2025年高考数学一轮复习：数列的递推关系与通项-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-数列的递推关系与通项-专项训练

一、基本技能练

1.已知数列｛m｝的首项ai=2,其前n项和为Sn,若Sn+l=2Sn+l,则07=.

2.已知数列｛m｝的前〃项和为的，ai=l,Sn=n2an(n^),则数列｛或｝的通项公式

为.

3.已知正项数列｛a〃｝胸足=2,a”+i=q£,则.

4.数列｛外｝的首项ai=2,且a”+i=3丽+2(〃©N*),令氏=log3(a”+l),则bn=

5.在数列｛小｝中，bi=-l,5+1=菰工，〃GN*,则通项公式及=.

6.在数列｛。〃｝中，ai=l,=1+ln3(九三2),则数列｛丽｝的通项a”二—.

7.已知数列｛a"｝满足:<71=1,42=3,斯+2=丽+1+2诙.某同学已经证明了数列

｛诙+1—2词和数歹!]｛诙+1+如｝都是等比数歹!],则数列｛板｝的通项公式是an=

=

8.已知数列｛a”｝,｛况｝胸足ai=5，斯+瓦=1,bn+i,~~则62023=_________.

L1dn

9.已知数列｛m｝的前n项和S”满足2S〃一w“=3〃(〃GN*),且53=15,则5io=

10.已知数列｛a〃｝满足的+1=2丽一〃+1(〃©N*),m=3,则数列｛服｝的通项公式为

11.数列｛圆｝满足a〃+i=3a”+2"+i,<71=—1,则数列｛斯｝的刖〃项和S”=.

12.已知在数列｛如｝中,ai=l,公=2,an+i=2an+3an-i,则｛如｝的通项公式为

二,创新拓展练

13.(多选)已知数列｛或｝满足m=l,寿+1=不普一(〃©N*),则下列结论正确的是

/十3Q，n

A4+31为等比数列

[UnJ

8.｛外｝的通项公式为外=/与

C.｛斯｝为递增数列

n+2

D.；的前n项和Tn=2-3n-4

[Cln]

14.（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状,

后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有

6个球，……，设各层球数构成一个数列｛斯｝,则（）

A.Q4=12B.Q〃+I=。及+〃+1

C.6/IOO=5050D.2Q〃+I•。及+2

15.（多选）已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中

第一项是2。，接下来的两项是2。，21，再接下来的三项是2。，21，22,依次类推，

第九项记为或，数列｛飙｝的前几项和为S”则（）

A.<760=16B.Sis=128

C.a七型=2『iD.SI^+k=2k-k-l

22

7。一2

16.已知数歹U｛外｝满足ai=3,。”+1=1^方，则该数列的通项公式4'=1.

参考答案与解析

一'基本技能练

1.答案96

解析因为5«+1=2Sn~\~19

所以S=2S仆1+1（〃三2）,

两式相减得cin+1=2斯（〃三2）,

又因为ai=2,S2=ai+。2=2〃1+1,

得42=3,

所以数列｛斯｝从第二项开始成等比数列,

2,n=1,

因此其通项公式为Z=<

32〃一2,九22,

所以47=3X25=96.

2

2.答案(〃+1)(心*)

解析由的="2aH可得，

当〃22时，Sn-i=(n~l)2a«-i,

则。〃=Sn—Sn-1=dn—(H—1)%八_1,

即("-1)〃“=(〃-1)2斯_1,

Clnn-1

故‘

Cln—1n~\-1'

dnCln-\Cln—2〃3〃2n~\n~2n~32

所以。〃=

Cln-1dn-2Cln-3须严=〃+l—1•…4学1=〃5+1),

2

当n=l时，tzi=l满足an=n(n+1)-

故数列｛飙｝的通项公式为

2_*

a=一//、,〃£N.

nn（〃十1）

3.答案22L”（〃GN*）

解析将。〃+1=4£两边取以2为底的对数得Iog2««+1=1log2a«

...数列｛log2Z｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

(lyi—1

故log2a"=ixgj=21"，

2n

即an=2^(〃©N*).

4.答案n(neN*)

解析由。"+1=3或+2(咒©]\")可知。"+1+1=3(。"+1),

又a1=2,知dn+1W0,

所以数歹1｛诙+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

因此如+1=十3"一1=3",

故b”=log3(a“+l)=〃.

5.答案3匕(〃©N*)

A

解析由a+1=4人且Z?l=-1.

3仇十2

一12

易知瓦W0,得—=v~+3.

bn+\On

因此六十3=283)，/+3=2，

故/+31是以2为首项，2为公比的等比数列，于是»3=2.2"r,

可得用=2“，,nGN*.

6.答案(l+ln3>2G—33(〃WN*)

解析由。〃=2斯—i+ln3得

即+ln3=2(。九一1+ln3),

贝1]｛z+ln3｝是以l+ln3为首项，2为公比的等比数列，

所以a〃+ln3=(l+ln3)・2"一'

因此z=(l+ln3)・2『i—In3(〃£N*).

n+1nx

7rA-2—(—1)~

7.答案-----3-----------(〃QN*)

角军析因为。〃+2=。九+1+2Q〃，

所以当n=l时，Q3=O2+2QI=5.

令及=。〃+1—2。〃,则｛瓦｝为等比数列.

又bi=Q2-2ai=1,岳=。3—2。2=—1,

所以等比数列｛况｝的公比q=^=-l,

所以况=(—ILI

即。〃+1——2。〃=(——1)〃—1.①

令Cn=an+l+an9则｛品｝为等比数列，

CI=“2+QI=4,02=03+02=8,

所以等比数列｛c〃｝的公比qi=，=2,

所以c〃=4X2"-1=2"+1

即。7+1+的2=2"+1.②

2"+i—(―1)厂1

联立①②，解得诙=

3

2023

.答案

82024

解析因为如+瓦=1,况+尸广

所以]—斯+1=(1——)(1+一)

1_____帆

Cln+l~

11+斯1+4〃'

Cln+1

所以数歹是等差数列，其公差为1,首项为;=2,

[ClnjCl\

所以工=2+(〃-1)*l=n+l,

]

所以

n~\~1'

所以bn=几十],

2

所以历。23=然0:23.

9.答案120

解析当n=1时，251—QI=3,

解得〃i=3.

又2Sn—nan=3n,①

当时，

2Sn-i—(n—l)an-i=3(n—1),②

所以①一②得

(n——(n—2)为=3,③

当nN3时，(n—2)a〃—2—(n—3)"一1=3,④

所以④一③得

(n——(n-2)t/n=(n-2)。〃—2—(n-3)。-i,

可得2a“-1=a”+a〃-2,

所以数列｛劣｝为等差数列，设其公差为d

因为ai=3,S3=3ai+3d=9+3d=15,

解得d=2,

,10X9

故LL5io=lOX3+^—X2=120.

10.答案a“=2"+〃(〃GN*)

解析•。〃+1=2。〃—n~\~1,

/•an+i—(n+l)=2(a〃一n),

.斯+i-(-+1)_

••2,

an-n

数歹Hz—〃｝是以ai—1=2为首项，2为公比的等比数歹L

*••cin—"=2,2n1=2",

••・z=2〃+〃(〃£N*).

11.答案号―2"+2+|(〃©N*)

角星析:a〃+i=3a〃+2"+i,

.dn+l3an..

—2n+1=方+1

,,•得+2=1住+2),

数歹僧+21是以段+2=|为首项，|为公比的等比数歹,

n

•遂+2=|x13|.

2

nn+l

：.an=3-2,

3一3〃+iA一2〃+23〃+i5

.,.5=(31+32+-+3n)-(22+23+-+2n+1)=--z——z-=-z—2n+2+^

n1JJ.z/乙

(〃GN*).

3n—(—1)n

12.答案以=二——(〃GN*)

解析•+i=2。〃+3Q〃-i,

••Cln+l+。九=3(。几+。及-1)9

・•・｛斯+1+诙｝是以及+。1=3为首项,3为公比的等比数列,

・'・。〃+1+。〃=3X3〃i=3".①

又an+i—3an——(an—3。”一1),

:.｛斯+i—3an｝是以(22—3al=-1为首项，―1为公比的等比数列，

"+i—3。〃=(—1)X(一1尸=(—1)〃，②

由①一②得4z=3〃一(一1)〃，

3」(-1)«

・•・an=-----4-------伽金N)

二、创新拓展练

13.答案ABD

l、/12+3。〃2,

角牛析因为="=7+3,

a九+1an

所以」一+3=2七+3),

Cln+1\ClnJ

又工+3=4W0,

a\

所以1:+3；是以4为首项，2为公比的等比数列，

yClnJ

所以£+3=4X2"1,则<2"=2：+1_3,

所以｛板｝为递减数列，

23

工的前n项和4=(22—3)+(23—3)H-----|_(2«+1—3)=2+24-----卜2〃揖-3〃=

[Un)

4(1—2")

--一丁一一3〃=2"+2—3〃-4,故ABD正确.

14.答案BC

解析由题意知，(21=1,<22=3,<23=6,…，an=an-i+n,

口n(n+1)

故an=2，

.4X(4+1)LL皿、口

••Q4=2=10,故A4日块；

斯+1=〃〃+〃+1,故B正确；

QIOO=2=5050,故C正确；

2飙+1=(几+l)(n+2),

n(n+1)(n+2)(n+3)

Cln.+2=9

显然2斯+i故D错误.

15.答案AC

解析由题意可将数列分组:

第一组为2。，

第二组为2°,21,

第三组为2°,21,22,

k（1

则前左组一共有1+2+…+左=.，个数.

第左组第左个数为2-1,

故在2+后=2广1,所以C正确.

2

因为出（:+】）=55,所以「史

-11X(11+1)

又一2-=66,

则。60为第11组第5个数，第11组为2°,21,22,23,24,25,26,27,28,29,

210,

故060=24=16,所以A正确.