2024中考数学几何模型专项复习：全等与相似模型之十字模型（学生版）

专题18全等与相似模型之十字模型

几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几

何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角

及一组全等的三角形。

1）如图1,在正方形/BCD中，若E、尸分别是BC、CD上的点，AELBF-,则AE=BF.

2）如图2,在正方形/BCD中，若£、F、G分别是BC、CD、4g上的点，AELGF-,贝I]AE=GF。

3）如图3,在正方形N8CZ）中，若£、F、G、〃分别是8C、CD、AB、49上的点，EHLGF；则HE=GF。

模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.

例1.（22.23下•广东•课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片/BCD的顶点/折叠至DC边上的点

E,使。£=5,若折痕为尸。，则尸。的长为（）

A.13B.14C.15D.16

例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形/BCD中，48=12,点£,月分别在边3C,

CD上，/E与BF相交于点G,若BE=CF=5,则8G的长为.

例3.（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形/BCD中，点E、F、77分别是BC、CD的中点,

CE、DF交手G,连接NG、HG.下列结论：①CE工DF；（2）AG=DG；（3）ZCHG=ZDAG；

（4）2HG=AD.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例4.（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形/BCD中，E为边上一点（点

£不与点45重合），连接。£,过点4作JFLQE,交BC于点、F,证明：DE=AF.

（2）探究：如图②，在正方形48CD中，E,尸分别为边A8,CD上的点（点E,尸不与正方形的顶点重

合）,连接M,作所的垂线分别交边4D,8c于点G,H,垂足为。若£为N8中点,DF=\,48=4,

求G8的长.（3）应用：如图③，在正方形4BCD中，点E,尸分别在2C,CD上，BE=CF,BF,AE

相交于点G.若/B=3,图中阴影部分的面积与正方形/BCD的面积之比为2：3,贝！U4BG的面积为,

△4BG的周长为.

图①图②图③

模型2.矩形的十字架模型（相似模型）

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩

形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

如图1,在矩形N5CD中，若£是上的点，MDEA.AC,则变=生

ACAB

则空=蛆

ACAB

如图3,在矩形/BCD中，若E、F、M、N分别是45、CD、AD,3C上的点，且E7LLMV,则里=变

MNAB

例1.（2223下•广西•九年级期中）如图，把边长为/8=2近，3c=4且=45。的平行四边形/BCD对

折，使点3和。重合，求折痕MV的长.

例2.（22・23下・河北•九年级期中）如图，在矩形/BCD中，E、F、G、〃分别为ND、BC、AB、CD

边上的点，当EF_LGH时，证明：EF-.GH=AB:BC.

例3.（22-23•贵港・中考真题）已知：在矩形48CD中，AB=6,AD=243,P是8C边上的一个动点，将

矩形/BCD折叠，使点A与点尸重合，点。落在点G处，折痕为E尸.（1）如图1,当点尸与点C重合时,

则线段即=,EF=；（2）如图2,当点P与点3,C均不重合时，取EF

的中点。，连接并延长尸。与G尸的延长线交于点连接打ME,MA.①求证：四边形"E始是平

行四边形：②当时，求四边形〃口户的面积.

图1图2

例4.（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答（1）如图1,矩形/BCD中，EF±GH,E尸分别交/瓦

CD于点E,F,GH分别交AD,8。于点G,H.求证：不7=二苒；（2）如图2,在满足（1）的条件下，点

GHAB

M,N分别在边8C,CD上,若——=一，求一7的值；⑶如图3四边形48cz（中，ZABC=90a,AB=AD

GH15AM

、DN,,/士

=10,AMLDN,点M,N分别在边8C,上,'求而的值.

7）,FCDFNCD

AEBANB

AEB

图1图2图3

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如图1,已知等边△ZBC,BD=EC（或CD=/E）,则4D=3E,且/。和BE夹角为60。，AABC.

A

BD0

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如图2,在△/BC中，AB=BC,ABLBC,①。为中点,®BF±AD,③AF：FC=2：1,@ZBDA=ZCDF,

⑤/AFB=/CFD,®ZAEC=U5°,@AE=42EC,以上七个结论中，口了“知二得五”。

BB

T\X'

FCG.G

3）直角三角形中的十字模型：

如图3,在三角形48c中，BC=kAB,ABLBC,。为2c中点，BFLAD,贝！|/尸：FC=2：k2,（相似）

例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△48C中，D、£分别是8C、NC上的点，且3D=CE,AD

与BE相交于点P.下列结论：①AE=CD；②AP=BE；③/PAE=/4BE；④N4P2=120°,其中正确

的结论是（填序号）

例2.（2223下•淄博•一模）如图，等边“BC,点、E,尸分别在NC,8c边上，AE=CF,连接/凡BE,

相交于点尸.（1）求NAPF的度数；⑵求证：BPBE=BFBC.

例3.（2223下•无锡•阶段练习）如图，在边长为6的等边A/3C中，D、E分别为边8C、/C上的点，AD

与3E相交于点P,若BD=CE=2,则//〃>£=°；则A48P的周长为.

A

/\E

BC

D

例4.（2223下•六安•一模）如图1,等边“3C中，点£分别在3C、/C上，S.BD=CE,连接/£＞、BE

交于点?⑴求证：乙〃芍=60。；（2）如图2,连接CF,若BD=；BC,判断CF与的位置关系并说明理

由；（3）如图3,在（2）的条件下，点G在/E上，G尸的延长线交2。于X,当/G=PG=5时，请直接写出

线段的长.

图1图2图3

例5.（2223上•深圳•期中）如图，在瓦A4BC中，ZABC=90°,A4=3C=3,点。为3c边上的中点,

连接过点8作于点E,延长BE交/C于点足则3尸的长为.

例6.（2223下•沧州•二模）如图，在中，AABC=90°,/8=3C,点。是线段48上的一点,

连接C0,过点3作3G，CO,分别交C。、◎于点E、F,与过点4且垂直于45的直线相交于点G,连

接。尸，下列结论错误的是（）

AD5

AGAF什1-1=（r、,，,八|一

A.——-=——B.右点。TEAB1的中点，则力尸=2-45

ABFC3

C.当B、C、F、。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若器=；,则以BC="期尸

例7.（2223•广东•期中）如图，在RtA4C3中，NACB=90°,/C=4,6C=3,点。为NC上一点，连

接BD,E为4B上一点、,CE1BD于点F,当/。=。时，求CE的长.

例8.（22-23下•深圳•一模）如图①，在Rt»8C中，AC=BC,4c8=90。，点。为8c边上的一点,

连接4D,过点C作于点凡交48于点£,连接。E.

RF

(1)若4E=2BE,求证：/F=2CF；(2)如图②，若AB=C，DELBC,求名的值.

AE

图①图②

例9.(22.23上•长春•阶段练习)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了

如下探究:

【观察与猜想】(1)如图①，在正方形ABCD中，点E、尸分别是48、AD上的两点，连接DE,CF,DELCF,

DF

则拿的值为..【类比探究】⑵如图②，在矩形48co中，4D=7,CE>=4,点E是边/。上

CF

一点，连接CE,BD,且求匚”的值.【拓展延伸】⑶如图③，在放中，ZACB=90°,

BD

点。在8C边上，连结4D,过点。作于点E,CE的延长线交48边于点尸.若/C=3,BC=4,

Q

BF=-,则GD=

课后专项训练

1.（2223下•杭州•一模）如图，在等边“3C的NC,2C边上各取一点M,N使,AM=CN,AN,相交

于点O.若/M=4,MO=2,则2。的长是（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处,

折痕为MN.若CE的长为7cm,则MN的长为（）

C.15D.无法求出

3.（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BELAP

于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH±BE于点G,交AB于点H,连接HF,下列结论正确的是（）

5R

A.CE=V5B.EF=-C.cosZCEP=—D.HF2=EF»CF

25

4.（黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形/BCD的边长为3,E为边上一点，

3E=：L.将正方形沿G尸折叠，使点/恰好与点E重合，连接NF,EF,GE,则四边形/GE尸的面积为（）

A.2而

5.（2223下•东营・中考模拟）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,点D是线段AB上的一点，连结

CD,过点B作BGLCD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF,给

出以下四个结论：①空=空；②若点D是AB的中点，则AF=Y2AB；③当B、C、F、D四点在同一个

ABFC3

圆上时，DF=DB；④若黑=1，则5澳比=95M.其中正确的结论序号是（）

DB

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

6.（2223下•江门•模拟预测）如图，在心ZUBC中，ZACB=90°,AC=BC.点。是线段8c上的一点，连

接4D,过点C作CG，/。，分别交40、于点G、E,与过点3且垂直于2C的直线相交于点尸，点。

RF

是3c的中点，连接DE.则盥=;

BDC

7.（22・23下•山西•一模）如图，在及△NBC中，/48C=90。，AB=BC=2,NE是8c边上的中线，过点

2作NE的垂线2。，垂足为X,交/C于点。，则4。的长为.

BE%

8.（山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形/BCD中，点E、F、X分别是/5、

BC、C£>的中点，CE、DF交于G,连接/G、HG.下列结论：①NG=N。；②/G_LG〃；③NZMG=60。；

④/4GE=NBCE.其中正确的有.

AD

9.（江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片/BCD中，AB=6,BC=8,将纸片折叠.

（1）如图1,若沿3尸对折，使点C恰好落在4D上得到点£,求NE的长.

（2）如图2,若沿对角线AD折叠，使点C落在点尸处，BF与4D交于点E,求NE的长.

（3）如图3,若沿EF折叠，使点C与点/重合，求折痕E尸的长.

10.（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形43。的边长为6,动点瓦尸分别在边/民上运动,

连接EF.（1）如图1,过3作8GL跖交边4D于点G,交E尸于点H.i）若G为4D的中点，〃为3G的

中点，求/E的长；ii）探索线段NE,。。（节之间的数量关系，写出你的结论并证明.（2）如图2,将四边形

EBCF沿EF翻折得到四边形EB'C'F,B'E与AD相交于点P,调整点E和点厂的位置使得线段8'C’始终经过

顶点D.i）若点。到E尸的距离。0=可，求DP的长；ii）点2,到工。的距离是否存在最大值？若存在,

请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由.

图1图2

11.（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1,在正方形43。

中，E为边3c上一点（不与点2、C重合），过点。作垂直于/£的一条直线。尸，垂足为G,交N8于点

R小明发现可以通过证明：LDAF会LABE得4E=DF（不需证明）

【模型探究】（1）如图2,在正方形/BCD中，尸为边8C上一点（不与点8、C重合），M为线段CD上

一点（不与C、。重合），过点河作垂足为G,交48于点N,请直接写出。m与/N及线段DM、

BN、CP之间的数量关系.

（2）如图3,在（1）的条件下，若垂足G恰好为4P的中点，连接8。，交于点〃，连接并延长交

边/。于点/,再连接8G,请探究线段8G、G4的数量关系；

［拓展应用】（3）如图4,若正方形ABCD的边长为8,点必N分别为边CO、上的点，过/作NG，跖V,

已知/G=5,将正方形/BCD沿着MN翻折，8c的对应边笈C’恰好经过点/,连接厂M交4D于点。.过

点。作。&1MN,垂足为R,求线段少的长.（直接写出结论即可）

图1图2图3图4

12.（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1,在正方形/BCD,

点E,。分别在边BC,43上，于点。，点G,尸分别在边C。、45上，GPLAE.

①判断。。与/E的数量关系：DQAE-,②推断：爷的值为：；（无需证明）

（2）类比探究：如图（2）,在矩形/BCD中，—将矩形48co沿G厅折叠，使点A落在8C边上

AB3

的点£处，得到四边形正EPG,EP交CD于点、H,连接/E交G厂于点。.试探究G尸与/£之间的数量关

系，并说明理由；⑶拓展应用1：如图3,四边形/3CZ）中，ZABC=90°,4B=AD=10,BC=CD=5,

DN

AMLDN,点、M,N分别在边5。、45上，求——的值.

AM

»BE3

（4）拓展应用2：如图2,在（2）的条件下，连接CP,-GF=2A/10,求C尸的长.

BF4

13.（2223下•江苏•九年级期中）平行四边形/BCD中，BC=nAB,E,尸分别是边DC上的点，AF1BE,

G为垂足.⑴如图1,当〃=1,N/BC=90。时，求证：AF=BE

（2）如图2,当〃=也，ZABC=90°,48=2,求E尸的最小值

（3）如图3,当〃=1,sinZABC=~,£为4D的中点，直接写出黑的值.

5BE

图1图2图3

14.（2022年湖北中考模拟）知矩形NBCD中，七=左，点E是3C边上一点，GFLAE于点、O,分别交

AB

GF

AB、CD于点足G.⑴特例发现：如图1,若左=1,则卞=______;

AE

GF

（2）类比探究：如图2,若左=31,请探究三的值，并写出探究过程；

4AE

⑶拓展应用：如图3,在（2）的条件下，将矩形/BCD沿。尸折叠，使点/恰好落在2C边上的点E处，

得到四边形尸EFG,PE与CD交于点H,连接PC.已知tan/CG尸=g,GF=2也，求PC的长

15.（成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1,在正方形N8CD中，

点E,歹分别是ND上的两点，连接DE,CF,若DELCF,则孑的值为；

CE

（2）如图2,在矩形/BCD中，40=7,CD=4,点E是4D上的一点，连接CE,AD,若CE_L8D,则访

的值为;

（3）如图3,在四边形中，/A=NB=90。，点、E为ABk一点、,连接。E,过点C作DE的垂线交

££）的延长线于点G,交40的延长线于点尸，求证：DE-AB=CFAD-,

（4）如图4,在RtA/BD中，ZBAD=9Q°,3=18,将沿3。翻折，点/落在点C处，得到△C5D,

DF5

点下为线段/。上一动点，连接。尸，作DELCF交于点、E,垂足为点G,连接NG.设方=§，求

AG的最小值.

图1图2图3图4

16.（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】

如图1,己知正方形/BCD中，E,尸分别是BC,CD边上的点，/E与3厂交于点G.当/£_L8/时，求

证：AE=BF■,

【类比迁移】如图2,在菱形4BCD中，E,尸分别是3C,C。边上的点，AE与BF交于点G.若

AAEB=ZBFC=60°,求证：AE=BF.

【拓展延伸】如图3,在四边形中，E,歹分别是8C,C。边上的点，4E与BF交于点

4E

G.ABAD=ZBCD=90°,AB=3,BC=4,BC=CD,若AELBF,请求出一的值.

A

图1图2图3

17.（2223下•安徽模拟预测）如图1,在等边“3C中，点D,E分别在边8C,/C上，S.BD=CE,连

接BE相交于点?

沿43翻折，使点C落在点G处，连接G厂并延长交42于点〃交BC于点/.当NB=6