14.已知f(x)的定义域为(0,+8)且/(2)=2,对于任意正数比1，%2都有/(久1%2)=901)+。(%2)-1，且当

X＞拊，/(%)＞0,则不等式fO)W3的解集为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数f(x)=a-2，+上是定义域为R的偶函数.

(1)求实数a的值；

(2)若对任意工GR,都有/(%)＞吟二成立，求实数k的取值范围.

16.(本小题15分)

已知a=(2cos万%),b=(sin(x—^),1),设

23

TTTT

(1)Xe[适可时，求函数f(x)的值域;

(2)若配€[兽，争，且/'卷)=专求tan(2%o-瑞)的值.

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17.(本小题15分)

7T

如图，三棱锥P-4BC中，4ABe=2,AB=BC=2,PA=PB,。是棱4B的中点，点E在棱4C上.

(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选

取并证明(只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分)；

①平面P4B1平面4BC；

@DE1AC；

③PE1AC.

(2)若三棱锥P-4BC的体积为奈以你在(1)所选的两个条件作为条件，求平面PDE与平面PBC所成二面角的

大小.

18.(本小题17分)

在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通

过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后

决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者

对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，

败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(。<p<1),且不同对阵的结果相互独立.

(1)若p=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至

决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

19.(本小题17分)

已知函数9(久)—2Zn(—t—1)+cos(—1-2).

(1)函数/O)与g(X)的图像关于龙=-1对称，求/(X)的解析式；

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(2)/(比)—1Wax在定义域内恒成立，求a的值;

(3)求证:£'+"(＞1今1＜》4,nEN*.

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参考答案

1.5

2.B

3.5

4.2

5.B

6.D

7.B

8.A

9.AD

IQ.ACD

11.ACD

12等.

13.2m+7

14.(0,4]

15.解：(1)由偶函数定义知：/(-x)=/(%),

即。•2r+—^-7=a-2~x+2-2x=a-2X+2-Tx,

Zx1

(a-2)-(2x-2-x)=0对VxeR成立，a=2.

(2)由(1)得：/(x)=2(2'+2f)；

■.-2x>0,2(2、+2-x)>£2,.2r=4,

当且仅当2，=2f即x=0时等号成立，

,'1/(x)min=4,

...4>吟tl,即(3k-<0,解得：k<0或曰<k<L

KK3

综上，实数k的取值范围为(-8,0)U([l).

16.解：(1)因为a=(2COSX,^L~),b=(sin(%-§),1),

所以/(%)=a•b=Icosxsin(x—^)+乎=2cosx(^sinx—^-cosx)+岑

=sinxcosx—y/^cos2x+^=^sin2x—^-cos2x=sin(2x—

2，2J

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因为xG［„］，所以2久苫e［一静

所以sin（2x苫）e［-1,1］,

所以函数/（x）的值域为［―品］；

⑵因为/（£）=•!，所以sin（x（）苫）=今

因为配6既争,所以曲-宾箴］,

所以3（皿苫）=|,tang苫）=舞谓|=?

所以tan（2x°-抗）=含第号=言=一等

所以tan（2&—驾）=tan［（2xo_17r）+5］==匚誓=等

17.1?：（1）证明：选择①②，可证明③.

因为P4=PB,。是线段48的中点，所以PD1AB.

又平面P4B1平面4BC,平面P4Bn平面力BC=AB,且PDu平面P4B；

所以P。1平面4BC,又ACu平面力BC,所以PC1AC,

又DE1AC,PDCDE=D,PD,DEu平面PDE,

所以AC_L平面PDE,又PEu平面POE,所以AC1PE,

若选择①③，可证明②.

因为PA=PB,。是线段A8的中点，所以PD1AB.

又平面P4B1平面ABC,平面P4BC平面ABC=AB,且PDu平面P4B,

所以PO1平面4BC,又ACu平面4BC,

所以PD1AC,又PE1AC,PDCPE=P,PD,PEu平面PDE,

所以AC_L平面PDE,又DEu平面PDE,所以AC1DE.

选择②③，可证明①.

因为P2=PB,。是线段48的中点，所以PD1AB,

因为PE1AC,DE1AC,PD,PEu平面PDE,DECPE=E,

所以AC_L平面PDE,又PDu平面POE,所以PD1AC,

ABC\AC=A,AB,ACu平面ABC,

所以PD1平面ABC,又PDu平面PAB,

所以平面P4B1平面ABC；

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(2)如图，延长ED交CB的延长线于Q,连接PQ,

则平面PDEn与平面PBC=PQ.

由三棱锥P—ABC的体积为|,且"8C=7,

AB=BC=2,得|=*(1x2x2).PD,解得PD=1.

又由N28C=会及。是线段AB的中点，DE1AC,

在等腰直角三角形CEQ中，CE=|#,CQ=3,

连结CD,在Rt△CPD中，PD=1,CD=4，PC=心，

在等腰直角三角形BDQ中，BD=BQ=1,QD=也，

在Rt中，PQ=避,

在△CPQ中，由PC2+PQ2=CQ2,所以PC1PQ,

又由(1)知，CE1平面PDE,PE是PC在面PDE内射影，

由三垂线逆定理得：PE1PQ,

则NCPE即为二面角C-PQ-E的平面角，

CE-A/2R

sin.PE=m=/=号,

所以面PDE与面PBC所成二面角的大小为半

18.解：⑴若p=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①记“甲获得第四名”为事件4贝十(4)=(1—0.6)2=0.16；

②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,

则X的所有可能取值为2,3,4,

连败两局：P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,

X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；

P(X=3)=0.62+(1-0.6)X0.6x(1-0.6)+0.6X(1-0.6)x(1-0.6)=0.552,

P(X=4)=(1-0.6)X0.6X0.6+0.6X(1-0.6)X0.6=0.288,

故X的分布列如下：

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X234

P0.160.5520.288

故数学期望E(X)=2X0.16+3x0.552+4x0.288=3,128,

则甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望为3.128；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至

决出最后的冠军，

“双败淘汰制”下,甲获胜的概率P=p3+p(l-p)p2+(l-p)p3=(3-2p)p3,

在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2,

由(3-2p)p3—p2=p2(3p-2P2—1)=p2(2p—且0<p<1,

所以pGgl)时，(3-2p)p3>p2,“双败淘汰制”对甲夺冠有利；

VG竭)时，(3—2p)p3<p2,“单败淘汰制”对甲夺冠有利；

pW时，两种赛制甲夺冠的概率一样.

19.解：(1)依题意，设/(尤)图像上任意一点坐标为(曲,火)，

则其关于％=-1对称的点(-2-在g(%)图像上，

则yo=/(%o)=9(—2—汽o),则f(%o)=g(-%o-2)=2Zn(x0+1)+cosxQ,(X0>T)

故/(%)=2Zn(x+1)+cosx,(%>—1)；

(2)令九(%)=/(%)—1—ax=2Zn(x+1)+cosx—l—ax,(%〉—1),

则在h(%)4o在％e(-1,+8)恒成立，

又h(0)=0,且h(%)在％€(-1,+8)上是连续函数，贝!J%=0为h(%)的一个极大值点，

2

〃(％)=+^—sinx—a,"(0)=2—a=0=a=2,

下证当a=2时，h(x)<0在X6(-1,+8)恒成立，

1