计数原理与概率统计 题型专练-2025届高三数学一轮复习

计数原理与概率统计

1.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是

棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：[5,10）,[10,15）,[15,20）,[20,25）,[25,30）,

[30,35）,[35,40]（棉花纤维的长度均在[5,40]内），绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求。的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代

表）；

⑵估计棉花纤维的长度的75%分位数.

2.某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单

位：cm）,制作成频率分布直方图如图所示.

（1）求这100名同学的平均身高的估计值（同一组数据用区间中点值作为代表）；

（2）用分层抽样的方法从[165,170）,[170,175）,[175,180）中抽出一个容量为17的样本，如

果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人；

（3）估计这100名同学身高的上四分位数.

3.国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明

显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不

断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活

垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：

年份20132014201520162017201820192020

年份代码X12345678

垃圾焚烧无害化

166188220249286331389463

处理厂的个数y

（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用

相关系数加以说明（精确到0.01）；

（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；

⑶对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预

测吗？请简要说明理由.

:仁一可（％-9）

参考公式：相关系数r=I丁“,回归方程9=%+6中斜率和截距的最小二

一寸:£（/一于

JViz=iai=i

f（%-元）（y-歹）

乘法估计公式分别为3=J-----------------,a=y-bx

可之

i=l

8888

2

参考数据：Zy=2292,ZX；=204,730348,工玉％=12041,573-328329,

z=lz=li=\z=l

而？土10.25,J7369-85.84

4.某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得

到如下的2x2列联表:

觉得交通拥堵觉得交通不拥堵合计

燃油车车主302050

新能源车车主252550

合计5545100

（1）将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车

车主”为事件A，“抽取到新能源车车主”为事件4，“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事

件用,“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件员,计算P(4|A),P(4|4),比较它们的

大小，并说明其意义；

(2)是否有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关?将分析结

果与(1)中结论进行比较，并作出解释.

附表及公式：

a0.1000.0100.001

Xa2.7066.63510.828

2

2n(ad-bc)

=--------------------------------,n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

5.有6名同学站成一排.

(1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？

(2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？

(3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？

6.电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着

钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电

影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在

一起.(列出算式，并计算出结果)

(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？

(2)女生互不相邻的坐法有多少种？

(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

7.现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品.

⑴试问共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？

(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？

8.一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3

个球.

⑴求至少取到2个黑球的概率；

⑵设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为X,求X

的分布列和均值.

/

9.已知%2的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46.

(1)求展开式中所有项的系数的和：

(2)求展开式中的常数项.

10.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭

31

回答正确这道题的概率是:，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是有，乙、丙两个家庭都回

412

答正确的概率是:，若各家庭回答是否正确互不影响.

4

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

11.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不

得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜;

若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲

胜的概率为:，负的概率为:，且每局比赛之间的胜负相互独立.

(1)求第三局结束时乙获胜的概率；

(2)求甲获胜的概率.

12.为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第

一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比

2311

赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为I；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为万，

甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响，

(1)比较甲、乙两人谁赢得比赛的概率大；

(2)求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率.

13.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗,

具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类

知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都

为"，乙同学答对每题的概率都为q(7>4),且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每

题甲，乙同时答对的概率为g,恰有一人答对的概率为卷.

⑴求p和q的值；

(2)试求两人共答对至少3道题的概率.

14.为了解某品牌A型号空调的质量，某商场对购买该型号的顾客进行了产品满意度的问卷调

查.随机抽取了100位顾客的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组

依次为：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

・频率

0.030-------------1-।

0.025-------------U

0.010-------------十叶----

0.005一厂

0^405060708090100^;

(1)求。的值；

⑵求这100位顾客问卷评分的平均数；

(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在［80,90)和［90,100］内的居民中共

抽取7户居民，查阅他们答卷的情况，再从这7户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居

民中恰有1户的评分在［80,90)内的概率.

15.某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件

在生产过程中的次品率均为。.组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件

O

都不是次品时，产品能正常工作，否则该产品为次品.

(1)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X,求X的分布列和期望；

(2)设4="任取一件产品为次品”，B="该产品仅有一个电子元件是次品”，求P(4A)；

(3)安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场.现有两种方案，

方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；

方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工

作.更换电子元件的费用为15元/个.

已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品800件，请从企业获益的角度考

虑，应该选择哪种方案？

答案以及解析

1.答案：(l)a=0.04,众数为22.5(mm),平均数21.75(mm)；

(2)26.25(mm)

解析：⑴由频率分布直方图知(0.01+0.02+0.05+0.06+«+0.01+0.01)x5=1,

解得a=0.04.最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为=22.5(mm).

平均

x=7.5x0.05+12.5x0.1+17.5x0.25+22.5x0.3+27.5x0.2+32.5x0.05+37.5x0.05=21.75(mm)

⑵设棉花纤维的长度的75%分位数为xmm,

所以0.1+^^x0.2=0.25,解得无=26.25(mm).

2.答案：(1)172.25

(2)答案见解析

(3)176.25

解析：(1)第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三组的频率为10%,第四组的频率

为0.20,第五组的频率为0.10,0.05+0.35+10%+0.2+0.1=1,x=0.06

故平均数1=162.5x0.05+167.5x0.35+172.5x0.3+177.5x0.2+182.5x0.1=172.25.

n35

(2)根据题意，第［165,170)组有17x=1人,

•J-I-\J•J-I-\J•//

0.3

第［170,175)组有17x=6人,

0.35+0.3+0.2

n7

所以第［175,180)3组选Wx°=4人.

(3)因为前3组的频率和为0.7,前4组的频率和为0.9,

所以第75百分位数在第四组，不妨设为x,

贝I)(x—175)x0.04=0.75—0.05—0.35—0.30,

解得户175+：176.25,即第75百分位数约为176.25；

3.答案：（1）答案见解析；

（2）y=41.12x+101.46,513；

（3）答案见解析

1+2+3+4+5+6+7+892292573

解析：（1）元=

82

n8__

;=1;=1

相关系数『=1J〃，=『8-"8、

JE(x/-#E(x-y)2J8x力犬_®2

Yi=l9M

9573

12041-8x-x^

17271727

22亡0.98

^204-8xy^730348-8x32^29屈x,7369020.5x85.84

因为y与x的相关系数r=0.98,接近1,所以y与x的线性相关程度很高，可用线性回归模型

拟合y与x的关系.

8__

,2(x,-x)(.y;-y)

_l=l_______________

(2)b=----------------8

元『之《一8元2

i=\1=1

9573

12041-8x-x—

1727

22士

O141.12

204-8x—42

4

入5739

a=y-Z?x«—-41.12x-=101.46

22

所以y与x的线性回归方程为9=4L12x+10L46

又2022年对应的年份代码％=10,当％=10时，y=41.12x10+101.46=512.66^513,

所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.

（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程

预测，理由如下（说出一点即可）：

①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；

②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；

③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.

O1

4.答案:⑴4（4⑷=丁P（4|4）=5,P（4|4）＞P（4|4），答案见解析

（2）没有，答案见解析

解析：（1）由题意得

a

「（即A）=y，

网4%）=:，

。（闻A）＞P（4|4），

说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更

高

100x(30x25-20x25)2100100c…

⑵z2=——<2,706

55x45x50x5011x999

因此没有90%的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关,

说明调查人数太少，（1）中的结论不具有说服力，需要调查更多车主.

5.答案:（1）480

（2）480

（3）144

解析：（D甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有A；种排法,

甲插空，有A；种，故共有A；A；=480种不同排法.

⑵甲、乙不相邻，则先排其余4人，有A：种不同排法，

甲乙两人再插空，有A；种，故共有A：A：=480种不同排法.

（3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有A；种排法,

先排列其余3人，有A；种，甲乙与丙再插空，有A；种排法，

故共有A；A；A；=144种不同排法.

6.答案：（1）576

（2）144

（3）960

解析：（1）先将4名女生排在一起，有A：种排法，

将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有A：种排法，

由分步乘法计数原理，共有A：xA：=24x24=576种排法；

(2)先将3名男生排好，共有A：种排法，

在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有A：种排法，

再由分步乘法计数原理，共有A；xA：=6x24=144种排法；

(3)先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有A：种排法，

由于甲乙相邻，则有A；种排法，

最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，

共有A；种排法，

由分步计数原理，共有A；xA；xA；=24x20x2=960种排法.

7.答案：(1)84

(2)24

⑶64

解析：(1)从9件产品中抽取3件产品共有C；=84种；

⑵从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有C；C；C；=24种；

(3)“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”,

因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有C；-C：=64种.

13

8.答案：(1)—；

1Q

⑵分布列见解析，-

解析：(1)记A="至少取到2个黑球”，

事件A包含：①取到2个黑球，1个红球或蓝球；②取到3个黑球.

c2cl+c31313

所以P(A)=3吉3=故至少取到2个黑球的概率为数.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

C2cl2

X=5即取到2个红球，1个蓝球,则P(X=5)=*2?=—

C；35

X=4即取到1个红球，2个蓝球,或取到2个红球，1个黑球,

C；C；+C；C；_5_1

贝i]P(X=4)=

357

1个黑球，贝1JP(X=3)=笔G=1|

X=3即取到1个红球，1个蓝球,

X=2即取到1个红球，2个黑球,或取到2个蓝球，1个黑球,

C；C；+C；C；_9

则P(X=2)=

C；35

「1「2£

X=1即取到1个蓝球，2个黑球,则P(X=1)=5^=?

C；35

C31

X=°即取到3个黑球，则P（X=°）=EW

所以的分布列为

X012345

16912]_2

P

35353535735

J^l)!E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—+4x-+5x—=—

353535357357

9.答案：(1)-1

(2)2304

/n

解析：（1）因为%2的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46,所以

1

C+C：+C=46,

即1+〃+——^=46,1+〃-90=0,解得〃=9或〃=一10(舍).

2

2

令X=1,则%2=(-球=-1,

所以展开式中所有项的系数的和为-L

(2)由(1)知二项式为%2-

所以二项展开式的通项为厂］—点］=q(—2)'产工r=0,l,2,…,9,

9

令18-1=0,得r=8,

4

所以展开式中的常数项为(=《•(-2)8=2304.

32

io.答案：(i)§,—；

⑵a

32

解析：(1)设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件A、B、C,

根据题意，则有P(A)=］,则尸(A)=；,

44

——1—12

又尸(AC)=历，所以P(C)=§,即尸(。=§,

13

又P(BC)=:,所以。(3)=1.

48

32

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为3和7.

o3

(2)设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件。，

则有尸(。)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

13235233133221

二-X—X——|——X—X——|——X—X—-1——x—x—=——,

48348348348332

21

所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为正.

4

11.答案：(1)-

⑵当

432

解析：(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”

12

由题意知，乙每局获胜的概率为耳，不获胜的概率为

若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜,

胜).

1212114

故/(A)=—x—x-+—x—x—

33333327

（2）设事件3为“甲获胜”.

若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率=

若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜,

胜）.

止匕时的概率£=+=

2222224

若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共

有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）,

（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜,

胜）.此时的概率《==xjxjx[x3+；xj><；x[x6=，

2662263248

若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平,

胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）.

此时的概率A="J>4>4X4=4，故网3）=耳+鸟+4+巴=|||

12.答案：（1）甲赢得比赛的概率大

⑵7

解析：（I）设4="甲在第一轮比赛中胜出"，4="甲在第二轮比赛中胜出"，耳=“乙在

第一轮比赛中胜出"，为="乙在第二轮比赛中胜出"，则4&="甲赢得比赛”，

211311

P（A4）=P（A）P（4）=§XW=§,用为="乙赢得比赛”，p2）=尸（4）网与）=/§=『

因为；〉；，所以甲赢得比赛的概率大.

（2）设。="甲赢得比赛”，D="乙赢得比赛”，由（1）知P（C）=g,P（D）=；,

所以甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率为P（CD）=P（C）P（D）=1x^l-^=i.

32

13.答案：（l）p=—,q=w，

⑵a

3

解析：（1）设4=｛甲同学答对第一题｝,5=｛乙同学答对第一题｝,则P（A）=p,P（B）=q.

设。=｛甲、乙二人均答对第一题｝,。=｛甲、乙二人中恰有一人答对第一题｝,

则。=715,D=AB+AB.

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与5相互独立，A豆与相

互互斥,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(3),P(D)^P(AB+AB)

=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)

1

pq=5,

由题意可得

5

p(l-q)+q(l-p)

12

132

pq=3,P=3P二

即《解得＜或，

1723

p+q=q=—

n-3好了

32

由于夕＞q,所以p=z，＜7=—.

(2)设4=｛甲同学答对了，道题｝,用=｛乙同学答对了i道题｝,[=0,1,2.

13313

由题意得,m)=4xz+rz=r

\"4416

24

P(B)=-x-+-x-=-,P(B)=-x-=一.

,"133339v2'339

设E=｛甲乙二人共答对至少3道题｝,则E=4为+44+4员.

由于4和与相互独立，A生,人四，&与两两互斥，所以

尸(£)=尸(4月)+尸(44)+尸(4与)=尸(4)尸(员)+尸(4)尸(4)+尸(4)尸(四)

3494942

=-X--1--X--1---X—=-

891691693

2

所以，甲乙二人共答对至少3道题的概率为不

14.答案：(1)a=0.020；

(2)74；

喈

解析：(1)由频率分布直方图，M10(0.005+0.01