2025高考数学一轮知识清单：集合与常用逻辑用语（含解析）

专题01集合与常用逻辑用语

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

「（元素的三大特性：确定性、无序性、互异性）

《元素与集合的关系：属于、不寿）透01判麻索与集合土系

知识点一集合）整02筠—然

■（集合的表示法：列举法描述法、图示法）朝03集合中元素的恃性

型04集钿

T〔甫用数集的记法与关系图〕

集合A中所有元素都是集合B的元素

集合甚吾*祥

MTS：A型01强

o知识点二集合间的基本关系且集合B中至少有一个元翥不JS于A罐02判雌合与集合间的关系

合：集丽、毗元六例百年03根嶷合之间的关系求参数

空集：不含朝元,集合

一集合的交集

壁01集合的3&件除合运算

「集合交并补运算的表示」--「集合的并集辘02

集合常用逻辑用语—（o知识点三集合的基本运算）壁03集合在场问题中的应用

翅04韦霁

型05集合的腕义问题

充要条件的定员

o知识点四充分条件与必要条件迹01充分条件与必要条件判断

耀02雄必《^^

充要条件充要条件的含义：P是q的充要条件，q也是P的充要条件

充要条件的等价说法：q成立当且仅当P成立

小星词：短语■■所有的,•任意二F辱

的星词命题：含有翎展词山藕]

型01含有命震的否定

锂02根据全村词命酰真辕求参数

—fO知识点五全称量词与存在量词）--强痂词：霞・g£f•妙有一个•等）

K------------------------------------------------------------/---------------------L存在星词命瑟含有存在星词的命题「壁03根据序连词命题的亮段求参数

-命题的否定

口说盘点・查福讣与

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或e表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或3卫Ao

元素(xeA贝!1xeB)

或

基本

集合A是集合B的子集目集合B

关系真子集AtTB或3寸A

中至少有一个元素不属于Ao

相等集合A,8的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

图形语言碇0©

符号语言A\JB=|x|xGA,GAQB=^x\xGA,且xGQ^A=^x\xA1

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AU8=A=8UA.

(2)交集的性质：AP0=0；AHA=A；AAB=BnA；AHB=A^AQB.

(3)补集的性质：AU([⑷=U；AC([四=。.[成附=A；

C[/(AUB)=(Cc4)n(Cc/B)；[MAnB)=([uA)U([M).

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若P，则q”为真命题“若P，则4”为假命题

推出关系p0qp*q

P是9的充分条件P不是9的充分条件

条件关系

q是P的必要条件q不是p的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

(1)充要条件的定义

如果喏p,则4”和它的逆命题“若4,则，'均为真命题，即既有，nq,又有qnp,就记作poq.

此时，p既是q的充分条件，也是9的必要条件，我们说"是q的充分必要条件，简称充要条件。

(2)充要条件的含义

若P是4的充要条件，贝必也是P的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

(3)充要条件的等价说法：〃是9的充要条件又常说成是q成立当且仅当p成立，或。与“等价。

知识点5全称量词与存在量词

1、全称量词与全称量词命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“V”表示.

【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

符号表示：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表

示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立"可用符号简记为以6”,P(同

【注意】(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；

(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

2、存在量词与存在量词命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“三”表示.

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

(2)存在量词命题：含有存在量词的命题,叫作存在量词命题。

符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使〃(x)成立"可用符号简记为

【注意】(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；

(3)有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题

3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“力”，读作"非"'或p的否定.

(1)全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“VxeMq(%)”的否定是存在量词命题：入eKF⑴.

(2)存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“3x^M,q(x)”的否定是全称量词命题：於eM,(x).

(3)命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

（4）常见正面词语的否定：

正面词语等于（=）大于（>）小于（<）是都是

否定不等式（牛）不大于（<）不小于（>）不是不都是

正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个

否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个

X聿点突破,塞分•必拓

重难点01已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值.

（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；

（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.

【典例1］（23-24高三上•广东惠州•月考）集合A=LeR^^>oL若3eA且—1e4,贝山的取值范围

为（）

A.a<3B.a<—\C.tz<3D.-\<a<3

【典例2］（23-24高三下•江西・月考）已知A=-依+14。},若2e/,且3eA,则。的取值范围是（）

重难点02利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若

且A中含参数应考虑参数使该集合为.空集的情形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取值范围.

常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

【典例1】（2024•陕西西安三模）设集合A={O,1},B=若贝心=（）

A.2B.3C.1D.1或2

【典例2】（2024•黑龙江•二模）已知4={%仆（%-1）<0},3=何10氏*44，若则实数。的取值范围

为（）

A.[0,+(»)B.[1,+co)C.(0,1]D.

重难点03根据集合运算的结果确定参数的取值范围

法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.

法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；

（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.

【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“="；（2）千万不要忘记考虑空集。

【典例1】（2024.重庆・模拟预测）设集合A={l,—2—a,—2-2a},B=若=贝1］。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【典例2】（2024.重庆・模拟预测）已知集合人={小2-2尤一3＞0},B={^（x-a）（x+2）＜0）,若AU3=R，

则«的取值范围为（）

A.（3,+oo）B.［3,+oo）C.（-1,3）D.（-«）,-1）

重难点04利用充分必要条件求参数的策略

1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于

参数的不等式（不等式组）求解；

2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。

【典例1］（23-24高三上•上海松江•期中）已知-2x-8＜0,q:l-。〈尤＜2“-3,且P是夕的充分不必要

条件，则实数。的取值范围是.

V-L4

【典例2］（23-24高三上・江苏扬州・月考）（多选）若“勺＞0”是“左。＜%+2”的必要不充分条件，则实数

x-1

上可以是（）

A.-8B.-4C.0D.4

重难点05根据全称（存在）量词命题的真假求参数

1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立

等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；

2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参

数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词

命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。

2

【典例1]（2024・四川.模拟预测）已知命题“Vxe[1,4],eT---m>0”为真命题，则实数机的取值范围为（）

A.（-co,e-2]B.[-oo,e4--C.[e-2,+co）D.e4--,+co|

【典例2]（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•期末）已知命题：为假命题，则实数。的取

值范围是（）

A.2,—1）5。收）B.（-1,0）C.[-1,0]D.（-1,0]

法技巧・1g塞学霸

一、子集的个数问题

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2"个.（2）A的非空子集的个数有2"—1个.

（3）A的真子集的个数有2"—1个（4）A的非空真子集的个数有2"—2个.

【典例1】（2024.浙江.二模）已知集合加={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若M=A=N,则满足集合A的个

数为（）

A.4B.6C.7D.8

【典例2】（2024•全国•一模）已知集合4={0,1,2},B=卜b=可-^+3以，则AcB子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、判断集合与集合的关系

判断集合间关系的常用方法：

1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；

2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

断集合间关系；

3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。

【典例1】（2024•云南贵州•二模）已知集合4="€2|。4了44},B={O,1,2,3,4,5},则（）

A.AUBB.A=BC.AeBD.B=A

2

【典例2】（2024高三.全国•专题练习）已知集合人={》|龙>TxeR},B={x|x-x-2>0,%eR）,则下列关系

中正确的是（）

A.A^BB.疫RBC.AnB=0D.A\JB^R

三、韦恩图的应用

元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象,

也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。

【典例1]（2024•山西长治•一模）已知集合4=卜产+2彳-8<0},8={尤闷42},。=1<,则图中阴影部分表

示的集合为（）

C.[-2,2)D.[-2,2]

【典例2】（2024.河北邢台.二模）下列集合关系不成立的是（）

A.A\JA=AB.AQ0=0

C.（板）c（=D.Oe0

四、集合新定义问题

在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓

住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过

程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。

【典例1】（2024•贵州黔东南•二模）若对任意xeA,-eA,则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子

X

关系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【典例2]（23-24高三下•甘肃・月考）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）

的非空子集4,4,…，4,eN*KN2）,且满足AU^ULUAk=U,那么称子集组…,从构成集合U

的一个上划分.若集合/中含有4个元素，则集合/的所有划分的个数为（）

A.7个B.9个C.10个D.14个

五、充分条件与必要条件的判断

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假；（3）得出结论.

2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；

3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。

【典例1】（2024•江西南昌・二模）已知集合A={疝n掇0},B={x|2*2）,则“xeA”是“彳e3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例2】（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知命题p集合A={x，+x-2>0},命题g集合

3={XM+2X-3>0},则p是勺的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

X笏速笏错・联券用转

易错点1对集合表示方法的理解存在偏差

点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素

类型（点集或者数集）及代表元素的含义。

【典例1X23-24高三下.江西吉安•期中）已知集合”=b€?4*-2凄3},N={小=2-1,则HcN=（）

A.{0,1,2,3}B.（0,3]C.[0,3]D.{1,2,3}

B=\xy=/6,[,则=(

【典例2】（2024•湖北•模拟预测）已知集合4=卜卜=卜-1,卜+2|},)

A/10-X2

A.(A/10,+OO)B.[3,啊C.[3,^o)D.(-710,3]

易错点2忽视（漏）空集导致错误

点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往

往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。

【典例1】（2024・重庆•模拟预测）设若A={x|（e-2）（x+2）=0},3={x|"—1=0},则4口8=8,实数。

的取值集合为（）

A.j-plog2elB.C.{log2e}D.jo,-1,log2el

【典例2】（2024•全国•模拟预测）已知全集"=11,集合人=卜司40,8={即x+2]<3}.若=

则a的最大值为

易错点3忽视集合元素的互异性

点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。

【典例1】（2024内蒙古呼伦贝尔•二模）已知集合4={1,。},3={2,叫，若Aug中恰有三个元素，则由

。的取值组成的集合为（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

【典例2】（2024高三.全国•专题练习）已知集合4={0,相加-3血+2},且2e/,则实数机为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

易错点4判断充分性必要性位置颠倒

点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。

【典例1】（2024.新疆.二模）使“工＞1”成立的一个充分不必要条件是（）

X

A.x>0B.0<x<—C.OvxvlD.0<x<2

2

【典例2］（23-24高三上.天津南开.月考）若无，yeR则“x＞y”的一个必要不充分条件可以是（）

A.2f>0.5B.x2>/C.->1D.2r>2

--y

易错点5对含有一个量词命题的否定理解错误

点拨：对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题

变为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。

【典例1】（2024•贵州遵义•一模）已知命题。:也＞1,In尤＞』-二，则「？为（）

33兀

।,11,11

A.V%>1,Inx〈------B.3x<l,lnx<---------

33x333x3

,11।11

C.3x<l,lnx<--------D.3x>l,lnx<--------

33x333x3

【典例2］（23-24高三下•山东荷泽•开学考试）命题log?/〉。”的否定为（）

22

A.Vx<-1,log2x<0B.Vx>-1,log/〉。

22

C.3x>-l,log2x>0D.Bx<-1,log2x<0

专题01集合与常用逻辑用语

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

思维构建­耀蓿际绐

元素的三大特性：确定性、无序性、互异性）

/~———-（元案与集合的关系：属于、不属于〕壁01判麻筠集合蝮系

迹02根期却集合维。参数

_（知识点一集合y）/一

X__o________________z-C集合的表示法：列举法、描述法、图示法x）凝03集合中建的特性

凝04集合的砺方法

Y：甫用数集的记法与关系图）

子集：集合A中所有元素都是集合B的元素

麦子集：集合合的子集，

A"B避01子靠直子弟5个数问垣

一O知识点二集合间的基本关系且集合B中至少有一个元素不属于A壁02判侬合与集合间的关系

相等集合：集合A、麻元素完全相同翅03较鼬宫

空集的集合

-「合的交集

朝01集合的崎।绘合运算

「［集合交并补运算的表示:--集合的并集壁02根建舍的

集合常用逻辑用语—（。知设点三集合的基本运算）L（集避03集合在场逾中的应用

壁04韦霁SSCLffl

L1集合运算中的常用二^g）凝05集合的新定义问题

「充分条件与必要条件

O知识点四充分条件与必要条件强凝01充分条件与必要条件判断

充要条件充要条件的含义：堤q的充要条件，瓦基p的充要条件整02/必

充要条件的等价说法：q成立当且仅当P成立

［全称垦词：短语你有的“任意-r等］

全称星词命题一

筋量词命题：含有曲量词的命题

型01含有词的命垣的否定

—（［O知识点五全称量词与存在量词存在星词：短语・存在f.至少有一个噂朝02根据全特母词翁霞宾曲求参数

型03

)Y存在星词命题：含有存在星词的命题

命题的否定

口说盘点・查福讣与

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或e表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*(或N+)ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集或3卫A

基本元素（尤eA贝!jxeB）O

或<B(A[>

关系

集合A是集合B的子集且集合B

真子集AU3或BVA

中至少有一个元素不属于AO

相等集合A,8的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

d0

图形语言近)

符号语言AlJB={%卜GA,GAp\B=|x|xGA,且xe6A={x\x

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；=

(2)交集的f蝴：ACI0=°；AAA=A；AAB=BHA；AHB=A=A=8.

(3)补集的性质：AU([uA)=U;AC([以)=。.UCt/A)=A；

[MAUB)=(d网；=.

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若P，则为真命题“若P，则4”为假命题

推出关系