2024-2025学年湖南省常德市某中学高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市临澧一中高三(上)第一次段考

皿「，、忆\__IX、/A

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.命题“三久0〉0,靖。一1<尤0"的否定是()

A.Vx>0,ex—1>xB.Vx<0,ex-1>x

C.Vx>0,ex—1>xD.Vx<0,ex-1>x

2.已知全集U=R,集合力=设eZ|岩W0},B={x\x>2),则4nC(jB=()

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{x|-1<x<2}D.{x|-1<x<2]

3.若函数h(x)="久-2a久2一2在[i,2]上单调递增，则实数a的取值范围为()

11

A.(-co,1]B.(-co,dc.(-00,1)D.(-00,7)

4.函数/(%)=":也/1的部分图象大致为()

5.函数/(%)是定义在R上的偶函数，且/(1+%)若％€[0,1],f(x)=2X,财^(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

6.已知函数/(%)=q<1，若V%1，e[0,2],W%2，都有△"止垣1)>0成立，贝I]a的

12%ax,l<x<2%2-%1

取值范围为()

A.(0,2]B.(—8,1]C.(0刀D.(0,+oo)

7.若命题：a3a,bER,使得a-cosb<b-cosa”为假命题，贝Ua,b的大小关系为()

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

8.若正实数%o是方程e%+1=aln^ax-1)的根，则e%。一ax0=()

A.-1B.1C.2D.-2

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知。>0,力>0且。+5=2,则下列不等式恒成立的是()

A.Cf2+b2的最小值为28—+，的最小值为3+2，2

ab

C.M的最大值为1D.五+/F的最小值为2

10.给出下列命题，其中正确的命题有()

A.函数/(%)=%-3+1083%的零点所在区间为(2,3)；

B.若关于％的方程弓)"-m=0有解，则实数m的取值范围是(0,1］；

C.函数y=log2/与函数y=21og2%是相同的函数；

D.若函数/⑶满足/⑺+/(l-x)=2,则f4)+扃)+-+磕+磕=9

11.关于函数/。)=：+2伍3下列判断正确的是()

人.刀=2是/(久)的极大值点

B.函数y=/(%)-%有且只有1个零点

C.对k>1不等式/(%)<for在［1,+8)上恒成立

D.对任意两个正实数%1，%2，且%1>%2，若f(%l)=f(%2)，则％1+久2>1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=［艺。+?;<久<1',若/(/(0))=4a,则实数a=.

13.已知命题p：|x-a|<4,命题q：(%-1)(2-x)>0,若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围

是.

14.设定义在。上的函数y=%(久)在点PQo,%(%)))处的切线方程为八y=9(X)，当万力无。时，若.?芸⑺>

„2

。在。内恒成立，则称P点为函数y=%(©的”类对称中心点”,则函数/(%)=乐+"久的”类对称中心

点”的坐标是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,△ABC的面积为

1

-a(csinC+bsinB—asinA).

(1)求力；

(2)若a=2,且ATIBC的周长为5,设。为边BC中点，求2D.

16.(本小题12分)

已知等差数列｛每｝满足的+a2=10,a4-a3=2.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设等比数列｛垢｝满足⑦=a3,b3=a7,设％=5an-bn,数列｛%｝的前n项和为无,求无的最大值.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，平面PABJ_平面4BCD,PA1AB,AB//CD,且AB=2C。=24。=2BC=

2AP=2.

(1)证明：平面P4C1平面PBC；

⑵求平面24。与平面P8C夹角的正弦值.

18.(本小题12分)

已知M为圆/+V=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N,。为坐标原点，AOMN的重心为G.

(1)求点G的轨迹方程；

(2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线/与曲线C相交于4、B两点，点Q(0,l),若点H(质,0)恰好是AAB。的垂

心，求直线I的方程.

19.(本小题12分)

已知函数/'(x)=—ax,aER.

(1)讨论函数9(久)=W(x)的单调区间；

(2)若函数/O)有两个不同的零点x2>

①求a的取值范围；

②证明:ag+不)？>4.

参考答案

l.c

2.X

3.B

4.0

5.B

6.C

l.B

S.A

9.AC

10.ABD

ll.BCD

12.2

13.[-2,5]

14.®|)

11

15.解：(1)依题意，-a(csinf+bsinB-asinZ)=2absinC,

所以csinC+bsinB-asinX=bsinC,

由正弦定理可得，c2+Z）2—a2=be,

由余弦定理，c2+b2—a2=2bccosA,解得cos/=

因为aG（o,兀），所以a=~

(2)依题意，b+c=5—Q=3,

因为c?+b2—be=(b+c)2—3bc=a2,解得be=|,

因为而=|(X5+ZC),

25

b2+c2+bc_(b+c)2—beo

所以而2=^(AB+Acy3一,_11

444-6

所以2D=等

o

16.解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d,则1=-4一的=2,

又+%=10，2al+d=2al+2=10,得的=4,

•••a九=4+2(n-1)=2九+2；

(2)设等比数列｛0｝的公比为q,

,**/?2=。3=8,Z?3=。7=16,•*•Q—2,

n1n+1

・・.bi=4,bn=4-2-=2.

n+1

cn=5an—bn=10(n+1)—2,

则S九=10[2+3+…+(?i+1)]—(22+23+...+2n+1)

=10x(2+：+l)"-2=-2n+2+5n2+15n+4.

2"1后—2

n+1n+1

cn+1-cn=[10+10(n+1)-2n+2]-(10+lOn-2)=10-2,

当兀<2时，cn+1-cn>0,5单调递增，当n>3时，cn+1-cn<0,小单调递减，

26

且q=20-2=16>0,C4=50-25=50-32=18〉0,c5=60-2=60-64<0,

二当n<4时,%>0,当>5时,cn<0,

2

.•.当n=4时，S”有最大值且最大值为S4=-24+2+5x4+15x4+4=80.

17.解：(1)证明：由题意可知力B=2CD=240=2BC=2,贝UNABC=60。，

因为BC=1,AB=2,所以NACB=90。，AC1BC,

因为平面P4B1平面力BCD,平面PABn平面2BCD=AB,且PA1AB,PAu平面P4B,

所以PA1平面4BCD,

因为BCu平面力BCD,所以P218C,

且ACnPA=4AC,P4u平面PAC,

所以BCJ_平面PAC,

又BCu平面PBC,

所以平面PAC1平面PBC.

(2)如图，以力为原点，AP-荏分别为x轴，y轴正方向，过4点且垂直于平面4PB的直线为z轴，建立空间

直角坐标系，

D

则2(0,0,0),P(l,0,0)，B(0,2,0),。(0力，苧)，C(0,|,苧),

所以存=(1,0,0)，彳万=(。［,苧)，丽=(一1,2,0)，元=(0,一尖子)，

设平面24。的法向量可=(%y,z),

Cn^•~AP=x=0

则｛一一>y<3z'

后.40=*等=0

令z=.l,得元=(0,71,-1),

设平面PBC的法向量荻=(m,n,p),

(n^•丽=-m+2九=0

则无.瓦"=-升等=o'

令p=l,得五=(2，^,门,1)，

设平面PAD与平面PBC的夹角为8,

21

-----

2X44

所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为，1一cos?。

18.解：(1)设G(x,y),M(x0,y0),则N(x0,O),

(x-^o

3

因G为AOMN的重心，故有：v,解得％0=3，y0=3y,

代入将+据=9,化简得t+y2=1,

又%°yo。。，故%yWO,

所以G的轨迹方程为《+y2=l(xy^0).

(2)因“为的垂心，故有力B_LHQ,AH1BQ,

故可设直线/的方程为y=V-3x+m(mH1),

与7+y2=1联立消去y得：13/+8yf3mx+4m2—4=0,

4

A=208—16m2>0=/712V13,

设4(比1，%)，B(x,y)>则4+工2=-8片/*62=

22

由4H1BQ,得1,

=%2(%1—V-3)+(V-3%i+m)(7-3%2+m—1)=0,

2

=>4%I%2+V-3(m-1)(/+x2)+m—m=0,

=>4(4m2—4)—247n(m—1)+13(m2—m)=0,

=5m2+11m-16=0,

解得根=1(舍去)或巾=一蔡(满足4>0)

故直线/的方程为y=y/~3x-y.

19.解：(1)•••%>0,g(X)=21nx+1—ax2,g'(x)=|—2ax=21,

①若aW0,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上单调递增，

②若a>0,g'Q)=0,%=¥，g(x)在(0,y)上单调递增，在(