2024-2025学年浙教版七年级数学上册专项复习：绝对值的化简7大压轴题（原题版）

绝对值的化简

目录

解题知识必备....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

类型一、根据数轴位置化简绝对值................................................................2

类型二、根据字母取值范围化简求值..............................................................2

类型三、利用非负性化简绝对值..................................................................2

类型四、定义新运算的绝对值化简................................................................2

类型五、绝对值方程.............................................................................3

类型六、分类讨论化简绝对值....................................................................3

类型七、几何意义的绝对值化简..................................................................4

压轴能力测评....................................................................4

X解题知识必备8

1.绝对值的意义

绝对值：数轴上表示数。的点与原点的距离叫做。的绝对值，记作时.

2.绝对值的性质

a,a>0

绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性同NO,即：同=0,4=0.

-a,a<0

互为相反数的两个数绝对值相等.

3.绝对值与数的大小

1）正数大于0,0大于负数.

2）理解：绝对值是指距离原点的距离.

所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大.

♦♦压轴题型讲练”

类型一、根据数轴位置化简绝对值

例1.如图，将实数a、b表示在数轴上，则下列等式成立的是（）

---------1-------------1------1--------->

a0b

A.\a\=aB.\b\=—bC.\b-a\=b-aD.\a+b\=ab

变式有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-b|——

]_____।___।_______।______

ab0c

变式1-2.已知a、b、c的大致位置如图所示:化简|a+c|+|b-c|-|a-b|+2b.

baQc

类型二、根据字母取值范围化简求值

例2.已知9WaW10,3WbW4,代数式阿一可+—的最小值为.

变式2-1.若3<a<10,那么|3—a|+|a—10|=.

变式2-2.已知有理数a<—l,则化简|a+1|+|1—可的结果是.

类型三、利用非负性化简绝对值

例3.若a、b、c是整数，且|a++c|=1,则|a—c|=.

变式3-1.已知整数久、y、z满足+，一刀尸=1，则|久一z|—|z—y|—|y-久|的值为.

变式3-2.己知m,n,p为有理数，若—n+p|=m+n+p,且n40,则+?i+p+4|—|—2—九|的

值为.

类型四、定义新运算的绝对值化简

例4.数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如I/—冷1在数轴上表示数打，相对应的点之间的

距离.现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对

-1,1,2进行“H运算”,得|—1—+1—2|+|1—2|=6.下列说法：

①对小，一1进行““运算”的结果是3,则小的值是一4；

②对九，-3,5进行“H运算”的结果是16,则n的取值范围是一3<n<5；

③对a,a,b,c进行““运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

变式4-1.在多项式a—6—c—d（a<6<c<d<0）中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两

个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝

对操作”，例如：|a—6|+c+d=—a+b+c+d,|a+—|c+d|=-a—b+c+d…下列说法中正确的

有（）

①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果.

A.0个B.1个C.2个D.3个

变式4-2.在多项式a—b+c—d+e（其中a>b>c>d>e>0）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号

内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去

绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”.\a-b+c\+\-d+e\=a-b+c+d-e,a-b+\c-d\

+e=a—b+c—d+e...,下列说法正确的个数是（）

①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等；

③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果.

A.0B.1C.2D.3

类型五、绝对值方程

例5.适合|3a+7|+|3a—5|=12的整数a的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

变式5-1.若方程|x+2|+|—x—4|=爪无解，则加的取值范围是（）

A.m>2B.m>2C.—4<m<—2D.m<2

变式5-2.若关于光的方程|x—3|—|x—5|=a有唯一解，贝b的取值范围是.

变式5-3.已知a,b,c都为整数，且|a—b\2012+|c-a|2013=1,则方程因—x+\a—b\+\a-c\+\b—c\

的解为.

类型六、分类讨论化简绝对值

例6.若1<%<2,求代数式号―9+区=

变式6-1.已知a为任意有理数，则|a+3|+3|a+5|+2|a—7|的最小值为

变式6-2.若协40,a+b^0,则应+培+怨+怨1=

ababa+b-----

类型七、几何意义的绝对值化简

例7.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的

内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道，|可可以理解为|a—0|,它表示：数轴上表示数a的点到原点

的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点4、B,分别用数a、b表示,那么4B两点之

间的距离为4B=|a—b|,反过来，式子|a—川的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距

离.

若数轴上点4表示数a,请回答下列问题：

(1)如果|可=5,那么a的值是；

(2)如果|a-3|=5,那么a的值是；

(3)满足|a+2|+|a-3|=5整数a有个；

(4)如果|a+2|+|a—3|=8,那么a的值是；

(5)|a+11+|a+21+|a+31+\a+4|+|a+51的最小值是.

变式7-1.同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所

对应的两点之间的距离.

试探索：

(1)求|5—(—2)|=.

(2)找出所有符合条件的整数均使得|久+5|+|x—2|=7这样的整数是.

(3)由以上探索猜想对于任何有理数式，|x+3|+|x—6|是否有最小值？如果有写出最小值(请写清楚过程),

如果没有说明理由.

变式7-2.数学实验室：定义：点4、B在数轴上分别表示有理数a,b,4B两点之间的距离表示为力B,在

数轴上力、B两点之间的距离AB=\a-b\

AB

—1--------1-------------------L——

a0b

利用数形结合思想回答下列问题：

⑴数轴上表示1和一4的两点之间的距离是；

(2)若无表示一个有理数，则|久一2|+|%+3|的最小值=.

(3)若x表示一个有理数，且阿+1|+—3|=8,则满足条件的久的值为；

X压轴能力测评8

1.在多项式a+b+c+d中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k(2WkW4)项，并把绝对值符

号内最右边项的“+”改为“一”，称此为“添加操作”，最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为r.例

如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d,此时k=2.再将“+6”改为“一6"，可得|a—b|

+c+d.于是同一种“添加操作”得到的T有2种可能的情况：T=a-6+c+d或7=-a+b+c+d.下列

说法：①若k=4,T=0,则£/=口+6+3②共有3种“添加操作”，可能得到？=£1+6—c+d；③有且仅

有一个人值，使7中可能有2个“一”，其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.在a,b,c,d,e,f,g,八中，每个字母的值恰好是一3,0,1这三个数值中的一个，若

a+b+c+d+e+f+g+h=-2,则|可+网+|c|+|d|+\e\+|/|+\g\+\h\=.

3.己知回+a=0*=—l,|c|=c,化简：|a+2b\—\c-a\+\—b-a|=.

4.有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|—|c+b|+|b—a|=.

]I]I

cb0a

5.阅读下列材料并解决有关问题：

x(%>0)

0；(x=0)现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，

{—%,(%<0)

如化简代数式|x+1|+比一2|时,可令X+1=0和%-2=0,分别求得久=-l,x=2(称一1,2分别为+1|

与|久一2|的零点值).在有理数范围内，零点值x=-1和，x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如

下3种情况：(1)久<—1(2)-1<%<2(3)%>2.从而化简代数式|x+l|+上一2|可分以下3种情况：

(1)当％<—1时，原式=—(%+1)—(x—2)=-2x+1；

(2)当一1<%<2时，原式=%+1—(%—2)=3；

(—2%+1,(%V—1),

(3)当％Z2时，原式=%+1+%—2=2%—1.综上所述，原式={3,(—1<x<2),

I2%-1,(%>2).

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出|%+2|和口一4|的零点值;

(2)化简代数式|%+2|+|x—4|；

(3)求方程：。+2|+|%—4|=6的整数解;

6.(1)探索材料(填空)：

数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|zn-川.例如数轴上表示数2和5的两点距离为|2-5|=3；

AB

图1

III_______

ABC

图2

IIII

ABCD

图3

①数轴上表示数3和—1的两点距离为|3—(—1)|=_；

②则氏+4］的意义可理解为数轴上表示数_和_这两点的距离.

(2)实际应用(填空)：

①如图1,在工厂的一条流水线上有两个加工点/和瓦要在流水线上设一个材料供应点尸往两个加工点

输送材料.才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；

②如图2,在工厂的一条流水线上有三个加工点B,C,要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工

点输送材料.才能使尸到/，B,C三点的距离之和最小；

③如图3,在工厂的一条流水线上有四个加工点4B,C,D,要在流水线上设一个材料供应点尸往四个

加工点输送材料一才能使尸到4B,C,。四点的距离之和最小.

(3)结论应用(填空)；

①代数式|x+3|+|久一4|的最小值是；

②代数式|x+6|+|x+3|+|%—2］的最小值是；

③代数式|x+7|+|x+4|+氏一2|+比一5|的最小值是.

7.阅读信息：

信息一：|x—y|的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离.例如|3—1］的几何意义是3

与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

信息二：对于有理数a,b,n,d,若|a—2九|+—2n|=d,则称。和6关于〃的“双倍关系值”为1.例

如，|6-2|+|3-2|=5,则6和3关于1的“双倍关系值”为5.

根据以上信息回答下列问题：

⑴—3和5关于2的“双倍关系值”为.

⑵若0和3关于1的“双倍关系值”为4,求a的值；

(3)若劭和的关于1的“双倍关系值”为2,由和a?关于2的“双倍关系值”为2,。2和关于3的“双倍关系值，

为2,…,。20和。21关于21的“双倍关系值”为2.

①+的的最大值为；

②a1+«2+a3++。20的值为(用含a°的式子表示).

8.华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.

【知识储备】

点M、N在数轴上分别表示有理数加、"，则M、N两点之间的距离可表示为|m—n|.

【初步运用】

(1)数轴上表示3与一4的两点之间的距离为；

(2)已知数轴上某个点表示的数为x.

①若|x—l|=2,则尤=；

②若|x+3|=|x—5|,贝卜=:

【深入探究】

(3)如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点/、B、C表示的数分别为a、b、c.

7R

ABC

abc

®\a-b\+\b-c\=；

②若|b—2al=4,则点C表示的数为；

③若该数轴上另有两个点P、Q,它们分别表示有理数p、q,其中点Q在线段4。上，当|p—a|+|p—c|=8

且均一a|+|q—+|q—c|最小时，P、Q两点之间的距图为.

9.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想

方法.在数轴上点4、8分别表示数a、b.2、B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对

值可以计算4、8两点之间的距离|ZB|.

例如：当a=2,b=5时，=5-2=3；

当a=2,b=-5时，\AB\=|-5-2|=7；

当a=-2,b=-5时，\AB\=|—5—(—2)|=3.

综合上述过程，发现点/、B之间的距离=|b—可(也可以表示为|a—b|).

请你根据上述材料，探究回答下列问题：

(1)表示数a和一2的两点间距离是6,则。=；

(2)如果数轴上表示数a的点位于一4和3之间，则|a+4|+|a—3|=；

(3)代数式|a-l|+|a-2|+|a-3|的最小值是多少?

(4)如图，若点/、B、C、。在数轴上表示的有理数分别为a、b、c、d,则式子|a—%|+|%+b|+|%—c|十

|%+矶的最小值为(用含有a、b、c、d的式子表示结果).

ABCD

--------------------•-------•—